1、第3章 聚合风险模型,本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体.记,3.1 引 言,其中N 表示理赔次数， 表示第i个理赔额 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.,这样的模型称为聚合风险模型！,在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间相互独立，即（N与X1， X2， Xn）这对于汽车保险行业来说就多少有些不妥了，例如恶劣的天气条件会导致大量的小理赔.不过，在实际中这些现象的影响是很小的。 聚合风险模型中，个体风险可以出现多次，各个风险是独立同分布的，即 （X1， X2， Xn）独立同分布
2、。,（1）由（3.1）给出的S 具有一个复合分布。,（3）利用给定N 之下S 的条件分布，可以计算S 的期望值,（2）记：,（4）总理赔额的方差可以由条件方差的公式得到。,（5）同样技巧可以求出总理赔额S 的矩母函数。,例3 . 2 . l （分布函数具有封闭形式的复合分布） 设N 服从参数为p 的几何分布，0 p 1 , X 服从参数为1 的指数分布，那么S 的分布函数是什么？,记 我们首先来计算S 的矩母函数，然后尝试通过得到的矩母函数来确定该复合分布当（ 即 ）时，有,由 知,由分布函数与矩母函数之间的一一对应关系得到S 的分布函数也具有同样的形式：这是一个混合分布。,这是一个在0点有跳
3、度p 而在其它处为指数型的分布函数,直接代入计算,利用给定N = n 之下S 的条件分布，可计算分布F :,因此,当选取的X 为某些特殊的随机变量时，n重卷积比较容易计算，如正态分布和伽玛分布。,卷积的分布为：,理赔发生应该是一个“稀有事件”。 泊松分布，负二项分布是较好的选择。,理赔次数的分布,泊松分布P(),负二项分布N(r,p),设的分布函数为 ，则N 的分布为,N 的期望和方差分别为,现在再假设 ，,注意到 的矩母函数是,于是S 的矩母函数为,这是一个参数为 和 的负二项分布的矩母函数,复合泊松分布,证明 记 为 的矩母函数，则S的矩母函数为,故S是一个复合泊松随机变量.,(1)m个独
4、立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布,是一个复合泊松变量，参数为,定理3.4.2（逆命题） 设S的形式如下：,服从复合泊松分布，其中参数为 ，理赔分布是一个离散型分布，满足,则：,例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计算复合泊松分布F,设 ,采用卷积来计算S 的分布。,Panjer 递推,定理3.5.1( Panjer 递推) 考虑这样一个复合分布，其中理赔额取非负整值，具有概率分布函数 而且事件“有n个理赔发生”的概率满足递归式
5、,这里a 和b 是两个实数于是事件“理赔总额等于s”的概率满足如下关系式：,1 . 分布， ，,2. 负二项分布 ， ，,3二项分布 ， 。,证明 初始值 由 给出记,由对称性得,另一种方法,初始值 我们有,例3.5.4 （Panjer 递推与停止损失保费） 对于一个整值随机变量S , 其值整取自留额的停止损失保费可以表示为（见1.4节）:,既然停止损失保费的右导数满足,而按照自留额所在的区间分布函数取常数值，故停止损失保费是逐段线性的当d 取非整数值时停止损失保费的计算可以通过插值法来完成,利用Panjer 递归法，停止损失保费也可以通过递归求得事实上，由（3.34）的后一式，对整数d,作为
6、一个例子，我们取复合Poisson(1)分布,其中 于是Panjer递推公式（3.31）可以被简化为,初始值为,计算结果：,注3.5.5 (Panjer递推式的基于概率母函数的证明）Panjer递推还可以通过概率母函数来证明对于复合泊松分布，我们可以证明如下首先，,因为,比较 的系数，我们有,如何用Panjer递推公式计算卷积?,复合分布的近似,上中的S是 个独立同分布的随机变量的和，我们可以直接应用中心极限定理注意到在上面取 为整数值的做法是不失一般性的，这是因为当很大时对应的分数部分的影响是可以忽略不计的.,记 为理赔额分布的k阶矩，对于复合泊松分布，我们有,我们知上式 的系数即为所需要的
7、半不变量,为使用近似方法，我们需要S 的半不变量,偏度,个体和聚合风险模型,考虑n个一年期寿险保单 第i个被保人在年内死亡的概率为qi 如果第i个被保人在年内死亡则保险公司应支付理赔 bi 建立一个聚合模型来近似所有保单产生的总损失和总收益,在个体模型中，考虑理赔总额,（2）考虑下面的近似随机变量：,在聚合模型和个体模型下保单i发生0理赔的概率相等 比原先模型下有更大的理赔总额，因此，隐含了差额。,（4）尽管上式仍然具有个体模型的形式，由定理3.4.1 可知S服从复合泊松分布，S对应于聚合模型，其参数为,如果 ，则期望赔付次数保持相等：,S略大一些,3.8 几个理赔额分布的参数族,分布函数为,
8、逆高斯分布,矩母函数,指数分布的混合组合（Coxian 分布 ）,混合指数分布的密度函数,指数分布组合例：,（1） 且,如果 且 ，则,（2）,具有如下的矩母函数,比较（3 . 65 ）和（3 . 66 ）得到,3 . 9 停止损失保险与近似,对于自留额为d 的停止损失再保险，再保商对损失S 的赔付额等于 ，本节我们要对几个分布函数来寻求其停止损失保费的解析表达式这些停止损失保费表达式也可以被用来计算超额损失再保险的纯保费,例3 . 9 . 1 （正态分布的停止损失保费）设 分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多少？,因为 ，我们有,立即得到,从而,例3 . 9 . 1 （正态分布的
9、停止损失保费）设 分布，那么X 的取自留额d 的停止损失保费等于多少？,自留损失的矩 的计算：注意到下面的等式,由此可得：,如何算啊？,例3 . 9 . 4 （停止损失保费的NP 近似）对于某些随机变量， 的概率用NP 法来近似的效果会相当那么可否对X 的停止损失保费也给出一个近似呢？,对 和 ，定义如下一个辅助函数,NP 近似为,因而,Z 当d 1 时的停止损失保费可以通过V 的停止损失保费来近似,为了计算该积分，利用,当偏度为0时，使用公式正态逼近，否则使用NP方法,方差不等情形下的停止损失保费比较,这个方程里的被积函数总是非负的如果U 和W是两个具有相同期望值的风险变量，那么,以概率1
10、有 ，那么,通过使用区间宽度为1 的梯形公式近似上面的积分，我们得到下面的近似结果 。,假设两个被积函数的比值近似等于其对应积分的比值。在此假设下，给出了近似公式,经验法则：当自留额t大于期望值 时， 风险U和W的停止损失保费满足：,例3 . 10 . 2 ( “不明确配偶情况”）如果保险人不知道究竟哪一位被保险人死后会留下一个寡妇，需要赔付该寡妇的保险抚恤金假设被保险人中已婚的频率为80 % ，则有二种方法去计算 （1）把所有的风险额乘上0 . 8 而保持一年内死亡的概率不变， （2）把死亡概率乘上0 . 8 而保持赔付额不变,可以证明，方法（1）下得到索赔的方差大约等于方法（2）的方差的80 % 如果我们没有用正确的方法，而是用上述前一种方法来计算停止损失保费，那么对于那些比期望理赔大的自留额来说，其停止损失保费就会大约少20 %。,则停止损失保费可如下计算：,于是，如果我们用来替代 ，其中 为较小的量,
