1、1中国人口增长预测模型摘要本文主要讨论了我国人口数量的发展趋势。利用已有数据分别建立了阻滞增长模型、偏微分方程模型及 Leslie 人口模型。在常用的阻滞增长模型中，我们充分考虑了当人口基数很大时，由于人口之间的相互竞争、争夺资源等原因对人口的自然增长率的影响。该模型的关键是如何确定固有的人口增长率。在此，我们采用计算机模拟的方法，产生一组随机数，并且画出该组数据的频数直方图，来确定该组数据的分布情况，进而运用其期望值代替人口的固有增长率，并且对其分布情况作了假设检验，最后预测了 30 年以后的人口总量。在偏微分方程模型中，我们主要讨论了人口数量随时间和人口年龄的变化关系，并且引入了生育模式、
2、总和生育率等重要指标，对未来人口的发展趋势作出预测。首先运用数据拟合来确定 t 时刻的新生婴儿的数量，进而得到最终模型，再利用积分中值定理，求得 2030 年不同年龄对应的人口总量。在 Leslie 人口模型中，我们运用 Leslie 矩阵来描述相邻两个年龄的分布向量之间关系。并且利用矩阵的最大特征值的不同取值情况，估计我国未来人口的长期发展趋势。应用矩阵运求得的人口峰值为 15.1033 亿，与权威专家的预测不谋而合。在 Leslie 人口模型的推广中，我们还讨论了人口的老龄化指标、总扶养比等指标的发展趋势，并且对产生新生儿性别比持续升高、人口老龄化等现象作了定量的分析。针对目前较高的初生儿
3、性别比、人口老龄化加剧的现象，给出了一些合理的建议。关键词：总和生育率、人口扶养比、老龄化指标、阻滞增长模型、Leslie 矩阵、偏微分方程2一、问题提出1.背景近半个世纪以来，人口问题已经越来越受到社会的关注，而我国正面临着比 20 世纪更为复杂的人口发展形势，人口发展面临的严峻挑战有：1.人口总量持续增长影响全面建设小康社会目标的实现2.人口素质难以适应日趋激烈的综和国力竞争3.人口结构性矛盾对社会稳定与和谐的影响日益显现4.人口调控和管理难度不断加大，低生育水平面临反弹风险而人口预测是社会未来预测的一种。它的任务是根据客观存在的人口规律，运用现代科学技术方法，及时预测人口过程的发展趋势，
4、协助政府决策机构制定政策，选择人口的最佳发展方案，提出改进措施，以使人口的发展更加适应物质资料生产发展的要求。2问题中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录 1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录 2 就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和
5、人口增长的上述特点出发，参考附录 2 中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据） ，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。二、模型的假设1）女性人口的生育期为 1549 岁，在其他年龄段的女性不生育； 2）以下讨论的所有问题中均不考虑由于入境与出境对人口的总数造成的影响；3）中短期预测为 20 年以下，长期预测为 30-50 年以上；4）人口预测主要考虑人口数量方面的指标，对于人口质量方面的指标不做要求；5）育龄妇女每次只能生育一个孩子；6）假设女性生育率已除去生育时婴儿死亡的情况；三、符号说明-人口固有增长率；
6、r3-t 时刻人口的数量；()xt-人口总量的最大值；ma-t 时刻年龄为 x 的人口数量；(,)pt-t 时刻年龄为 x 的人口的死亡率dx-t 时刻年龄为 x 的女性人口的比例(,)kt-t 时刻年龄为 x 的女性在单位时间内的平均每人b的生育数目-在时刻 t 平均每个育龄女性的生育数()t-时段 k 第 i 个年龄组的(女性)人口总数xki-时段 k(女性)人口数量按年龄组的分布向量()X-年龄为 m,在第 n 个地域的女性的生育率bmn-平均人口的年龄()Rt-平均人口的寿命S-老龄化指标()wt-依赖性指数四、模型的建立与求解模型一、阻滞增长模型（Logistic 模型）指数增长模型
7、（Malthus 模型： ， ）是建立在人口基数dxrt(0)x比较小的基础上的，且认为人口的自然增长率保持不变，环境资源无限可用的情况下的最基本的人口模型。然而在本问题中人口基数已经达到 13 亿，而且随着人口的增长，自然资源、环境条件等资源会变得越来越少，从而直接影响人口的增长情况，因此我们采用指数修正模型阻滞增长模型对该问题进行简单分析。假设 t 时刻人口增长率为 r,人口的数量为 x，则由于资源有限 ,人口增长率r 随着人口数量的增长越来越小，可以将其表示为人口 x 的函数 r(x),得阻滞增长4模型如下：， (),0dxrxtrx则 ，其中1,()0tttkrk用分离变量法可以求得：
8、 ()()1kxttre（1）可知 x(t)是单调函数， （若 ，则单调减，否则 x(t)单调增） ，而且有0xk称为极限人口。()limxtk,10,tdxrtt其中 满足t()maxt在上述模型中显然有 ，因此必须重新讨论 r，通常我们选 r 为0dt()rBt这时一定存在时刻 t，使得 r=0，且有 ，r0 人口总数越来越大,而当t时，r#include#include#include#includeint main() double a,t,w,k,x; double y,z;long j=0;srand(time(0);coutt;while(t!=0) coutx;j=0;for(
9、long i=1;i1)coutt; return 0; 2）程序 2（本程序运行环境为 WIN-TC）#include “stdio.h“#include “conio.h“main() float a630,b30,c30,x,y;int i,j;printf(“please input two data to a and b “);scanf(“%f%f“,printf(“%f“,x);a00=x;a10=y;printf(“%f“,a00);for(j=0;j=29;j+) cj=exp(0.0007*x*x-0.0004*x-0.2932)bj=2-cj ;28printf(“%fn“,bj);for(j=0;j=29;j+)printf(“n“);for(i=0;i=5;i+) aij+1=bj*aij-ai+1j;printf(“%ld “,aij); getch();
