1、频率域图像增强,-刘海军,(a)：cos(x) (b)： cos (x) +a.cos (3x) (c)：四个正弦波叠加 (d)：十个正弦波叠加,傅里叶变换的原理,随着正弦波数量的增加，图像越开越接近矩形 任意形状的图像都可以用正弦波叠加出来,傅里叶变换原理,傅里叶变换原理,傅里叶变换原理,傅里叶变换原理,傅里叶级数的频谱,矩形在频率域空间中频率图像：俗称频谱,傅里叶级数的频谱,傅里叶级数的频谱,在纸上画sin(x) 在纸上画sin(3x)+sin(5x)-会画吗？ 给你sin(3x) +sin(5x)的图像，拿掉sin(3x)，能做到吗？ 频率域中呢？拿掉sin(3x)，无非是拿掉一条竖线而
2、已！,傅里叶级数的相位谱,相位谱,傅里叶变换总图,傅里叶变换的本质：基的变换,4.2 傅里叶变换(一种正交变换),从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域 为什么要在频率域研究图像?, 可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通,滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质,给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具,图像的频率指什么？,图像的频率： 表征图像中灰度变化剧烈程度的指标 是灰度
3、在平面空间上的梯度。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。,傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在
4、一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图,图像傅立叶变换的物理意义,傅里叶变换,二维傅里叶变换的极坐标表示,幅度或频率谱为,R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部,相角或相位谱为,功率谱为,F(u,v)的原点变换,用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是MN区域的中
5、心,u=0,1,2,M-1,v=0,1,2,N-1,1、若变换矩阵F(u,v)原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数矩阵的中心附近；若所用的二维傅立叶变换矩阵F(u,v)的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一般图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像（频率谱）在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）,变换系数矩阵F(u,v)的意义,频谱的频域移中,对频谱移频到显示屏中心以后，可以看出图像的频率分布是以中心为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出
6、图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到中心的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰,频谱移中的好处,频谱图（频谱的图像显示）的含义,f(x,y),D(u,v),从谱图像中可看出什么？,实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上是图像上某一点与邻域点灰度值差异的强弱，即梯
7、度的大小，一般来讲，频谱图上某点的亮度强则意味着梯度大，亮度弱则意味着梯度小。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗点多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。,从幅度谱中我们 可以看出明亮线 反映出原始图像 的灰度级变化， 这正是图像的轮 廓边,频谱图像,频谱图像中间对应低频 远离中间对应高频 这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的 两个图像都存在一 些小边界,
8、频谱图像,从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布,频谱图像,3.,a)Image A; b)Image B; c)0.25 * A + 0.75 * B,a)spectrum A; b)spectrum B; c)0.25 * A + 0.75 * B,旋转性质,原图像及其傅里叶变换,旋转后图像及其傅里叶变换,6.,傅里叶变换,分离性,当x=0,1,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。,6.,傅里叶变换,分离性二维傅里叶变换的全过程,先通过沿输入图像的每一行计算一维变换再沿中间结果的每一列计算一维
9、变换可以改变上述顺序，即先列后行,上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换,频率域图像增强,F 0,0 ,1MN,M 1 N 1 _ f x, y f x, y x 0 y 0,变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度级,傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间的联系,频率域滤波,傅里叶变换的频率分量和图像空间特征,之间的联系（续）,当从变换的原点移开时，低频对应着图像的,慢变化分量，如图像的平滑部分,进一步离开原点时，较高的频率对应图像中 变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐 部分,频率域滤波,频率域滤波的基本步骤,思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像 变换，然后通过取结
10、果的反变换来获得处理后 的输出图像,频率域滤波,频率域滤波 Gu,v Hu,vFu,v,H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的 第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个 元素乘以F的第二个元素,一般，F的元素为复数，H的元素为实数H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换 的相位.,频率域滤波,一些基本的滤波器：如何作用于图像？,陷波滤波器,低通（平滑）滤波器高通（锐化）滤波器,陷波滤波器举例,陷波滤波器,由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低,频率域滤波,低通滤波器：使低频通过而使高频衰减的滤波 器,被低通滤波的图像比原始图像少尖锐的细节部分而 突出平滑过渡部分,对比空间域滤波的平滑处理
11、，如均值滤波器,高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波 器,被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡 而突出边缘等细节部分,对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子,低通滤波器和高通滤波器举例,原图,低通滤波函数高通滤波函数,低通滤波结果：模糊高通滤波结果：锐化,低通滤波器和高通滤波器举例,原图,高通滤波结果,高通滤波改进结果,因为F(0,0)已被设置为0，所以几乎没有平滑 的灰度级细节，且图像较暗在高通滤波器中加入常量，以使F(0,0)不被完全消 除，如图所示，对滤波器加上一个滤波器高度一 半的常数加以改进（高频加强）,图像的平滑除了在空间域中进行外，也可以在频率域中进行。由于噪声主要集中在
12、高频部分，为去除噪声改善图像质量，滤波器采用低通滤波器H(u,v)来抑制高频成分，通过低频成分，然后再进行逆傅立叶变换获得滤波图像，就可达到平滑图像的目的,频率域平滑,常用的频率域平滑滤波器有3种:理想低通滤波器巴特沃思低通滤波器高斯低通滤波器,频率域图像增强,理想低通滤波器,说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤,波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉,它的特性是连续性衰减，而不象理想滤波器那样陡峭变化， 即明显的不连续性。因此采用该滤波器滤波在抑制噪声的 同时，图像边缘的模糊程度大大减小，没有振铃效应产生,巴特沃思低通滤波器,透视图,滤波器,阶数从1到4的滤波器横截面,
13、应用：可用于平滑处理，如图像由于量化不足产生虚假轮廓时，常可用低通滤波进行平滑以改进图像质量。通常，BLPF的平滑效果好于ILPF（振铃现象）。,巴特沃思低通滤波器 n 2,原图半径是15的BLPF滤波半径是80的BLPF滤波,半径是5的BLPF滤波半径是30的BLPF滤波半径是230的BLPF滤波,高斯低通滤波器,透视图,滤波器,各种D0值的滤波器横截面,采用该滤波器滤波在抑制噪声的同时，图像边缘的模糊程度较用Butterworth滤波产生的大些，无明显的振铃效应,高斯低通滤波器,原图半径是15的GLPF滤波半径是80的GLPF滤波,半径是5的GLPF滤波半径是30的GLPF滤波半径是230
14、的GLPF滤波,图像的边缘、细节主要位于高频部分，而图像的模糊是由于高频成分比较弱产生的。频率域锐化就是为了消除模糊，突出边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，使低频成分削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像,频率域锐化,频率域图像增强,频率域锐化滤波器,理想高通滤波器,巴特沃思高通滤波器高斯高通滤波器,频率域的拉普拉斯算子,高频提升滤波和高频加强,滤波,频率域锐化滤波器,透视图,图像表示,横截面,理想高通滤波器巴特沃思高通滤波器高斯高通滤波器巴特沃思滤波器为理想滤波器的尖锐化和高斯滤波器的完全光滑之间的一种过渡,理想高通滤波器,图a：D0=15,图b：D0=30,图c：D0=80,二阶巴
15、特沃思高通滤波器,图a：D0=15,图b：D0=30,图c：D0=80,结论：BHPF的结果比IHPF的结果平滑得多,频率域图像增强高斯高通滤波器 截频距原点为D0的高斯高通滤波器(GHPF)定义为,高斯高通滤波器,图a：D0=15,图b：D0=30,图c：D0=80,结论：GHPF的结果比BHBF和IHPF的结果更平滑,三种滤波函数的选用类似于低通。 理想高通有明显振铃现象，即图像的边缘有抖动现象； Butterworth高通滤波效果较好，但计算复杂，其优点是有少量低频通过，H(u，v)是渐变的，振铃现象不明显； 指数高通效果比Butterworth差些，振铃现象不明显； 一般来说，不管在图
16、像空间域还是频率域，采用高频滤波不但会使有用的信息增强，同时也使噪声增强。因此不能随意地使用,频率域锐化,频率域图像增强,为什么要进行高频提升和高频加强？高频滤波后的图像，其背景平均强度减小到接近黑色（因为高通滤波器滤除了傅里叶变换的零频率成分:F(0,0)=f(x,y)=0）,解决办法：把原始图像加到过滤后的 结果，如拉普拉斯算子增强，这种处理 称为高频提升过滤,频率域图像增强,锐化模板(锐化或高通图像)：从一幅图像减去 其自身模糊图像而生成的锐化图像构成。在频率 域，即从图像本身减去低通滤波（模糊）后的图 像而得到高通滤波（锐化）的图像,fhpx, y f x, y flp x, y,高频提升过滤：,fhpx, y Af x, y flp x, y, A1 f x, y f x, y flp x, y A1 f x, y fhpx, y,当A=1,即高通过滤；当A1,累加图像本身,高频提升过滤举例频率域滤波,图a: 输入图像图c: A=2,图b: 图a的拉普拉斯图像图d: A=2.7,
