1、 实验三、FIR 数字滤波器的设计一、实验目的1. 掌握用窗函数法，频率采样法及优化设计法设计 FIR 滤波器的原理及方法，熟悉响应的计算机编程； 2. 熟悉线性相位 FIR 滤波器的幅频特性和相频特性； 3. 了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。 二、实验原理与方法线性相位实系数 FIR 滤波器按其 N 值奇偶和 h(n)的奇偶对称性分为四种：1、h(n)为偶对称，N 为奇数H(ej)的幅值关于 =0， ，2 成偶对称。 2、h(n)为偶对称，N 为偶数H(ej)的幅值关于 = 成奇对称，不适合作高通。3、h(n)为奇对称，N 为奇数H(ej)的幅值关于 =0， ，2 成奇对称，不适合作高
2、通和低通。4、h(n)为奇对称，N 为偶数H(ej) =0、2 0，不适合作低通。(一) 窗口法 窗函数法设计线性相位 FIR 滤波器步骤 确定数字滤波器的性能要求：临界频率 k，滤波器单位脉冲响应长度 N； 根据性能要求，合理选择单位脉冲响应 h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ej)的幅频特性和相频特性； 求理想单位脉冲响应 hd(n)，在实际计算中，可对 Hd(ej)按 M(M 远大于 N)点等距离采样，并对其求 IDFT 得 hM(n)，用 hM(n)代替 hd(n)； 选择适当的窗函数 w(n)，根据 h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的 FIR 滤波器单位脉冲响应
3、； 求 H(ej)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度 N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。 窗函数的傅式变换 W(ej)的主瓣决定了 H(ej)过渡带宽。W(e j)的旁瓣大小和多少决定了 H(ej)在通带和阻带范围内波动幅度，常用的几种窗函数有： 矩形窗 w(n)=RN(n)； Hanning 窗 ； Hamming 窗 ； Blackmen 窗 ； Kaiser 窗 。式中 Io(x)为零阶贝塞尔函数。（二）频率采样法频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应 Hd(ej)加以等间隔采样然后以此 Hd(k)作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的采样值 H(k
4、),即令由 H(k)通过 IDFT 可得有限长序列 h(n)将上式代入到 Z 变换中去可得其中 ()是内插函数（三）FIR 滤波器的优化设计FIR 滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。 为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位 FIR 滤波器的单位脉冲响应 h(n)的对称中心置于 n=0 处，此时，线性相位因子 =0。当 N 为奇数，且 N=2M+1，则如希望逼近一个低通滤波器，这里 M， p 和 s 固定为某个值。在这种情况下有定义一逼近误差函数：E()为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W()
5、为加权函数。k 应当等于比值 1/2， 1 为通带波动， 2 为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求 |E()|在区间 的最大值为最小，它等效于求最小 2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。在逼近过程中，可以固定 k，M， p， s 而允许改变 2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率点 i，i=0,1,.,M+1，共计可以写出(M+2)个方程式中 表示峰值误差。一般仅需求解出 ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差 。
6、依此反复进行，直到前、后两次 值不变化为止，最小的 即为所求的 2。这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。三、实验内容及步骤(1)N=15, 。用 Hanning 窗设计一线性相位带通滤波器，观察它的实际 3dB 和 20dB 带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度 N变化的影响；(2)分别改用矩形窗和 Blackman 窗，设计(1)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点；(3)用 Kaiser 窗设计一专用线性相位滤波器，N=40， 如图，当 0=4，6，10时，分别设计，比较它们的幅频和相频特性，注意 0 取不同值时的影响；(4)用频率采样法设计(3) 中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令 H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果；(5)用雷米兹(Remez)交替算法设计(3)中的滤波器，并比较 (3)、(4)、(5) 三种方法的结果。 四、实验思考1. 定性地说明用本实验程序设计的 FIR 滤波器的 3dB 截止频率在什么位置？它等于理想频率响应 Hd(ej)的截止频率吗？ 2. 如果没有给定 h(n)的长度 N，而是给定了通带边缘截止频率 c 和阻带临界频率 p，以及相应的衰减，你能根据这些条件用窗函数法设计线性相位 FIR 低通滤波器吗？
