1、二次方程、不等式和函数的应用题垂杨柳中学 巴彦秀一、 知识点：1.一元二次方程的应用;2.二次函数的应用；3.利用二次函数图象和性质解决有关一元二次方程、二次函数最值、不等式的实际问题。二、 解题思路：实际问题 数学问题实际问题的答案 数学问题的解1.理解问题;2.分析问题中的量和量之间的关系，列出代数式;3.根据题目中的相等关系，列出一元二次方程或二次函数关系式;4.求解（利用二次函数图象和性质可以解出任何二次方程、二次函数最值、不等式的解） ；5.检验结果的合理性等.三、重、难点难点：审清题，找出相等关系；理解一元二次方程，二次不等式与二次函数之间的关系。重点：用含未知数的代数式表示需要的
2、各量。四、本专题分为三课时（如果学生基础好，第三课时可以不用）设未知数、列代数式、找（不）相等关系函数关系， 列二次方程或函数关系等利用二次函数图象解方程，不等式，函数式等双检验第一课时（矩形面积=长宽）教学目的：1.通过培养学生对实际问题的审题和分析，帮他们找“抓问题关键词”的方法，能够找到量与量的之间关系，从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.2.题设结合实际图形给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。还要注意自变量的取值范围。3. 培养学生分析问题、应用适当的数学模型解决实际问题的能力。例题选
3、讲例 1 如图，在一面靠墙（墙的最大可用长度为 8 米）的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米。(1) 面积为 S=20 平方米, 求 AB 的长？(2)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(3)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？解： (1) AB 为 x 米、篱笆长为 24 米 花圃宽为（244x）米 x（244x）20（说明：相等关系-从面积公式得出，列一元二次方程可以解决，但要注意验根）(2) AB 为 x 米、篱笆长为 24 米 花圃宽为（244x）米 Sx（244x）4x 224
4、 xx0 244x0244x8（4x6）（说明：把二次函数关系式与一元二次方程进行比较，让学生体会它们之间的区别和联系，要注意自变量的取值范围的根据以及与验根的联系）(3)分析：虽然当 x =3 时，ab2S 最大值 36（平方米）c4AB CD但是墙的可用长度为 8 米 0244x 8 4x6当 x4cm 时，S 最大值32 平方米答：若墙的最大可用长度为 8 米，则求围成花圃的最大面积是 32 平方米。（说明：借助二次函数图象的直观性，当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，运用图象法求出二次函数的最大值或最小值）练习：1.（2011 东城期末）如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边
5、AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6m若矩形的面积为 4m2，请你计算 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6m） 2.（2011 西城期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为 36 米的篱笆恰好围成（如图所示） 设矩形的一边 AB 的长为 x 米（要求 ABAD ） ，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米（1）求 S 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；x（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？ 第一课时学案（矩形面积= ）例题选讲例 1 如图，在一面靠墙（墙的最大可用长度为 8 米）的空地上用长为 24 米的篱笆，围
6、成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米。(1) 面积为 S=20 平方米, 求 AB 的长？(2)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(3)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？练习：1.（2011 东城期末）如图，邻边不等的矩形花圃 ABCD，它的一边 AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是 6m若矩形的面积为 4m2，请你计算 AB 的长度（可利用的围墙长度超过 6m） 2.（2011 西城期末）学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另AB CD三边用总长为 36 米的篱笆恰好围成（如图所示） 设矩形
7、的一边 AB 的长为 x 米（要求 ABAD ） ，矩形 ABCD 的面积为 S 平方米（1）求 S 与 之间的函数关系式，并直接写出自变量 的取值范围；x（2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？ 第二课时（总利润=总收入总成本）教学目的：1.通过培养学生对实际问题的审题和分析，帮他们找“抓问题关键词”的方法，能够找到量与量的之间关系，从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.2.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，利用二次函数的图象展开，突出体现数形结合思想。3. 培养学生分析问题、应用适当的数学模型解决实际问题的能力。难点：理解二次函数、二次方程与一元二次不等式（
8、二次函数最值）的关系。例题选讲例 1 某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件求：(1)若商场平均每天要盈利 1 200 元，每件衬衫应降价多少元 ? (2)若要使商场平均每天盈利最多，请你帮助设计方案解：(1)设每件衬衫应降价 x 元，则(40-x)(20+2x)l 200整理，得 x2-30x+2000，解得 x110，x 220因为要尽快减少库存，x20(2)商场每天盈利(40-x)(20+2x)-2(x-15) 2+1 250当
9、x15 时，商场盈利最多，共 1 250 元答：(1)每件衬衫应降价 20 元(2)每件衬衫降价 15 元时，商场盈利最多 说明（相等关系：单价件数=销售总额；总利润=总收入总成本。然后再利用二次函数求最值。）例 2 某超市销售一款进价为 50 元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于 70 元/ 个，市场调查发现：以 60 元/个的价格销售，平均每周销售书包 100 个；若每个书包的销售价格每提高 1 元，则平均每周少销售书包 2 个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量 y（个）与销售价 x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润 w（元）与销售价 x
10、（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？解：（1）由题意，有 ，)60(21xy即 20xy（2）由题意，有 ，)5(xw即 3（3）抛物线 的开口向下，在对称轴 的左侧， 随 的增大而增10280xwx大. （说明思路：利用二次函数的图象的直观性，突出体现数形结合思想。）由题意可知 760x当 时， 最大为 1600. w因此，当每个书包的销售价为 70 元时，该超市可以获得每周销售的最大利润 1600 元. （说明：1.比较例 1 和例 2 中的自变量 x，它们的含义不同，题目的难度也就不同，对学生审题，理解也
11、就提出了更高的要求。2.例 2 借助二次函数图象的直观性，当顶点的横坐标不在自变量的取值范围内，运用图象法求出二次函数的最大值或最小值）提高选用（1）问题：市场上常有这样一个规律，某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多。现有某杂志，若定价每本 2 元则可发行 10 万本，若每本价格提高 0.2 元，发行量就减少 5000 本。要使总收入不低于 22.4 万元，则杂志的定价应为多少元？设每本杂志定价为 x 元，售价提高 0.2 元，则发行量减少 5000x 本， 总收入：（2+0.2x）（100000-5000x）224000整理得：x 2-10x+240 这是一个一元二次不等式，
12、怎样求解呢？ （2）探究解法例画出函数 y=x2-10x+24 的图像，利用图像回答：（1）方程 x2-10x+24=0 的解是什么？（2）X 取何值时函数值大于或等于 0？（3）X 取何值时函数值小于或等于 0？（说明：借助二次函数 y=x2-10x+24 图象的直观性，引导学生观察二次函数y= x2 -10x+24 图象上任一点在图象上移动时，由点 P 的横坐标 x 的变化引起点 P 的纵坐标 y 的变化情况，从而获得对一元二次不等式 x2-10x+240 的解集的感性认识。）思考：1、一元二次方程、一元二次不等式与相应的二次函数之间有什么内在联系？2、完成问题的书写步骤。（获取（获取感性
13、认识后，再来完成思考和解答题的书写步骤，使学生体会知识的系统性和完整性。）练习：1.（2011 东城期末）李经理在某地以 10 元/千克的批发价收购了 2 000 千克核桃，并借一仓库储存在存放过程中，平均每天有 6 千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为 60 天若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨 0.5 元。（1）存放 x 天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为 y 元，试求出 y 与 x之间的函数关系式；（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计 340 元，李经理要想获得利润 22 500 元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润销售总金额收购
14、成本各种费用）2. （2011 海淀城期末）某商店销售一种进价为 20 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量 w(双)与销售单价 x(元)满足 280wx(20x 40), 设销售这种手套每天的利润为 y（元）.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？ 第二课时学案（总利润= ）例 1 某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天多售出 2 件求：(1)若商场平均每天要盈利 1 20
15、0 元，每件衬衫应降价多少元? (2)若要使商场平均每天盈利最多，请你帮助设计方案例 2 某超市销售一款进价为 50 元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于 70 元/ 个，市场调查发现：以 60 元/个的价格销售，平均每周销售书包 100 个；若每个书包的销售价格每提高 1 元，则平均每周少销售书包 2 个.（1）求该超市这款书包平均每周的销售量 y（个）与销售价 x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润 w（元）与销售价 x（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？提高选用
16、（1）问题：市场上常有这样一个规律，某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多。现有某杂志，若定价每本 2 元则可发行 10 万本，若每本价格提高 0.2 元，发行量就减少 5000 本。要使总收入不低于 22.4 万元，则杂志的定价应为多少元？设每本杂志定价为 x 元，售价提高 0.2 元，则发行量减少 5000x 本， 总收入：（2+0.2x）（100000-5000x）224000整理得：x 2-10x+240 这是一个一元二次不等式，怎样求解呢？ （2）探究解法例画出函数 y=x2-10x+24 的图像，利用图像回答：（1）方程 x2-10x+24=0 的解是什么？（2）X
17、取何值时函数值大于或等于 0？（3）X 取何值时函数值小于或等于 0？练习：1.（2011 东城期末）李经理在某地以 10 元/千克的批发价收购了 2 000 千克核桃，并借一仓库储存在存放过程中，平均每天有 6 千克的核桃损耗掉，而且仓库允许存放时间最多为 60 天若核桃的市场价格在批发价的基础上每天每千克上涨 0.5 元。（1）存放 x 天后，将这批核桃一次性出售，如果这批核桃的销售总金额为 y 元，试求出 y 与 x之间的函数关系式；（2）如果仓库存放这批核桃每天需要支出各种费用合计 340 元，李经理要想获得利润 22 500 元，需将这批核桃存放多少天后出售？（利润销售总金额收购成本
18、各种费用）2. （2011 海淀城期末）某商店销售一种进价为 20 元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量 w(双)与销售单价 x(元 )满足 280wx(20x 40),设销售这种手套每天的利润为y（元）.（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时, 每天的利润最大？最大利润是多少？ （选用）第三课时（增长率）教学目的：1.通过培养学生对实际问题的审题和分析，帮他们找“抓问题关键词”的方法，能够找到量与量的之间关系，从而达到列出一元二次方程或二次函数解决实际问题的目的.2.通过对题目的分析，增强学生对增长率问题理解。3. 培养学生分析问题、应用适当的数学模型
19、解决实际问题的能力。例题选讲例 1. 钢铁厂去年 1 月某种钢的产量为 5000 吨,3 月上升到 7200 吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?分析：设平均每月增长的百分率为 X，则2 月份比 1 月份增产 吨，2 月份的产量是 吨，3 月份比 2 月份增产 吨，3 月份的产量是 吨，列方程： ，整理，得 ，解这个方程，得 、 ，经检验 ，答： 。注：1）如果某个量原来的值是 a,每次增长的百分率是 x,则增长 1 次后的值是 a(1+x),增长 2 次后的值是 a(1+x)2,增长 n 次后的值是 a(1+x)n,这就是重要的增长率公式.同样,若原来的量的值是 a,每次降低的百分率是
20、x,则 n 次降低后的值是 a(1-x)n,这就是降低率公式.2）增长率没有单位3）对于连续变化的问题都是以前一个时间段为基础的。4）平均每月增长率不是每月增长率的平均数练习1.某校办工厂利润两年内由 5 万元增长到 9 万元，设每年利润的平均增长率为 x，可以列方程得（ ）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9说明：平均增长率问题，利用平均增长率公式 a(1+x)2b 即可2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1 185 元降到了 580 元设平均每次降价的百分率为 x，则列方程正确的是( )A. 58
21、0(1+x)21 185 B1 185(1+x) 2=580C. 580(1-x)2=1 185 D1 185(1-x) 2=580说明：平均降低率问题与平均增长率问题类似，只要把平均增长率公式 a(1+x)b 中的“+”号换成“-”号即可3.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 1000 万元，如果平均每月的增长率为 x，则根据题意列出的方程应为（ ）A.200(1+x)2=1000B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000D.2001+(1+x)+(1+x )2=1000（4）小明将 500 元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计
22、615 元，若设年利率为 x，则方程为_.说明：审（3） 、 （4）题时都要注意题目中的“共” ，这是经常容易被忽略的。第三课时学案（增长率）例 1. 钢铁厂去年 1 月某种钢的产量为 5000 吨,3 月上升到 7200 吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少?分析：设平均每月增长的百分率为 X，则2 月份比 1 月份增产 吨，2 月份的产量是 吨，3 月份比 2 月份增产 吨，3 月份的产量是 吨，列方程： ，整理，得 ，解这个方程，得 、 ，经检验 ，答： 。练习1.某校办工厂利润两年内由 5 万元增长到 9 万元，设每年利润的平均增长率为 x，可以列方程得（ ）A.5(1+x)=9B.
23、5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x)2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9说明：平均增长率问题，利用平均增长率公式 a(1+x)2b 即可2.某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的 1 185 元降到了 580 元设平均每次降价的百分率为 x，则列方程正确的是( )A. 580(1+x)21 185 B1 185(1+x) 2=580C. 580(1-x)2=1 185 D1 185(1-x) 2=5803.某超市一月份的营业额为 200 万元，一月、二月、三月的营业额共 1000 万元，如果平均每月的增长率为 x，则根据题意列出的方程应为（ ）A.200(1+x)2=1000B.200+2002x=1000C.200+2003x=1000D.2001+(1+x)+(1+x )2=1000（4）小明将 500 元压岁钱存入银行，参加教育储蓄，两年后本息共计 615 元，若设年利率为 x，则方程为_.
