1、,学案2 等 差 数 列,考点一,考点二,考点三,考点四,返回目录,1.定义与特征 一般地，如果一个数列从第2项起， ， 那么这个数列就叫作等差数列.它具有如下特征： an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(nN*).,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,返回目录,2.通项公式 an= . 3.前n项和 Sn= = . 由此公式可知数列 是以a1为首项， 为公差的等差数 列或以an为首项，- 为公差的等差数列. 4.等差中项 若a,b,c成等差数列，则b称为a与c的等差中项，且 b= .正数m,n的等差中项也叫它们的算术平均数.,返回目录,在等差数列an中， （1
2、）已知a15=33，a45=153，求a61； （2）已知S8=48，S12=168，求a1和d； （3）已知a6=10，S5=5，求a8和S8； （4）已知a16=3，求S31.,考点一 基本量计算,返回目录,【分析】在等差数列中有五个重要的量a1，an，d，n，Sn，只要已知任意三个，就可求出其他两个.其中a1和d是两个最重要的量，通常要先求出a1和d， （4）中因为条件少求不出a1和d，但可利用等差数列的性质求解.,【解析】（1）解法一：设首项为a1，公差为d，依题设条件，得33=a1+14d，153=a1+44d.a61=-23+(61-1)4=217.,解方程组得a1=-23，d=4
3、.,解法二：由 ，得由an=am+（n-m）d,得a61=a45+16d=153+164=217.(2)Sn=na1+ n(n-1)d,8a1+28d=48,12a1+66d=168.,返回目录,解方程组得a1=-8，d=4.,返回目录,a1+5d=10，5a1+10d=5， 解方程组得a1=-5，d=3. a8=a6+2d=10+23=16, S8= . (4)S31= 31=a1631=331=93.,（3）a6=10，S5=5,方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用.,返回目录,对应演练,已知等差数列an
4、中，a2=8，前10项和S10=185. （1）求数列an的通项公式an； （2）若从数列an中依次取出第2，4，82n, 项， 按原来的顺序排成一个新的数列，试求新数列的前几项和An.,返回目录,返回目录,（1）设数列an的公差为d，由a2=8，S10=185，a1+d=8，10a1+ d=185,a1=5,d=3. （2） An=a2+a4+a8+a2n=(32+2)+(34+2)+(38+2)+(32n+2)=3(2+4+8+2n)+2n=3 +2n=32n+1+2n-6.,an=3n+2.,得,返回目录,设实数a10,且函数f（x）=a（x2+1）-(2x+ )有最小值-1，若数列an
5、的前n项和Sn=f（n），令bn= , n=1,2,3，.证明：数列bn是等差数列.,【分析】证明数列an为等差数列，只需证明an+1- an=d(d为常数).,考点二 等差数列的判定与证明,【证明】f（x）=a（x2+1）-(2x+ ) =a(x- )2+a- ， 又f（x）=a（x2+1）-(2x+ )有最小值-1， f（x）的最小值为f( ),且a0. 即f( )=a- =-1,解得a=1或a=-2(舍去). 故f(x)=x2-2x,即Sn=f(n)=n2-2n.,返回目录,由a1=S1,得a1=-1; 当n2时,an=Sn-Sn-1=(n2-2n)-(n-1)2-2(n-1)=2n-3
6、,即 an=2n-3.,又n=1时,a1=-1=21-3,即a1也满足an=2n-3.当n2时，an-an-1=（2n-3）-2(n-1)-3=2,an是首项为-1，公差为2的等差数列.a2+a4+a2n=n =n =n（2n-1），bn=2n-1.因此，当n2时，bn-bn-1=（2n-1）-（2n-3）=2，又 b1= =1，故bn是以1为首项，2为公差的等差数列.,返回目录,证明一个数列an是等差数列的基本方法有两种：一是利用等差数列的定义法，即证明an+1-an=d（nN*）,二是利用等差中项法，即证明：an+2+an=2an+1（nN*）.在选择方法时，要根据题目条件的特点，如果能够
7、求出数列的通项公式，则可以利用定义法，否则，可以利用等差中项法.,返回目录,返回目录,对应演练,在数列an中，前n项和为Sn.已知a1=3，a2=2，且Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（nN*,且n2）. (1)求证：数列an是等差数列； (2)求数列（4-an）2n的前n项和Tn.,(1)证明：由Sn+1-2Sn+Sn-1+1=0（nN*，且n2）, 得（Sn+1-Sn）-（Sn-Sn-1）=-1， 即an+1-an=-1（n2）. 又由已知a1=3，a2=2， a2-a1=2-3=-1. an+1-an=-1（nN*）. 数列an是以3为首项，以-1为公差的等差数列，且 an=-n+4.
8、,返回目录,（2）（4-an）2n=n2n， Tn=12+222+323+n2n, 2Tn=122+233+324+n2n+1, -得Tn=-（2+22+23+2n）+n2n+1 =2-2n+1+n2n+1=2+(n-1)2n+1.,返回目录,返回目录,在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10 =S15, 求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.,【分析】 (1)由a1=20及S10=S15可求得d,进而求得通项,由通项得到此数列前多少项为正,或利用Sn是关于n的二次函数,利用二次函数求最值的方法求解.(2)利用等差数列的性质,判断出数列从第几项开始变号.,考点三
9、等差数列前n项和的最值,返回目录,【解析】解法一：a1=20,S10=S15, 1020+ d=1520+ d, d=- . an=20+(n-1)(- )=- n+ . a13=0. 即当a12时，an0，n14时，an0. 当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为 S12=S13=1220+ (- )=130.,解法二：同解法一求得d=- . Sn=20n+ (- )=- n2+ n =- (n- )2+ . nN+,当n=12或13时，Sn有最大值， 且最大值为S12=S13=130.,返回目录,返回目录,解法三：同解法一得d=- . 又由S10=S15，得a11+a12+a13+
10、a14+a15=0. 5a13=0，即a13=0.当n=12或13时,Sn有最大值, 且最大值 为S12=S13=130.,求等差数列前n项和的最值，常用的方法：（1）利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；（2）利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；（3）利用等差数列的前n项和Sn=An2+Bn（A，B为常数） 为二次函数，根据二次函数的性质求最值.,返回目录,返回目录,对应演练,在等差数列an中，a10,S9=S12,求数列前多少项和最小.,解法一：由S9=S12，得9a1+ d=12a1+ d,得 3a1=-30d，d=- a1.a10,d0, Sn=na1+ n（n-1）d= d
11、n2- dn= (n- )2- d.d0,Sn有最小值. 又nN*,n=10或n=11时，Sn取最小值，最小值是-55d，即S10或S11最小且S10=S11=-55d.,解法二：由解法一知d=- a10,又a10, 数列an为递增数列.a0, a1+（n-1）d0an+10, a1+nd0 a1+(n-1)(- a1)0 1- (n-1)0a1+n(- a1)0 1- n0 10n11, 数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值. n=10或11时，Sn取最小值.,即,令,返回目录,解法三：S9=S12，a10+a11+a12=0，3a11=0，a11=0. 又a10,数列为递
12、增数列. 因此数列的前10项均为负值，a11=0，从第12项起为正值. 当n=10或11时，Sn取最小值.,返回目录,返回目录,设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和为36，Sn=324，最后6项的和为180（n6）,求数列的项数n.,【分析】在等差数列an中，若m+n=p+q， 则am+an=ap+aq（m，n，p，qN*）用此性质可优化 解题过程.,考点四 等差数列性质的应用,【解析】由题意可知a1+a2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得（a1+an）+（a2+an-1）+（a6+an-5）=6（a1+an）=216. a1+an=36.又Sn= =324，
13、18n=324. n=18.,返回目录,返回目录,本题的解题关键是将性质m+n=p+qam+an=ap+aq与前n项和公式Sn= 结合在一起,采用整体思想,简化解题过程.,对应演练,（1）等差数列an中, a15=33,a45=153,则d= . （2）等差数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= . （3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ）A.13 B.12 C.11 D.10 （4）等差数列an的前n项和为Sn ，若a3+a17=10则 S10 = （ ）A.55 B.95 C.100 D.不确定,返回目录
14、,返回目录,（1）4（2）4（3）A（4）B（1）由d= ，得d= =4. （2）由a1+a5=a2+a4=2a3，得5a3=20，所以a3=4. （3）因为a1+a2+a3=34，an-2+an-1+an=146， a1+a2+a3+an-2+an-1+an=146+34=180， 又因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2， 所以3（a1+an）=180，从而a1+an=60， 所以Sn= ，即n=13.故应选A. （4）由等差数列的性质知S19= 故应选B.）,返回目录,1.深刻理解等差数列的定义，紧扣从“第二项起”和“差是同一常数”这两点.2.由五个量a1，d，n，an，Sn中的
15、三个量可求出其余两个量，要求选用公式要恰当，要善于减少运算量，达到快速、准确的目的.3.已知三个或四个数成等差一类问题，要善于设元，目的仍在于减少运算量，如三个数成等差数列时，除了设a，a+d，a+2d外，还可设a-d，a，a+d；四个数成等差数列时，可设为a-3d，a-d，a+d，a+3d.,返回目录,4.证明数列an是等差数列的两种基本方法是：（1）利用定义，证明an-an-1（n2）为常数.（2）利用等差中项，即证明2an=an-1+an+1（n2）.5.等差数列的性质在求解中有着十分重要的作用，应熟练掌握、灵活运用.6.复习时，要注意以下几点：（1）深刻理解等差数列的定义及等价形式.（2）注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用.7.等差数列an中，当a10,d0时，数列an为递增数列，Sn有最小值；当a10,d0时，数列an为递减数列，Sn有最大值，当d=0时，an为常数列.,祝同学们学习上天天有进步！,
