1、第47讲 线面垂直与面面垂直,考试要求 1.空间中线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理(B级要求)；2.运用线面垂直、面面垂直的判定定理及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题(B级要求).,1.(教材改编)下列命题中正确的是_(填序号).,如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面； 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面； 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面； 如果平面平面，平面平面，l，那么l.,诊 断 自 测,解析 根据面面垂直的性质，知不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面内，正确. 答案 ,2.设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在
2、平面内，且bm，则“”是“ab”的_条件.,解析 若，因为m，b，bm，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b，又a，所以ab；反过来，当am时，因为bm，且a，m共面，一定有ba，但不能保证b，所以不能推出. 答案 充分不必要,3.(2018宿迁质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：,若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD； 若ABAC，BDCD，则BCAD； 若ABCD，ACBD，则BCAD. 其中为真命题的是_(填序号).,解析 如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由ABACAMBC，同理DMBC，且AMDMMBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCA
3、D.设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC.,答案 ,4.(必修2P37习题6改编)如图，平面ABC平面ABD，ACB90，CACB，ABD是正三角形，O为AB的中点，则图中直角三角形的个数为_.,解析 由题可知ABC，ACO，BCO，OAD，OBD，OCD是直角三角形. 答案 6,5.(必修2P47练习5改编)如图，已知直线AB，垂足为B，AC是平面的斜线，CD，CDAC，则图中互相垂直的平面有_对.,解析 平面ABC，平面ABD，平面ABC平面ACD. 答案 3,1.直线与平面垂直,(1)定义 如果直线l与
4、平面内的_直线都垂直，则直线l与平面垂直.,知 识 梳 理,任意一条,(2)判定定理与性质定理,相交,a，b,abO,l,lb,平行,a,b,2.直线和平面所成的角,(1)定义 平面的一条斜线与_所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是_，若一条直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是_的角.,它在这个平面内的射影,直角,0,3.平面与平面垂直,(1)二面角的有关概念 二面角：一条直线和由这条直线出发的_所组成的图形叫做二面角； 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作_的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. (2)平面和平
5、面垂直的定义 如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,垂直于棱,直二面角,(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理,垂线,交线,考点一 直线与平面垂直的判定与性质 【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点.,(1)求证：CDAE； (2)求证：PD平面ABE.,证明 (1)在四棱锥PABCD中， 因为PA底面ABCD， CD平面ABCD，故PACD. 因为ACCD，PAACA， PA平面PAC，AC平面PAC， 所以CD平面PAC. 而AE平面PAC，所以CDAE.,(2)由PAABBC，,
6、ABC60，可得ACPA. 因为E是PC的中点，所以AEPC. 由(1)知，AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD， 所以AE平面PCD. 而PD平面PCD，所以AEPD. 因为PA平面ABCD，AB平面ABCD， 所以PAAB.,又因为ABAD，PAADA，PA，AD平面PAD， 所以AB平面PAD， 又PD平面PAD，所以ABPD. 又因为ABAEA， AB平面ABE，AE平面ABE， 所以PD平面ABE.,规律方法 在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，应考虑线与线、线与面所在的平面特征，以顺利实现证明需要的转化.其中证明线面垂直的方法有： 利用线面垂直的
7、定义； 利用线面垂直的判定定理； 若a，ab，则b； 利用面面平行的性质定理， 即，aa； 利用面面垂直的性质定理：，l，a，ala.,【训练1】 (2017苏州期末改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：A1C平面C1BD.,证明 如图，连接AC，,则ACBD. 在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，BD平面ABCD，所以AA1BD. 又因为AA1ACA，AA1，AC平面AA1C， 所以BD平面AA1C. 因为A1C平面AA1C， 所以A1CBD. 同理可证A1CBC1. 又因为BDBC1B，BD，BC1平面C1BD，所以A1C平面C1BD.,考点二 平面与平
8、面垂直的判定与性质 【例21】 如图，S为平面ABC外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.,(1)求证：ABBC； (2)若AFSC于点F，AESB于点E，求证：平面AEF平面SAC.,证明 (1)如图，作AESB于点E. 因为平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB， AE平面SAB， 所以AE平面SBC. 因为BC平面SBC，所以AEBC. 因为SA平面ABC，BC平面ABC，所以SABC. 又因为AESAA， AE平面SAB，SA平面SAB， 所以BC平面SAB. 又AB平面SAB，所以ABBC.,(2)由(1)可知AE平面SBC， 又SC平面SBC，所以AESC. 又因为
9、SCAF，AEAFA， AE平面AEF，AF平面AEF， 所以SC平面AEF. 又SC平面SAC， 所以平面AEF平面SAC.,【例22】 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.,(1)(一题多解)求证：CE平面PAD； (2)求证：平面EFG平面EMN.,证明 (1)法一 取PA的中点H，连接EH，DH.,又E为PB的中点，,所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH. 又DH平面PAD，CE平面PAD. 所以CE平面PAD.,法二 连接CF. 因为F为AB的中点，,所以AFCD. 又AFCD，所以四
10、边形AFCD为平行四边形. 因此CFAD，又CF平面PAD，AD平面PAD， 所以CF平面PAD.,因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA. 又EF平面PAD，PA平面PAD， 所以EF平面PAD. 因为CFEFF，CF，EF平面CEF，故平面CEF平面PAD. 又CE平面CEF，所以CE平面PAD.,(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA. 又因为ABPA， 所以EFAB，同理可证ABFG. 又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG. 所以AB平面EFG. 又因为M，N分别为PD，PC的中点， 所以MNCD，又ABCD，所以MNAB， 所以MN平面EFG. 又因
11、为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.,规律方法 (1)判定面面垂直的方法 面面垂直的定义； 面面垂直的判定定理(a，a). (2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化. 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,【训练2】 (2016江苏卷)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.,求证：(1)直线DE平面A1C1F； (2)平面B1DE平面A1C1F. 证明 (1)由已知，DE为ABC的中位线， DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1， DEA1C1， 且DE平面A
12、1C1F，A1C1平面A1C1F， DE平面A1C1F.,(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1， AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1， A1B1，AA1平面ABB1A1， A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1， A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1， A1F，A1C1平面A1C1F， B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE， 平面B1DE平面A1C1F.,考点三 垂直关系中的探索性问题 【例3】 如图，在三棱台ABCDEF中，CF平面DEF，ABBC.,(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa； (2)若EFCF
13、2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由. (1)证明 在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE. 又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa， DFa.,证明如下： 取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，GF， CFEF，GFCE. 在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF. 由CF平面DEFCFDE. 又CFEFF，DE平面CBEF，DEGF.,又GF平面DFG， 平面DFG平面CDE. 此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，,O为CE的中点，EFCF2BC，
14、由平面几何知识易证HOCFOE，,规律方法 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明.,(1)证明 连接AB1与A1B，两线交于O点，连接OM，,在B1AC中，M，O分别为AC，AB1中点， OMB1C， 又OM平面A1BM，B1C平面A1BM， B1C平面A1BM.,(2)证明 侧棱AA1底面ABC，BM平面ABC， AA1BM， 又M为棱AC中点，ABBC，BMAC. AA1ACA，BM平面ACC1A1， BMAC1. AC2，AM1.,AC1CA1MA， 即AC1CC1ACA1MAC1AC90， A1MAC1.
15、 BMA1MM，BM，A1M平面A1BM， AC1平面A1BM.,证明如下： 设AC1中点为D，连接DM，DN.D，M分别为AC1，AC中点，,又N为BB1中点，DMBN，且DMBN， MBND为平行四边形，BMDN， BM平面ACC1A1，DN平面ACC1A1. 又DN平面AC1N，平面AC1N平面AA1C1C.,【训练4】 (2018苏州模拟)如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.,(1)求证：PA平面MBD. (2)在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说
16、明理由.,(1)证明 如图，连接AC交BD于点O，连接MO.,由四边形ABCD为正方形，知点O为AC的中点，又因为M为PC的中点， 所以MOPA. 因为MO平面MBD，PA平面MBD， 所以PA平面MBD. (2)解 存在点N，当N为AB的中点时，平面PCN平面PQB.证明如下： 因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，,所以BQNC. 因为Q为AD的中点，PAD为正三角形， 所以PQAD. 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PQ平面PAD， 所以PQ平面ABCD. 又因为NC平面ABCD，所以PQNC. 又因为BQPQQ，BQ，PQ平面PQB， 所以NC平面PQB. 因为NC平面PCN， 所以平面PCN平面PQB.,
