1、2017-2018 学年高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合 M=1，0，1，N=x|（x+2）（x1）0，则 MN=（ ）A 1，0 B0，1 C0 D 1【解答】解：集合 M=1，0，1 ，N=x|（x+2）（x1）0=x|2x1，MN= 1， 0故选：A2已知袋中装有 2 个红球和 2 个白球，随机抽取 2 个球，则 2 球都是红球的概率为（ ）A B C D【解答】解：袋中装有 2 个红球和 2 个白球，随机抽取 2 个球，基本事件总数 n= =6，2 球都是红球包含
2、的基本事件个数 m= =1，2 球都是红球的概率为 p= = 故选：B3点 P 到直线 y=3 的距离比到点 F（0， 1）的距离大 2，则点 P 的轨迹方程为（ ）Ay2=4x By2=4x Cx2=4y Dx2= 4y【解答】解：点 P 到直线 y=3 的距离比到点 F（0， 1）的距离大 2，点 P 到直线 y=1 的距离和它到点（0，1）的距离相等，故点 P 的轨迹是以点（0， 1）为焦点，以直线 y=1 为准线的抛物线，方程为 x2=4y故选：D4已知三个不同的平面 ，三条不重合的直线 m，n，l，有下列四个命题：若 ml，nl，则 mn；若 ， ，则 ；若 m，mn，n，则 ；若
3、m，=n，则 mn其中真命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【解答】解：由三个不同的平面 ，三条不重合的直线 m，n，l，知：在中，若 ml，nl，则 m 与 n 相交、平行或异面，故错误；在中，若 ，则 与 相交或平行，故错误；在中，若 m，mn，n ，则由面面垂直的判断定理得 ，故正确；在中，若 m，=n，则 m 与 n 异面或平行，故错误故选：A5已知 =（x，2）， =（2，1）， ，则| |=（ ）A B C D10【解答】解： =（x，2）， =（2，1）， ， =2x+2=0，解得 x=1， =（1+2，21）= （3，1），| |= = 故选：C6下列说法错
4、误的是（ ）A在ABC 中，若 AB ，则 cosAcosBB若 b2=ac，则 a，c 的等比中项为 bC若命题 p 与 pq 为真，则 q 一定为真D若 p：x（0，+），lnx x 1，则p： x（0，+），lnxx 1【解答】解：对于 A，根据余弦函数的单调性可知，若 AB ，则 cosAcosB，故 A 正确；对于 B，取 a=b=c=0，显然满足 b2=ac，但不满足 b 是 a，c 的等比中项，故 B 错误；对于 C，若命题 p 与 pq 为真，则 q 一定为真命题，故 C 正确；对于 D，特称命题的否定是全称命题， p： x（0，+），lnxx 1，故 D 正确说法错误的是：B
5、故选：B7已知等差数列an的前 3 项和为 4，后 3 项和为 7，所有项和为 22，则项数 n 为（ ）A12 B13 C14 D15【解答】解：由题意可得：a1+a2+a3=4，an 2+an1+an=7，3（a1+an）=4+7，a1+an= ，Sn= =22， ，解得 n=12故选：A8如图所示，是一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的体积是（ ）A B C D【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r= = ，球的体积 r3
6、= 故选：B9已知 ，则 =（ ）A B C D【解答】解： ， = = ，解得：tan= ， = = = 故选：B10已知 P 是直线 kx+4y10=0（k0）上的动点，是圆 C：x2+y22x+4y+4=0 的两条切线，A，B 是切点，C 是圆心，若四边形 PACB 面积的最小值为 ，则 k 的值为（ ）A3 B2 C D【解答】解：圆的标准方程为（x1）2+（y+2）2=1，则圆心为 C（1， 2），半径为 1，则直线与圆相离，如图，S 四边形 PACB=SPAC+SPBC而 SPAC= |PA|CA|= |PA|，SPBC= |PB|CB|=|PB|，又|PA|=|PB|= ，当|P
7、C|取最小值时，|PA|=|PB|取最小值，即 SPAC=SPBC 取最小值，此时，CPl ，四边形 PACB 面积的最小值为 ，SPAC=SPBC= ，|PA|=2 ， |CP|=3， =3，k0，k=3故选 A11已知 z=2x+y，其中实数 x，y 满足 ，且 z 的最大值是最小值的 2 倍，则 a的值是（ ）A B C4 D【解答】解：由约束条件 ，作出可行域如图，联立 ，得 A（a，a），联立 ，得 B（1，1），化目标函数 z=2x+y 为 y=2x+z，由图可知 zmax=21+1=3，zmin=2a+a=3a，由 6a=3，得 a= 故选：D12已知 1m4，F1，F2 为曲线
8、 的左、右焦点，点 P 为曲线 C 与曲线 在第一象限的交点，直线 l 为曲线 C 在点 P 处的切线，若三角形F1PF2 的内心为点 M，直线 F1M 与直线 l 交于 N 点，则点 M，N 横坐标之和为（ ）A1 B2C3 D随 m 的变化而变化【解答】解：联立两曲线方程，消去 y 可得 x= ，设 P（x0，y0），直线 l 的方程为 =1，设三角形 F1PF2 的内切圆的半径为 r，则由等面积可得 =（4+ ）r，r= =yM，直线 F1M 的方程为 y= （x+ ），联立，化简可得 x=6 ，xN=2 ，xM=1，xM+xN=3故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，
9、共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上）13已知单位圆内有一封闭图形，现向单位圆内随机撒 N 颗黄豆，恰有 n 颗落在该封闭图形内，则该封闭图形的面积估计值为 【解答】解：由题意，符合几何概型，故设阴影部分的面积为 S，则 ，S= 故答案为 14已知双曲线 C 的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆 的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程是 【解答】解：椭圆长轴端点为（4，0），（4，0），焦点为（ 3，0），（3，0），对于双曲线中，c=4，a=3，得 b= ，双曲线的渐近线方程为： ，故答案为 15已知 a=0.20.3，b=log0.23，c=log0.24 ，则 a、b、c 从小到大
10、的顺序为 cab 【解答】解：0a=0.20.30.20=1，b=log0.23log0.21=0，c=log0.24log0.23=b，cab故答案为：ca b16已知过抛物线方程 y2=2px，过焦点 F 的直线 l 斜率为 k（k0）与抛物线交于 A，B两点，满足 ，又 ，则直线 l 的方程为 y=2 （x 1） 【解答】解： ，由抛物线的性质，可得 =1，p=2如图，设 A，B 两点的抛物线的准线上的射影分别为 E，F，过 B 作 AE 的垂线 BC，在三角形 ABC 中，BAC 等于直线 AB 的倾斜角，其正切值即为 K 值，设|BF|=n，|AF|=2|BF|，|AF|=2n，根据
11、抛物线的定义得：|AE|=2n ，|BF|=n ，|AC|=n ，在直角三角形 ABC 中，tanBAC= =2 ，直线 l 的方程为 y=2 （x 1）故答案为 y=2 （x 1）三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17在ABC 中内角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，已 QUOTE 知（ I）求角 C 的大小；（ II）若 ，求ABC 的面积【解答】解：（ I） ， （1+cosC） sinC= ，可得：2cos （C+ ）=0 ，C+ =k+ ，kZ，解得： C=k+ ，kZ，C（0， ），C= （II）C= ， ，由余弦定理可
12、得：3=2+b22 b ，整理可得：b2 1=0，解得：b= ，或（舍去），SABC= absinC= = 18已知正项数列an的前 n 项和为 Sn，满足 ，（nN*），且 a1=1（I）求 an；（II）设数列 前 n 项和为 Tn，求 Tn【解答】解：（1）由 ，则 4Sn=an+12+2an+1+1，当 n2 时，4Sn 1=an2+2an+1，4an=4Sn4Sn1=（an+12+2an+1+1） （an2+2an+1），整理得：（an+an 1）（an an12）=0，由 an0，则 anan1=2，则数列an 是以 a1=1 为首项， d=2 为公差的等差数列，an=1+2 （n
13、 1）=2n1，an=2n 1；（2）数列 的通项公式数列 = = （ ），Tn= （1 ）+ （ ）+ （ ），= （1 + + ），= （1 ），= ，即数列 前 n 项和 Tn= ，19如图，沿等腰直角三角形 ABC 的中位线 DE，将平面 ADE 折起，使得平面 ADE平面 BCDE，并得到四棱锥 ABCDE（）求证：平面 ABC平面 ACD；（）M 是棱 CD 的中点，过 M 的与平面 ABC 平行的平面 ，设平面 截四棱锥ABCDE 所得截面面积为 S1，三角形 ABC 的面积为 S2，试求 S1：S2 的值【解答】解：（1）ADDE，平面 ADE平面 BCDE，平面 ADE平面
14、BCDE=DE，AD平面 BCDE，ADBC，又CDBC，ADCD=D ，BC平面 ACD，又BC 平面 ABC，平面 ABC平面 ACD（2）平面 平面 ABC，设平面 ACD 与平面 的交线为 MQ，MQAC ，又M 是 CD 的中点，Q 是 AD 的中点；同理：设平面 BCDE 与平面 的交线为 MN，MNBC，又M 是 CD 的中点，N 为 BE 的中点；同理：平面 ABE 的交线 NPAB，P 为 AE 的中点，连接 PQ 即为平面 与平面 ADE 的交线，故平面 与四棱锥 ABCDE 各个面的交线所围成多边形是图中的四边形 MNPQ，由于 PQDE，DEMN，故 PQMN ，根据（
15、1）BC AC，由 MNBC ，MQAC，故MQMN，即四边形 MNPQ是直角梯形设 CM=a，则 MQ= a，MN=3a，PQ=a，BC=4a，AC=2 a，故四边形 MNPQ 的面积是 = ，三角形 ABC 的面积是=4 a2，故平面 与四棱锥 ABCDE 各个面的交线所围成多边形的面积与三角形 ABC 的面积之比为 1：220已知椭圆 C： （a b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，上顶点为 BQ为抛物线 y2=24x 的焦点，且 ， =0（）求椭圆 C 的标准方程；（）过定点 P（0，4）的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点（ M 在 P，N 之间），设直线l 的斜率为 k（k
16、0），在 x 轴上是否存在点 A（m ，0），使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由【解答】解：（）由已知 Q（6，0），F1BQB，|QF1|=4c=6+c，所以 c=2 在 Rt F1BQ 中，F2 为线段 F1Q 的中点，故|BF2|=2c=4，所以 a=4于是椭圆 C 的标准方程为 （）设 l：y=kx+4 （k0）， M（x1，y1），N （x2，y2 ），取 MN 的中点为E（x0，y0）假设存在点 A（m，0），使得以 AM，AN 为邻边的平行四边形为菱形，则 AEMN联立 （4k2+3）x2+32kx+16=00k
17、. ，y0=kx0+4= 因为 AEMN，所以 kAE= m= ，所以 m 21已知函数 f（x）=xlnx+a（aR ）（） 若 f（x）0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（） 若 0x1x2，求证：对于任意 x（x1，x2），不等式成立【解答】解：（）f（x）=xlnx+a 的定义域为（0，+），f（x）=1+lnx，令 f（x）=0，解得 x= ，当 f（x）0 时，即 x 时，函数 f（x）单调递增，当 f（x）0 时，即 0x 时，函数 f（x）单调递减，f（x）min=f（ ）= +a，f（x）0 恒成立， +a0，a ，（）证明：由（）知，f（x）=1+lnx，f（x）在（0，
18、+）上为增函数，欲证明不等式 成立，从图象分析可先证 f（x） ，先证明 f（x）=lnx+1，0x1x，即证 f（x） f（x1）（x x1）（lnx+1）0，设 F（x）=f（ x）f（x1）（xx1）（lnx+1 ），0x1xx2，F（x）=f（x） （lnx+1 ） =（lnx+1）（lnx+1）（1 ）= 10，F（x）在（x1，x2）内为减函数，F（x）F（x1）=0， lnx+1 对于（ x1，x2）成立，欲证 lnx+1 ，即证 f（x）f（x2）（xx2）（lnx+1）0，设 G（x）=f（x）f（x2） （xx2）（lnx+1），0x1xx2，G （x ）=f（x）（lnx
19、+1 ） =（lnx+1）（lnx+1）（1 ）= 10，G（x）在（x1，x2）内为增函数，G（x）G（x2）=0，lnx+1 对于（ x1，x2）成立，综上所述对于任意 x（x1，x2），不等式 成立请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修 4-4：坐标系与参数方程22平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程是 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为2cos2+2sin22sin3=0（1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点，求|AB| 【解答】解：（1
20、）直线 l 的参数方程是 （t 为参数），化为普通方程得： y= x在平面直角坐标系中，直线 l 经过坐标原点，倾斜角是 ，因此，直线 l 的极坐标方程是 = ，（R ）； （2）把 = 代入曲线 C 的极坐标方程 2cos2+2sin22sin3=0，得 2 3=0由一元二次方程根与系数的关系，得 1+2= ，12=3，|AB|=|1 2|= = 选修 4-5：不等式选讲23已知 f（x）=|x+1|+|x2|（）已知关于 x 的不等式 f（x）2a1 有实数解，求实数 a 的取值范围；（）解不等式 f（x）x22x【解答】解：（）f（x）=|x+1|+|x2|，当 x1 时， f（x）= 2x+13；当1 x2 时， f（x）=3 当 x2 时，f（x）=2x 13关于 x 的不等式 f（x）2a1 有实数解，2a13，a2；（）由（）可知当 x1 时，f（x）=2x+1x22x，解得 x=1；当1 x 2 时， f（x）=3 x22x，解得1x3， 1x2，当 x2 时，f（x）=2x 1x22x，解得 2 x2+ ，2x2+ ，综上所述，不等式的解集为1，2+
