1、 轴对称和平移的坐标表示1图形的坐标变化与图形平移之间的关系在平面直角坐标系中，当纵坐标不变，横坐标都加上或减去一个正数 a 时，图形会向右或向左平移 a 个单位长度；当横坐标不变，纵坐标都加上或减去一个正数 a 时，图形会向上或向下平移 a 个单位长度【例 1】 如图所示的箭头是将坐标为(0,0)，(1,2)，(1,1)，(4,1)，(4，1)，(1，1)，(1，2)，(0,0)的点用线段依次连接而成的，若纵坐标保持不变，横坐标分别加 1，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？若是横坐标保持不变，纵坐标分别减 2 呢？分析：当横坐标不变，纵坐标加上或减去一个正
2、数 a 时，原图形就相应地向上或向下平移 a 个单位长度；当纵坐标不变时，横坐标加上或减去一个正数 a 时，则原图形会向右或向左平移 a 个单位长度解：若纵坐标保持不变，横坐标分别加 1，则所得各点的坐标依次是(1,0)，(2,2)，(2,1)，(5,1)，(5，1)，(2，1)，(2，2)，(1,0)，将各点用线段依次连接起来，所得图案如图所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向右平移了 1 个单位长度若横坐标保持不变，纵坐标分别减 2，则所得各点的坐标依次是(0，2)，(1,0)，(1，1)，(4，1)，(4，3)，(1，3)，(1，4)，(0，2)，将各点用线段依次连
3、接起来所得图案如图所示，所得图案与原图案相比，箭头的形状、大小不变，整个箭头向下平移了 2 个单位长度点评：解答本题的关键是求出图形变化后的点的坐标，再根据坐标用线段依次将点连接起来即可得到新图案2.图形的坐标变化与图形的伸长和压缩之间的关系在平面直角坐标系中，当图形的纵坐标不变，横坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被横向拉长或压缩该倍数，而纵向不变；当图形的横坐标不变，纵坐标扩大或缩小一定倍数时，图形就相应地被纵向拉长或压缩该倍数，而横向不变【例 2】 如图所示的小船是将坐标为(1,0)，(3,0)，(4,1)，(2,1)，(2,3)，(1,2)，(1,1)，(0,1)，(1,0)的点用
4、线段依次连接而成的，现将各点的坐标作如下变化：纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的 1.5 倍，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图案与原来的图案相比有什么变化？解：纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的 1.5 倍，所得各个点的坐标依次是：(1.5,0)，(4.5,0)，(6,1)，(3,1)，(3,3)，(1.5,2)，(1.5,1)，(0,1)，(1.5,0)，将各点用线段依次连接起来，所得图案如图所示，与原图相比，整条船被横向拉长为原来的 1.5倍析规律 坐标与图形变化的对应关系当横坐标不变，纵坐标扩大或缩小为原来的 a 倍时，图形就要被纵向拉长或压缩为原来的 a 倍；当纵坐标不变，
5、横坐标扩大或缩小为原来的 b 倍时，原图形就要被横向拉长或压缩为原来的 b 倍3图形的坐标变化与图形的轴对称之间的关系在平面直角坐标系中，当图形上各点的横坐标不变，纵坐标乘1 时，所得的新图形与原图形关于 x 轴对称；当图形上各点的纵坐标不变，横坐标乘1 时，所得的新图形与原图形关于 y 轴对称；当图形上各点的横、纵坐标都乘1 时，那么所得到的新图形与原图形关于原点对称谈重点 对称点的坐标变化规律对应点的坐标对称情况可以简单记为：关于横轴对称， “横不变，纵相反” ；关于纵轴对称， “纵不变，横相反” ；关于原点对称， “全相反” 【例 3】 按要求回答问题：(1)在平面直角坐标系中描出点(1
6、,2)，(1,4)，(1,6)，(3,6)，(1,4)，(3,2)，(1,2)，并将各点用线段依次连接起来(2)将上述各点作如下变化：纵坐标不变，横坐标分别变成原来的 2 倍，再将所得的点用线段按第一问中的顺序连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？横坐标保持不变，纵坐标分别加 3 呢？横、纵坐标分别乘1 呢？分析：解决本题的关键是分别在两坐标轴上找到对应点，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点如要描点(1,6)的位置，先在 x 轴上找到点 1，在 y 轴上找到点 6，过这两点分别平行于两坐标轴的直线的交点即为所求的点；理解平移、旋转、伸缩等图形的特征解：(1)如图所示(
7、2)按题中的变化要求各点的坐标依次是：(2,2)，(2,4)，(2,6)，(6,6)，(2,4)，(6,2)，(2,2)所得的图案如图所示，与原图案相比，图形被横向拉伸为原来的 2 倍各点的坐标依次是：(1,5)，(1,7)，(1,9)，(3,9)，(1,7)，(3,5)，(1,5)所得的图案如图所示，与原来的图案相比，图形向上平移了 3 个单位长度各点的坐标依次是：(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，6)，(1，4)，(3，2)，(1，2)所得的图案如图所示，与原图案相比，图形绕 O点旋转了 180，即两个图形关于 O 点成中心对称4图形的变换与点的坐标的关系将图形放在平面直角坐标系中
8、，我们 可以求得各顶点的坐标，反过来，知道了一些点的坐标，我们还可以将各点顺次连接起来得到一些有趣的图形通过点的坐标的变化与图形的变换，可以得到图形变换的规律图形是由点组成的，点的坐标发生了变化，图形也会发生相应的变化；图形移动时，点的坐标也发生变化其变化规律为：(1)纵坐标不变，横坐标按比例增大时，图形被横向拉长；纵坐标不变，横坐标按比例减小时，图形被横向“压缩” (2)图形向右平移时，纵坐标不变，横坐标增大；图形向左平移时，纵坐标不变，横坐标减小；图形向上平移时，横坐标不变，纵坐标增大；图形向下平移时，横坐标不变，纵坐标减小(3)横坐标加上一个数，纵坐标不变时，图形左、右平移(加负数，左移
9、，加正数，右移)；纵坐标加上一个数，横坐标不变时，图形上、下平移(加正数，上移，加负数，下移)(4)横坐标不变，纵坐标乘1 时，所得图形与原图形关于 x 轴对称；纵坐标不变，横坐标乘1 时，所得图形与原图形关于 y 轴对称图 1【例 4】 如图 1，在平面 直角坐标系内，一个封闭的图形 ABCDE 上各顶点的坐标分别为 A(2,0)， B(1,2)， C(2,1)， D(3,2)， E(2,0)(1)将各顶点的横坐标都加上 3，纵坐标不变，并把得到的顶点依次连接，则所得的图形和原图形相比，位置有怎样的变化？(2)如果将各顶点的纵坐标都加上 3，横坐标不变，顺次连接各顶点，所得图形与原图形的位置
10、有什么变化？(3)将各顶点的横坐标都加上 4，纵坐标都加上 5，顺次连接各顶点，所得的图 形与原图形的位置有怎样的变化？图 2解：(1) A， B， C， D， E 点的横坐标都加上 3，所得顶点的坐标分别是 A1(1,0)， B1(4,2)，C1(5,1)， D1(6,2)， E1(5,0)，依次连接各点得图形 A1B1C1D1E1，图形 A1B1C1D1E1相当于图形ABCDE 向右平移了 3 个单位长度后得到的(如图 2)(2)A， B， C， D， E 点的纵坐标都加上 3，所得顶点的坐标分别是 A2(2,3)， B2(1,5)，C2(2,4)， D2(3,5)， E2(2,3)，顺次
11、连接各点得到图形 A2B2C2D2E2，图形 A2B2C2D2E2相当于图形 ABCDE 向上平移 3 个单位长度后得到的(如图 2)(3)各顶点的坐标横坐标都加上 4，纵坐标都加上 5，所得顶点的坐标分别是 A3(2,5)，B3(5,7)， C3(6,6)， D3(7,7)， E3(6,5)依次连接各顶点，所得图形 A3B3C3D3E3相当于先把图形 ABCDE 向右平移 4 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度后得到的(如图 2)5从变化的“鱼”中探索坐标变化与图形变化的关系通过变化的“鱼” ，在坐标系内，将图形的坐标变化与图形的平移、轴对称、伸长、压缩巧妙地融合在一起，既体现了图形的现
12、实性、趣味性，又体现了数学的深刻性以及数形结合的思想方法平移：原图形的坐标中，横坐标保持不变，纵坐标分别增加(减少) a(a0)，则所得图案被向上(向下)平移 a 个单位长度，形状、大小未发生改变；反之，纵坐标不变，横坐标分别增加(减少) a(a0)，则所得图案被向右(向左)平移 a 个单位长度轴对称：原图形的坐标中，横(纵)坐标保持不变，纵(横)坐标分别乘1，则所得的图案与原图案关于横轴(纵轴)对称伸长：新图案的坐标变为原图案坐标的 a 倍，则将原图案伸长 a 倍，便可得新图案压缩：新图案的坐标变为原图案坐标的 (a1)，则将原图案压缩 ，便可得新图案1a 1a【例 5】 下面的方格纸中画出
13、了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为 1.(1)“小猪”所占的面积为多少？(2)在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线 DE 对称的图案(只画图，不写作法)；(3)以 G 为原点， GE 所在直线为 x 轴， GB 所在直线为 y 轴，小正方形的边长为单位长度建立平面直角坐标系，可得点 A 的坐标是(_，_)分析：(1)只要数一数正方形的个数就能解决；(2)先利用网格的条件找到每个点的对称点，再连接起来即可；(3)按要求画出直角坐标系立即可得答案，这样的问题可充分考查学生的动手能力，又让学生在操作中体验着成功解：(1)观察图形：“小猪”所占面积包括 29 个小正方形和 7 个小三角形面积和，每个小三角形面积是小正方形面积的一半，所以“小猪”所占面积为 32.5.(2)“小猪”关于直线 DE 对称的图案如图所示(3)点 A 的坐标是(4,1)
