1、677.4 圆锥曲线预备知识方程与曲线轨迹的概念重点圆锥曲线的定义圆锥曲线的标准方程圆锥曲线的几何性质难点抛物线和双曲线定义的思想焦点及离心率的概念据已知条件求圆锥曲线方程学习要求掌握圆锥曲线的几何定义和标准方程了解焦点、离心率和准线的含义及圆锥曲线的几何性质会据已知条件导出已知曲线的方程会解决圆锥曲线在实际中的简单应用问题68在上一节中你已经看到，圆以 x,y 的二次方程作为其特点之一；同时你也看到，有一些 x,y 的二次方程并不是矛盾方程，但它不表示圆，那么这种方程表示的是怎样的曲线呢？这就是本节所学习的对象圆锥曲线，具体分为椭圆、抛物线和双曲线三种你所要知道的是这三种曲线的定义、标准方程
2、及几何性质1. 圆锥曲线的定义和来历(1)椭圆的定义在人类的认识史上，圆由于其特征明确、成形简单，可以说是最早被人们所认识的、具有一定形状的几何曲线一个被压扁了的圆，就其外形而言，也不难被人们所认识，但它的几何特征是什么？是怎么生成的？圆是到定点(圆心)的距离为常数(半径) 的动点的轨迹你可以先动手做一个试验取一根线将其两端系在两颗图钉上，把两颗固定在纸面的同一点上，用铅笔套进线环后，保持拉紧线移动铅笔因为把圆的定义“圆是到定点的距离为常数的动点的轨迹”改为“圆是到定点的来回距离为常数的动点的轨迹”，并无实质性的改变，铅笔尖在纸上画出的当然是一个圆，固定图钉的点 O 就是圆心；设线长为 2a，
3、则圆半径为 a (见图 7-60(1)现在你把两颗图钉分开固定在两个点 F1,F2 上，使线长大于两图钉之间的距离，并保持拉紧状态移动铅笔，铅笔尖在纸上也能画出一条曲线(见图 7-60(2)，并立即能发现，这条曲线的形状正是一个压扁了的圆我们把第二次试验得到的那个压扁了的圆，称之为椭圆，因此椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹并且称两个定点为椭圆的焦点，两个定点间的距离(即图 7-60(2)上线段 F1F2 的长 )为焦距仍用 2a 表示线的长度，即动点到定点的距离和当动点在直线 F1F2与椭圆的交点、即图 7-60(3)的位置 A(或 B)处时，2a=AF2+AF1=AF2+B
4、F2=AB，因此 2a 就是直线 F1F2 与椭圆的交点的距离用 2c 表示焦距，由试验可知 ac现在保持线的长度 2a 不变，你可以继续做实验：把两点并拢一些( c 减小)，画出来的椭圆越接近圆；分开一些( c 增大)则椭圆越“扁” 因此比值e= = = (1课内练习 21. 求下列双曲线的离心率 e，焦距 2c，并说明哪个双曲线的张口比较“宽”一些：(1)到相距为 10 的两个定点距离差为 6 的点的轨迹；(2)到相距为 10 的两个定点距离差为 8 的点的轨迹(3)抛物线的定义圆锥曲线的第三种是抛物线，它的定义方法表明上看与椭圆和双曲线不同，其实有着内在联系现在先介绍抛物线的定义：抛物线
5、是平面上到一个定点 F 与定直线 l 等距的动点的轨迹(见图 7-63)称这个定点为 抛物线的焦点，称定直线为抛物线的准线(4)圆锥曲线的来历和它们之间的联系椭圆、双曲线和抛物线的定义各不相同，它们之间有什么联系？联系切割圆锥正圆锥你应该很熟悉，它是一个直角三角形 Rt VOA 绕一条直角边VO 旋转得到的几何体(见图 7-64(1)；称被绕的直角边 VO 为旋转轴，称斜边 VA 为母线，称由直角边 OA 旋转所得的圆为底面，称由斜边 VA 旋转所得的曲面为圆锥面现在我们用一个平面，以四种不同角度去切割它：第一种，平面平行于底面，它与圆锥面的截交线是一个圆(见图 7-65(2)；第二种，平面与
6、底面、旋转轴及母线都不平行，它与圆锥面的截交线是一个压扁了的圆，已经证明它正是一个椭圆(见图 7-64(3)；第三种，平面与母线 VA 平行且不经过 V，它与圆锥面的 lF图 7-63BVAO图 7-64(1)VAO图 7-64(2)VAO图 7-64(3)V图 7-64(4)AO V图 7-64(5)AO71截交线也被证明是一条抛物线(图 7-64(4)；最后当平面与旋转轴 VO 平行且不经过 V，它与圆锥的圆锥面截交得到一条曲线，恰好就是双曲线的一支(图 7-64(5)因此椭圆、双曲线和抛物线，是在同一个圆锥上、用不同平面去切割圆锥面得到的，通称为圆锥曲线，可见这三种曲线是有着密切的“血缘
7、”关系的联系运动学下面的事实你是必定有体验的：投掷一个球，最后还是在地心引力的作用下回落到地面上，球在空中运行的轨迹是一条曲线，这条曲线正是以地心为焦点的抛物线(这也可以说是这条曲线命名的由来 )如果你有像发射火箭那样的推力，使球的运动速度能略超过9.8km/s，这时球就不会回落到地面上来了，而是在地心引力的作用下，成为围绕地球运行的一颗“卫星球”，运行的轨道恰好是以地心 O1 作为一个焦点的椭圆(见图 7-65 的 l1)人造地球卫星总是在椭圆轨道上运行，就是这个原理如果你投掷球的速度再快一些，那么球还能脱离地球的引力范围，进入到太阳的引力范围，成为围绕太阳 O 的运行的一颗“行星球”，运行
8、轨道仍然是一个椭圆，太阳 O 是椭圆轨道的一个焦点(见图 7-65 的l2)你的球的速度越快，椭圆就越“扁” ，即围绕太阳的椭圆轨道的离心率e 越接近 1，也即椭圆轨道的另一个焦点离开太阳越远，此时你的球有点像“彗星球”了彗星通常在很“ 扁”的椭圆轨道上绕太阳运行设想你投球的速度能达到 16km/s，这时你的球将会离太阳而去，永远也不会回来了，它的运行轨道是一个离心率 e=1 的“椭圆” ，也就是另一个焦点在无穷远处的“椭圆”然而椭圆的两个焦点应该在有限位置处，离心率也应该小于 1，实际上这样的轨道已经不能再称“椭圆” 了，那么是什么呢？正好是以太阳 O 为焦点的抛物线(见图 7-65 的 l
9、3)！所以可以说抛物线是一个焦点在有限位置、另一个焦点在无穷远处的“椭圆” ，或者说是离心率 e=1 的“ 椭圆 ”最后如果你的球速能比 16km/s 还大，此时球将以双曲线轨道永远离开太阳系，太阳O 仍然在双曲线的一个焦点上 (见图 7-65 的 l4)联系准线定义抛物线是以“到一个定点 F 与定直线 l 等距的动点的轨迹”来定义的，改成“到一个定点 F 的距离与到一条定直线 l 的距离之比为常数 1 的动点的轨迹”，是完全等价的对椭圆和双曲线，也有这么一条直线 l1，使椭圆和双曲线上的点，到一个焦点 F1 的距离与到定直线 l1 的距离之比为常数图 7-65 O1Ol1l2l3l472(见
10、图 7-66(1),(2)，只是这个常数不是 1 而是离心率 e (即图 7-66(1),(2)上=e,P1 是 P 在 l1 上的垂足)；而且因为椭圆和双曲线的焦点有两个，F所以这样的直线有两条，另一条是图 7-66(1),(2)上的 l2，它满足=e,P2 是 P 在 l2 上的垂足)我们同样把上述 l1,l2 称为 椭圆和双曲线的准线根据三种曲线的这种公共特征，可以说平面上到一个定点(焦点)的距离与到一条定直线(准线 )的距离之比为常数 e 的动点的轨迹 ，称为圆锥曲线，当比值 e1 称为双曲线；当 e=1 称为抛物线因此我们也很自然地规定，抛物线的离心率 e=12. 圆锥曲线的标准方程
11、圆锥曲线在建筑、机械、电子乃至宇宙航行等领域有广泛的应用，有必要进一步探求它们的一些性质，为此首先要建立表示它们的数学方程(1)椭圆的标准方程及几何性质椭圆的标准方程椭圆是到两个定点(即焦点 )距离为常数的动点的轨迹，建立椭圆方程实际上是求满足条件的轨迹方程以连接焦点 F1,F2 的直线为 x 轴，它们的中点为原点建立坐标系(见图7-67(1)设 F1F2=2c，动点 P(x,y)到 F1,F2 的距离和PF1+PF2=2a, (ac)，则焦点坐标 F1(c,0),F2(-c,0)PF1+PF2= + =2a)yx2)即 =2a-(yx两边平方 (x+c)2+y2=4a2-4a +(x-c)2
12、+y2，2)移项整理得a =a2-xc，)两边再次平方得a2(x2-2xc+c2+y2)=a4-2a2xc+x2c2，合并同类项后得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)x图 7-67(1)yACO PF1F2abcBDF1F2 图 7-66(1) ABPl1l2P2 P1图 7-66(2)F2F1P A Bl1l2P1P273记 b= (7-4-3)2ca上式可以改写为b2x2+a2y2=a2b2，两边同除以 a2b2，最终得到=1,(ab0) (7-4-4)在上面方程推导中，我们以连接焦点 F1,F2 的直线为 x 轴，如果把连接焦点 F1,F2 的直线设为 y 轴，那么得到的方
13、程将是=1,(ab0) (7-4-5)x按照 y 轴是纵轴的习惯，椭圆的图象也转了一个个儿，成为图 7-67(2)那样竖的了按照上面两种方法建立的坐标系，称为标准坐标系；在标准坐标系中，椭圆的方程为(7-4-4)或(7-4-5)，它们称为椭圆的标准方程让我们来解释一下标准方程里的系数方程(7-4-4)或(7-4-5)中的 a 是清楚的，在分析定义时你已经知道，它是图 7-67 中 AB 长的一半，即 OA 的长；当 P 到达图 7-67 的 C 或 D 点处，此时 PF1=PF2=a，因此 b=OC=OD，其中 C,D 是椭圆与标准坐标系非焦点所在的坐标轴的交点显然 bb0)2yx=1,(ab
14、0)2yx图 形有 界 性 椭圆含于直线 x=a,y=b所围成的定界矩形内 椭圆含于直线 y=a,x=b所围成的定界矩形内对 称 性 椭圆关于标准坐标系的坐标轴对称，也关于原点呈中心对称中 心 椭圆的对称轴的交点，即标准坐标系的原点顶 点 对称轴与椭圆的四个交点，即图中的 A,B,C,Dx图 7-67(2)yCAO PF1F2 ba cDB xyACO F1F2abcBDxyCAO F1F2 ba cDB74长、短轴 长轴为 x 轴上线段 AB, 短轴为 y 轴上线段 CD 长轴为 y 轴上线段 AB短轴为 x 轴上线段 CD长、短半轴长(长、短半轴)称长轴顶点间距离 AB=2a 为长轴长，
15、a 为长半轴长；称短轴顶点间距离 CD=2b 为短轴长， b 为短半轴长焦点、焦距及半 焦 距焦点位于 x 轴上,焦点坐标为 F1(c,0),F2(-c,0);焦距为 2c,半焦距为 c； c=ba焦点位于 y 轴上,焦点坐标为 F1(0,c),F2(0,-c);焦距为 2c,半焦距为 c； c=离 心 率 e e= = , (0b，所以也可以说长半轴长为 a，短半轴长为 b至于长轴是在 x 轴上还是在 y 轴上，要取决于标准方程的具体形式，具体些说，取决于 x2, y2 项的分母哪个大我们不加证明地直接给出了准线方程(其实证明也不难，你可以自己动手证明一下) ，从方程可见，它们是垂直于长轴的
16、直线，且因为 c0, b0) (7-4-6)2yxx图 7-68(2)y4 24-4 2O-4x图 7-69(1)yPF2F1 O AB2ab2cCD76其中 b2=c2- a2 (7-4-7)如果以直线 F1F2 为 y 轴，则焦点 F1,F2 的坐标为(0, c),(0, -c)，方程成为=1, (a0, b0) (7-4-8)2x其中的 b 还是以(7-4-8)表示，此时轨迹曲线、即双曲线的图象成为图 7-69(2)称以上述两种不同方式建立的坐标系为标准坐标系，而相应得到的方程(7-4-6),(7-4-8)为双曲线的标准方程标准方程中的系数 a 是双曲线与焦点所在的坐标轴的两个交点间的距
17、离之半，那么 b是什么呢？改写(7-4-7)为c2=a2+b2，可见 b 是这么一条线段：边长为 2a,2b 的矩形的对角线长，正好等于 2c，在图 7-69 中，我们已经画出了这个矩形，称这个矩形为双曲线的定界矩形在图 7-69(1)情况，矩形四角顶点坐标是 (a,b),(-a,b),(-a,-b),(a,-b)，其两条对角线方程为=0， =0 (7-4-9)byax在图 7-69(2)情况，矩形四角顶点的坐标则变为( b,a),(-b,a),(-b,-a),(b,-a)，其两条对角线方程为- =0， =0 (7-4-9)aybx这两组方程，只要令标准方程的左边等于 0，再分解因式，分别令两
18、个因子等于 0 就能得到你即将看到，这两组对角线在双曲线中起着重要作用双曲线的几何性质从双曲线的标准方程和图象，立即可以得到它的一些几何性质，我们同样列在表中标准方程 =1, (a0, b0)2yx=1, (a0, b0)2xy图象定界 由直线 x=a, y=b 围成 由直线 y=a, x=b 围成x图 7-69(2)yPF2F1OAB2ab2cCDxyF2 F1 O ABCDxyF2F1OABCD77矩形渐近线=0byax=0bxay无界性双曲线位于直线 x=a 外侧，向 x 轴两头开口, 两端无限延伸且无限靠近渐近线 双曲线位于直线 y=a 外侧，向 y 轴两头开口, 两端无限延伸且无限靠
19、近渐近线对称性 以 x 轴、 y 轴为对称轴，以原点为对称中心实轴虚轴双曲线与 x 轴相交, 称 x 轴上线段 AB 为实轴, 其长 2a 为实轴长, a 为实半轴长; y 轴上线段 CD 为虚轴, 其长 2b 为虚轴长, b 为虚半轴长.双曲线与 y 轴相交, 称 y 轴上线段 AB 为实轴, 其长 2a 为实轴长, a 为实半轴长; x 轴上线段 CD 为虚轴, 其长 2b 为虚轴长, b 为虚半轴长.顶 点称双曲线与(实轴所在的) x 轴的交点 A,B 为其顶点, 顶点坐标 A(a,0),B(-a,0)称双曲线与(实轴所在的) y 轴的交点 A,B 为其顶点, 顶点坐标 A(0,a),B
20、(0,-a)焦 点交点在( 实轴所在的) x 轴上, 坐标为 F1(c,0),F2(-c,0), c=b交点在( 实轴所在的) y 轴上, 坐标为 F1(0,c),F2(0,-c), c=b离心率 e= = ,e1,e 越大, 双曲线张口越开a2准线方程 x= , x= -c2y= , y= -ca22注意，双曲线问题中，判断实轴在哪个坐标轴至关重要，因为焦点、顶点都在这根轴上，双曲线的开口方向也是向着这根轴给出焦点坐标或给出顶点坐标，即可确定实轴所在的坐标轴非零坐标的同名轴；给出了双曲线的标准方程，也能立即判定正系数变量的同名轴准线方程与椭圆是相同的，它们垂直于实轴，且因为 ca，因此准线应
21、该在两个顶点之间(见图 7-66(2)例 2 求以下列方程给出的双曲线的实轴、虚轴所在的坐标轴、实半轴长、虚半轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标、定界矩形、渐近线及准线：(1)x2- =1； (2) =-1； (3)y2-x2=-24y9162x解 (1)由标准方程得 a=1,b=2, c= = 5因 x2 项系数为正，所以实轴在 x 轴上，虚轴在 y 轴上；实半轴长=a=1，虚半轴长= b=2，离心率 e= = ；顶点在 x 轴上，坐标为(1,0),(-1,0)；焦点也在 x 轴上，坐标为( ,0),5(- ,0)；5定界矩形由直线 x=1, x=-1, y=2, y=-2 围成；令 x2-
22、=0，分解因式，得渐近线方程： x+ =0, x- =0；4y2y78准线方程为 x= = ，即 x= ca251(2)改写方程为标准方程： =1得 a=3, b=4, c= =5692y2因 y2 项系数为正，所以实轴在 y 轴上，虚轴在 x 轴上；实半轴长=a=3，虚半轴长= b=4，离心率 e= = ；c35顶点在 y 轴上，坐标为(0,3),(0,-3)；焦点也在 y 轴上，坐标为(0,5),(0,-5);定界矩形由直线 x=4, x=-4, y=3, y=-3 围成；令 =0，分解因式，得渐近线方程： =0, =0；169243x准线方程为 y= = ca259(3) 改写方程为标准
23、方程： =1得 a=b= , c= =22yx22因 x2 项系数为正，所以实轴在 x 轴上，虚轴在 y 轴上；实半轴长 =虚半轴长= ，离心率 e= = ；ac顶点在 x 轴上，坐标为( ,0),(- ,0)；焦点也在 x 轴上，坐标为2(2,0),(-2,0)；定界矩形由直线 x= , x=- , y= , y=- 围成；2令 =0，分解因式，得渐近线方程： =0，即 x+y=0,2yxx-y=0(第,象限分角线和第,分角线)；准线方程为 x= =1 ca2其中第(3)题的双曲线有特点：长轴长与短轴长相等，称这种双曲线为等轴双曲线等轴双曲线的两条渐近线，恰好是第,象限分角线和第,分角线，且
24、准线方程必定是 x=1 或 y=1课内练习 41. 求以下列方程给出的双曲线的实轴、虚轴所在的坐标轴、实半轴长、虚半轴长、离心率、顶点坐标、焦点坐标、定界矩形及渐近线：(1) =1； (2)5x2-y2=-20； (3) -x2+y2=-49162yx双曲线的作图已知双曲线的标准方程，可以用描点法作出它的精确图象就作出其79草图而言，双曲线的渐近线使我们可以以较少的点就能办到第一步 据标准方程的系数，画出定界矩形及其两条对角线；第二步 确定实轴所在轴，标出顶点和焦点；第三步 取虚轴所在轴坐标= b，则实轴所在轴坐标= a，标出该点2P1 (即坐标为( a,b)若实轴在 x 轴上，或( b, a
25、)若实轴在 y 轴上的2点 P1)；第四步 光滑连接顶点、 P1，使连线在顶点处与定界矩形的边相切，接着一边延伸一边与对角线之一无限靠近如此得到双曲线的半支；第五步 关于实轴所在的坐标轴作对称，得双曲线的一支，再关于虚轴对称，得到双曲线全部图象图 7-70(1)(2)(3)就是根据上述步骤作出的例 2 中各双曲线的草图课内练习 51. 求作课内练习 4 中各双曲线的草图(3)抛物线的标准方程及几何性质抛物线的标准方程抛物线是到一个定点(即焦点 )F 和定直线(即准线) l 距离相等的动点的轨迹，建立抛物线方程实际上是求满足条件的轨迹方程以过焦点 F、垂直于准线 l 的直线为 x 轴、以垂足与定
26、点间的线段的中点为原点，建立坐标系如图 7-71(1)记焦点到准线的距离为 p(p0)，则准线方程为 x=- ，焦点坐标为( ,0)动点 P(x,y)到准线的距离为2p2p|x+ |，到焦点的距离为 ，令两者相等，得2)(ypxx+ =2x图 7-71(1)yOlFP- 2px图 7-70(1)yF2 F1P1O211-2x图 7-70(2)yF2F1 P1O-4 43-3x图 7-70(3)yF2 F1P1O-80两边平方、移项整理后得y2=2px (p0) (7-4-10)当然你也能把准线放在原点的右边，或者把过焦点、垂直于准线的直线作为 y 轴，因此还有如图 7-71(2)(3)(4)几
27、种可能情况此时推出的方程，依次写在图的下面y2=-2px(p0) x2=2py(p0) x2=-2py(p0)所有这些方式建立的坐标系都称为标准坐标系，而导出的抛物线方程的四种形式，也都称为标准方程对标准方程本身的识别问题方面，特别提醒你注意几点： 标准方程的形式，左边是一个变量的平方项，其系数为 1，右边是另一个变量的一次方，其系数为2 p(p0)；其中 p 为抛物线的焦点到准线的距离； 在标准坐标系中，焦点位于一次方变量的同名轴上；焦点坐标的两个分量，与一次方变量同名的分量是一次方项系数的 ，另一个分量为410； 准线方程是一次方同名变量等于一次方项系数的 的相反数； 为了求焦点坐标或准线
28、方程，你首先应把所给方程化为标准方程通观三种圆锥曲线的标准方程，它们有一个公共的特点：方程中必定出现变量的二次方项因此在很多书中，称圆锥曲线为二次曲线例 3 求下列抛物线的焦点 F 的坐标及准线 l 方程：(1)y2=4x； (2)x2+3y=0； (3) x=- y2； (4)4x2=-y； (5)5y2=-3x解 (1)由已知标准方程 y2=4x，得焦点 F(1,0)；准线 l： x=-1 (2)化方程为标准方程 x2=-3y，得焦点 F(0,- )；准线 l： y= 4343(3)化方程为标准方程 y2=-x，得焦点 F(- ,0)；准线 l： x= 11(5) 化方程为标准方程 y2=
29、- x，得焦点 F(- ,0)；准线 l： x= 53203203课内练习 61. 求下列抛物线的焦点 F 坐标及准线 l 方程：-x图 7-71(2)y OlFP 2px图 7-71(3)yOlFP-x图 7-71(4)yOlFP-2p81(1)x2=4y； (2)x2-20y=0； (3)y2=-5x； (4) x=10y2； (5)3x2+y=0抛物线的几何性质从抛物线的标准方程和图象，立即可以得到它的一些几何性质，这些性质集中列在下面的表中标准方程 y2=2px,(p0) y2=-2px,(p0) x2=2py,(p0) x2=-2py,(p0)图象位置特征及无界性抛物线位于 y轴右侧
30、，开口向右，并向右上方和右下方无限延伸抛物线位于 y轴左侧，开口向左，并向左上方和左下方无限延伸抛物线位于 x轴上侧，开口向上，并向右上方和左上方无限延伸抛物线位于 x轴下侧，开口向下，并向右下方和左下方无限延伸对称性 以 x 轴为对称轴 以 y 轴为对称轴顶点 以坐标原点为顶点焦点 F( ,0)2pF(- ,0)2pF(0, )2pF(0,- )2p准线方程x=- x= y=- y=离心率 e=1你可以按照下面的规律来记忆标准方程的形式：一次方项与对称轴(焦点所在轴)同名；一次方项的系数等于焦点非零坐的 4 倍例 4 在标准坐标系中，已知抛物线以 y 轴为对称轴，且焦点到准线的距离是 3，求
31、其标准方程解 因为抛物线的对称轴为 y 轴，故可设其标准方程为 x2=2py, (p0)，焦点到准线的距离为 p，据已知条件得 p=3所以满足条件的抛物线为下列两条： x2=6y 或 x2=-6y 课内练习 71. 在标准坐标系中，已知抛物线的焦点坐标为(-4,0)，求其标准方程抛物线的作图椭圆以离心率 e 的大小影响其扁圆程度，双曲线也以离心率 e 的大小影响其张口的大小，抛物线的离心率 e 总是 1，那么以什么来影响其“胖瘦”呢？当然只有系数 p 了。例如抛物线 y2=2px，以直线 x=1 与之相交，交点的纵坐标 y= ，因此 p 越大，| y|越大，抛物线也2就越胖，反之则越瘦(见图
32、7-72，图中画的抛物线是 y2=x 和 y2=2x)即当 p 较小时抛物线较 “瘦”；当 p 较大时抛物线则较“胖” xyOlF-xyOlF- xyOlF- 2 xyOlF - 21xO图 7-72y1y2=2xy2=x82由于抛物线的图象不像椭圆那样有章可循是一个压扁了的圆，也不像双曲线那样有渐近线可靠近，因此要想得到其比较精确的图象，不得不选比较多的点，然后用描点法如果图象的要求不太高，你可以用下面的方法得出简图：求出过焦点、垂直于对称轴的直线与抛物线的两个交点 P1, P2 坐标(例如抛物线方程为y2=2px 时， P1 ( , p), P2( ,-p)；光滑连接原点( 即顶点 )和
33、P1,P2，并注意关于对称轴对称，在原点处与非对称轴的另一坐标轴相切例 5 求下列抛物线的焦点 F 的坐标，并作出其草图：(1)x2=-4y； (2)2y2-3x=0解 (1)x2=-22y， p=2，焦点 F(0,-1)抛物线的对称轴为 y 轴，向下开口特征点 P1(2,-1), P2(-2,-1)，草图见图 7-73(1) (2)y2=2 x， p= , 焦点 F( ,0)4383抛物线的对称轴为 x 轴，向右开口特征点 P1( , )， P2 ( ,- )，草图见图 7-72(2) 8课内练习 81. 求下列抛物线的焦点 F 坐标，并作出其草图：(1)x2=10y； (2) y2+5x=
34、03. 据已知条件求圆锥曲线的标准方程(1)据已知条件求椭圆、双曲线的标准方程无论是椭圆还是双曲线，要确定其标准方程，都可以通过下列步骤解决第一步 判断焦点在哪根坐标轴上或长轴(实轴)在哪根坐标轴上，由此可设定标准方程的形式，为下列四种之一：=1， =1， =1， =1；2byax2a2byx2a若不能确定焦点所在轴，则应同时写出两个方程(问题可能有两解) ；第二步 由题目中关于 a,b 的已知条件得出关于 a,b 的方程组，或由题目中关于 a,b,c 的已知条件及关系式 a2=b2+c2(椭圆情况)或 c2=a2+b2(双曲线情况)，得出关于 a,b,c 的方程组；第三步 解上述方程组，求得
35、 a2,b2；第四步 代入已知形式的方程中，得到标准方程例 6 求适合下列条件的椭圆的标准方程：x图 7-73(1)yOlF P11-1 P2x图 7-73(2)yOlFP2P183(1)长轴长为 4，短轴长为 2 ，长轴在 x 轴上；(2)焦距为 6，离心率为 53解 (1)因为长轴在 x 轴上，故设所求的椭圆标准方程为 =1,2byax(ab0)由题意知 2a=4,2b=2 ，即 a2=4,b2=2，故所求的标准方程为+ =1 42y(2)因为不能确定椭圆的焦点是在哪根坐标轴上，故应设所求的椭圆标准方程为 =1 或 =1,(ab0)由已知条件及 a2=b2+c2，可2bax2得方程组： 2
36、c=6, = , 53a2=b2+c2， + =1 或 + =1 x16y2xy例 7 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在 y 轴上，虚轴长为 2，焦距为 8；(2)离心率 e=2，两顶点相距为 2 解 (1)因为焦点在 y 轴上，故可设所求的标准方程为 =1, 2bxay(a0,b0)据已知条件及 c2=a2+b2，得方程组2b=2,2c=8, 解之得 a2=15, b2=1，c2=a2+b2，故所求的双曲线的标准方程为 =1 215xy(2)因为不能确定双曲线的焦点在哪根坐标轴上，故设所求的标准方程为 =1， =1, (a0,b0)2byax2由已知条件及 c2=a2+b2，可
37、得方程组=2,2a=2 , 解之得 a2=2, b2=6，c2=a2+b2，故所求的标准为 =1 或 =1 6yxx课内练习 9解之得 a2=25, b2=16，故所求的标准方程为841. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)短轴长为 8，离心率为 ，焦点在 x 轴上；53(2)焦距为 8，长轴长与短轴长之和为 162. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)实轴长为 10，虚轴长为 8；(2)顶点在 x 轴上，焦距是 16，离心率 e= 34例 8 (1)动点到两个定点的距离和为 10，定点之间距离为 6，以定点组成线段的中点为原点，定点连线为 x 轴，求动点的轨迹方程；(2)已知定点
38、A(0,-2),B(0,2)，求到这两个定点的距离和为 12 的点的轨迹解 (1)据椭圆定义知轨迹是以定点焦点的椭圆，坐标系为标准坐标系 2a=10，2 c=6， b= =4；2ca因为定点连线为 x 轴，所以长轴在 x 轴上，故所形成的椭圆的标准方程是+ =1 5x16y(2)由椭圆的定义可知，所求轨迹为一以 A,B 为焦点的椭圆因为焦点在 y 轴上，且关于原点对称，所以可设它的方程为=1,(ab0)2x由已知条件及 a2=b2+c2，可得方程组：2a=12,c=2, 解之得 a2=36, b2=32，a2=b2+c2，故所求的轨迹方程为 + =1 3x62y课内练习 101. 动点到两个定
39、点的距离和为 2，定点之间距离为 1，以定点组成线段的中点为原点，定点连线为 y 轴，求动点的轨迹方程2. 已知 P(0,-2),Q(0,2)，求到这两个点的距离差为 2 的点的轨迹方程例 9 若在标准坐标系中的椭圆过下列两个点，求其方程：(1)A(0,-3),B(2,0)； (2)C(-2, ),B( ,- )3解 (1)由椭圆的几何性质可知，椭圆是以坐标轴为对称轴的，以标准方程表示的椭圆，只有顶点的坐标才会有一个分量为 0，因此 A,B 分别是椭圆在 y 轴上和 x 轴的顶点，由此可知，椭圆长半轴长 a=3，短半轴长85b=2，且长轴在 y 轴上所以椭圆方程为 + =1 42x9y(2)设
40、椭圆方程为 + =1,(m0,n0) (1)2x点 C,D 在椭圆上，它们的坐标应满足方程，所以+ =1, + =1，24n23解之，得 m2=8, n2=4，所以所求椭圆的标准方程为 + =1 82x4y注意，从第(2)题给定的条件，在求得方程之前难以判定焦点在哪根坐标轴上，此时可设所求的椭圆方程为(1)那样的“中性”形式，以避免分焦点在 x 轴、 y 轴两种情况讨论的麻烦例 10 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)经过点 A(6, ), B(-5,0)；(2)经过点 P(-3, 2 ), Q(-6 ,-7)17解 (1)因为 B 的 y 坐标为 0，所以 B 是双曲线与 x 轴的交点
41、由双曲线的性质，这个交点是双曲线的顶点，因此双曲线的实轴在 x 轴，且实半轴长 a=5故可设双曲线的标准方程为 =1，即 =125by25by以点 A 的坐标代入，得 =1，解得 b2=25故所求双曲线为等2136轴的，其标准方程为 =1 52yx(2)据已知条件无法确定焦点所在的坐标轴，故设方程为- =1, (m,n0 且同号，即 mn0)2点 P 和点 Q 在双曲线上，以它们的坐标代入方程，得- =1, - =1，98749解之得 m=-75,n=-25，所以所求双曲线方程为- + =1，即 - =1 752xy257x课内练习 111. 求在标准坐标系中适合下列条件的椭圆方程：(1)经过
42、点 A(-3,0),B(0,-2)； (2)经过点 C(- ,1),D( ,- )2322. 求在标准坐标系中适合下列条件的双曲线方程：(1)经过点 A(2,3 ),B(0,5)； (2)经过点 C(2,-1),D(4, )37例 11 求与椭圆 2x2+7y2=70 共焦点，且一个顶点的坐标为(0,-6)的椭86圆的标准方程解 把已知椭圆的方程化为标准方程： + =1，可见已知椭圆的352x10y焦点在 x 轴上，半焦距= =5，因此所求椭圆的焦点也在 x 轴上，1035且 c=5(0,-6)为椭圆在 y 轴上的顶点(0, b)之一，故b=6； a2=b2+c2=36+25=71故所求椭圆的
43、标准方程为 + =1 712x36y例 12 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)顶点在 x 轴上，焦距为 4 ，渐近线之一的方程为 3x-2y=0；(2)一条准线的方程为 y=-2，半焦距为 3；(3)以椭圆 + =1 的焦点为顶点，且以该椭圆在 y 轴上的顶点为焦421点解 (1)因为顶点在 x 轴上，所以可设所求双曲线的标准方程为=1, (a0,b0)，它的两条渐近线方程为 =0，即 y= x2yx baxa改写已知渐近线方程为 y= x，可知 = ；又因为23232c=4 ,c2=a2+13b2，故可得方程组= ,2c=4 , 解之，得 a2=16,b2=3613c2=a2+b2，
44、故所求双曲线的标准方程为 =1 62yx(2)因为准线 y=-2 垂直于 y 轴，所以实轴在 y 轴上，故设所求的双曲线方程为 =1,(a,b0)据已知条件可得方程组2c=3,- =-2， 解之，得 a2=6, b2=3故双曲线方程为c2=1362xyc2=a2+b2，(3)图 7-74 画出了所求双曲线的示意图xO图 7-74y87因为已知椭圆的焦点在 y 轴上，且双曲线以椭圆在 y 轴上的顶点为焦点，所以双曲线的焦点在 y 轴上，故可设所求的标准方程为=1, (a0,b0)2x因为双曲线以椭圆的焦点为顶点，而椭圆的半焦距 c1= =2 ，所以 a2= =8；又因为41c双曲线的焦点为椭圆在
45、 y 轴上的顶点，即得方程组：a2=8, c2=12,c2=a2+b2，解之，得 a2=8,b2=4故所求的双曲线的标准方程为 =1 482xy课内练习 121. 求长轴长是短轴长的 3 倍，且与椭圆 =1 共焦点的椭圆的标准方204x程2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点之一的坐标为(-5,0)，渐近线之一的方程为 2x-y=0；(2)与椭圆 =1 有相同焦点的等轴双曲线；925yx3. 椭圆的一条准线为 x=8，半长轴长为 4，求其标准方程(2)据已知条件求抛物线的标准方程 因为抛物线总共只需要确定一个系数 p，它也没有离心率问题，相对来说比椭圆和双曲线的同类问题要简单一些下
46、面我们来看一些例子例 13 满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点 F 的坐标是(0,-2) ； (2)准线方程是 x=- ； (3)过点 A(-3,-2)；41(4)以 x 轴为对称轴，与过焦点且平行与 y 轴的直线交得的两个点之一的纵坐标是 3解 (1)因为焦点 F 的坐标是(0,-2)，所以焦点在 y 轴的负半轴上，标准方程的形式为 x2=-2py,(p0)焦点坐标是(0,- )，比较已知值，即知2pp=4.所以所求的标准方程为 x2= -8y (2)因为准线方程是 x=- 所以抛物线的标准方程形式为 y2=2px, 41(p0)准线方程为 x=- ，所以 p= 故所求的标准方程为
47、y2=x 2(3)如图 7-75，因为抛物线过点 A (-3,-2)，88而 A 位于第三象限，所以抛物线的焦点在x 轴的负半轴或 y 轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为y2=-2p1x 或 x2=-2p2y, (p1, p20)，以 x=-3,y=-2 分别代入，解得-2 p1=- ,-2p2=- ，349故所求的抛物线方程为 y2=- x 或 x2=- y (4)因为对称轴为 x 轴，所以标准方程可设为 y2=mx，则焦点坐标为 (,0)；因此过焦点且平行于 y 轴的直线方程为 x= ，4m4m据已知条件点( ,3) 在抛物线上，以 x= ,y=3 代入方程 y2=mx，得49= ，即
48、m=62所以满足条件的抛物线有两条，它们的方程是： y2=6x 课内练习 131.求满足在标准坐标系中下列条件的抛物线的标准方程到直线：(1) 焦点 F 的坐标是(-2,0)； (2)准线方程是 y=-5；(3)过点 A(3,-2)且以 x 轴为对称轴；(5)焦点在 y 轴上，与过焦点且平行于 x 轴的直线相交所得的两个交点之一的横坐标是 24. 圆锥曲线的平移和坐标轴的平移以椭圆 =1 为例，若被平移到了坐标系的另外一个位置，例如2byax原来的中心(0, 0)被平移到点 O (x0,y0) (见图 7-76)，那么它的方程将有怎样的改变？或者说，把原点移到新原点 O、坐标轴平行移动成为 Ox,Oy后，椭圆在新坐
