1、第2节 空间几何体的表面积与体积,最新考纲 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.,1.多面体的表(侧)面积,多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.,知 识 梳 理,2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r1r2)l,3.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,常用结论与微点提醒 1.长方体的外接球,2.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球,3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分),诊 断 自 测 1.思考辨析(在括号内打“”或“”),(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.
2、( ) (2)球的体积之比等于半径比的平方.( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.( ),解析 (1)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确. (2)球的体积之比等于半径比的立方，故不正确. 答案 (1) (2) (3) (4),2.已知圆锥的表面积等于12 cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( ),解析 S表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm). 答案 B,3.(2017浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( ),答案 A,4.(2016全国卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表
3、面积为( ),答案 A,6.(2016浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.,解析 由三视图可知，该几何体为两个相同长方体组合，长方体的长、宽、高分别为4 cm、2 cm、2 cm，其直观图如下：,其体积V222432(cm3)，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为S2(222244)2222(832)872(cm2). 答案 72 32,考点一 空间几何体的表面积,【例1】 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ),A.17 B.18 C.20 D.28,解析 (1)由三视图知，该几何体是一个直
4、四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示.,(2)由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面),答案 (1)B (2)A,规律方法 空间几何体表面积的求法. (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量. (2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理. (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.,【训练1】 (1)(2016全国卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( ),(2)(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，
5、其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( ),A.10 B.12 C.14 D.16,答案 (1)B (2)B,考点二 空间几何体的体积,【例2】 (1)(一题多解)(2017全国卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( ),A.90 B.63 C.42 D.36,(2)(2016浙江卷)如图，在ABC中，ABBC2，ABC120.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PDDA，PBBA，则
6、四面体PBCD的体积的最大值是_.,解析 (1)法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.,规律方法 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解. (2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. (3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,(2)(2015浙江卷改编)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是_cm3.,(2)由三视图可知该几何体是由棱长为2
7、 cm的正方体与底面边长为2 cm正方形、高为2 cm的正四棱锥组成.,考点三 多面体与球的切、接问题(变式迁移),解析 由ABBC，AB6，BC8，得AC10. 要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面ABC的内切圆的半径为r.,答案 B,【变式迁移1】 若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB3，AC4，ABAC，AA112，求球O的表面积.,解 将直三棱柱补形为长方体ABECA1B1E1C1， 则球O是长方体ABECA1B1E1C1的外接球. 体对角线BC1的长为球O的直径.,【变式迁移2】 若本例中的条件变为“
8、正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积.,解 如图，设球心为O，半径为r，,规律方法 空间几何体与球接、切问题的求解方法 (1)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题. (2)若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.,【训练3】 (1)(2017全国卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ),(2)(2017全国卷)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为_.,答案 (1)B (2)36,
