1、恒成立问题思想与方法“恒成立”问题是数学中常见的问题，经常与参数的范围联系在一起，在高考中频频出现，是高考中的一个难点问题。常用方法：（1）函数与方程方法。利用不等式与函数和方程之间的联系，将问题转化成二次方程的根的情况的研究。有些问题需要经过代换转化才是二次函数或二次方程。注意代换后的自变量的范围变化。（2）分离参数法。将含参数的恒成立式子中的参数分离出来，化成形如：或 或 恒成立的形式。则 的范围是 的值域。)(xfa)(xfa)(xfa)(f恒成立 ； 恒成立 。（3）若已知恒成立，则可充分利用条件（赋值法等） 。范例选讲例 1：已知不等式 在区间2,3上恒成立，求实数 m 的取值范围。
2、【分析】有哪些方法？答案： 9,(例 2：已知关于 的方程 恒有解，求实数 的取值范围。x0624xxxaa【分析】做代换后变量的范围发生了什么变化？例 3、 （03 广东江苏）解：(II). 用 f(x) 、f(x) 表示 f(x)在0,1 上的最大值、最小值，则对任意 x 0,1,都有maxin |f(x)| 1 当且仅当 （*） 而 f(x)=-b(x + ， （x 0,1）当 2b1)(if 2)ba4时，01, f(x) = f(1)，ab2maxb42min maxf(x) =f(0)，于是(*) 或 b-1 a 2 或 x b-1min1)(02baf且 10)(2fba且 ba
3、 2 .b例 4：是否存在常数 c，使得不等式 对任意正数 x,y恒成立？试证明你的结论。min ax2yxcy训练题1(2002 年全国高中数学联赛第 12 题) 求使不等式 sin xacosx a 1cosx 对一切 x22R 恒成立的负数 a 的取值范围。2(1990 年全国高考题)设 f(x)=lg ,a R, n N 且 n 2.若 f(x)当naxxx)1(21 x (- ,1有意义，求 a 的取值范围.3 （福建 04）已知 f(x)= 2xa(xR)在区间 1，1上是增函数 .（）求实数 a 的值组成的集合 A；（）设关于 x 的方程 f(x)= 的两个非零实根为 x1、x
4、2.试问：是否存在实数 m，使得不等式 m2+tm+1|x 1x 2|对任意 aA 及 t1，1 恒成立？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.4设 使得不等式对一切实数 x 都成立，证明你的结论。,27)1()(2 Rcbafcbxaf 问 是 否 存 在， 若 322习题答案详解练习 1 解：原不等即 cos x（1a）cosx a 0 (*)22令 cosx=t，由 x R 知 t -1，1，于是(*) 对一切 x R 恒成立当且仅当f(t)=t （ 1a ）ta 0 (*)对一切 t -1，1恒成立，其充要条件2f(t)在-1，1 上的最大值 f(t) 0,而 f(t) =
5、 f(1)或 f(-1)，因此(*)对一切 t -1，1 恒成maxmax 立当且a -20)1()(02af 12或 或 故所求的 a 的范围为(- ,-2.练习 2、解：f(x)当 x (- ,1有意义，当且仅当 12 (n-1) n 0 对 x (- ,1xx恒成立。即g(x)= a0，对 x (- ,1恒成立，而 g(x)在(- ,1上是减函xn)1(xn)1(数，其最小值为 g(1)= a= (n1)a.22于是 g(x) 0 对 x (- ,1恒成立当且仅当 a0，即 a 。121n故所求 a 的范围为（ ，+ ） 。21n练习 3、解：（）f (x)= 2)(4xa= 2)(xa
6、，f(x)在1，1上是增函数，f (x)0 对 x 1，1恒成立，即 x2ax20 对 x 1， 1恒成立. 设 (x)=x2ax 2，方法一： 1a1，01)(a对 x1，1，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f (-1)=0 以及当 a=1 时，f (1)=0A=a|1a 1. 方法二： 或02)(02021)(a0a1 或 1a01a1.对 x1，1，f(x)是连续函数，且只有当 a=1 时，f (1)=0 以及当 a=-1 时 ，f (1)=0A=a|1a 1.（）由 2xa= 1，得 x2ax2=0， =a 2+80x 1，x 2 是方程 x2ax2=0 的两非零实根，x 1
7、+x2=a，x 1x2=2，从而|x 1x 2|= 2114)(= 8.1a1，|x 1-x2|= a3.要使不等式 m2+tm+1|x 1x 2|对任意 aA 及 t1，1恒成立，当且仅当 m2+tm+13 对任意 t 1，1恒成立，即 m2+tm2 0 对任意 t1，1恒成立. 设 g(t)=m2+tm 2=mt+(m22)，方法一： g(1)=m 2m20，g(1)=m 2+m20，m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x 1x 2|对任意 aA 及 t 1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.方法二：当 m=0 时， 显然不成立；当 m0 时， m0，g(1)=m 2m20 或 m0，g(1)=m 2+m20m2 或 m2.所以，存在实数 m，使不等式 m2+tm+1|x 1x 2|对任意 aA 及 t -1，1恒成立，其取值范围是m|m2，或 m2.练习 4：提示 假设存在，赋值法找到尽可能多的关系。23)0(17cfbaf从而得到 b=1,c=2.5-a 等，然后用 a 表示 f(x)再利用恒成立求 a。
