1、单变量线性时间序列模型,自回归移动平均模型（ARMA),一、自回归模型（AR),滞后算子,对y轨迹的影响,图中Y、Y2、Y3对应的分别为0.5,0.9,1.0,定理：上差分过程平稳的条件是 的根全部位于单位圆外。,二、二阶自回归（AR(2),三、p阶自回归（AR(p),四、偏自相关函数,设Yt是一随机序列，所谓Yt的s阶偏自相关系数，是指扣出中间s-1个项的影响之后，Yt与Yt+s的相关系数。为了考察偏自相关函数的特性，我们分析如下： 设Yt是一零均值平稳序列，设想用Yt-1， Yt-2，Yt- s的s阶自回归模型去拟和Yt，即建立如下模型： Yt=s1Yt-1+s2Yt-2+ssYt-s+
2、et 其中et为误差项。 估计模型的常用方法是最小二乘法，即选择s1，s2，ss使模型残差方差E（Yt-Sj Yt- j ）2=Eet2达到最小。 SS是在给定Yt-1， Yt-2，Yt-s+1的条件，Yt和Yt- s之间的条件相关系数，即偏相关系数。,特点,当sp时，SS=0，即pp=p是AR（p）模型偏自相关函数SS，s1中不为零的最后一项。这种偏自相关p步截尾是 AR（p）的典型特征。 对于AR(p),当sp时，yt与yt-s有直接的相关性；当sp时两者没有直接的相关性。即在模型的滞后阶数以内，PACF通常有非零的偏自相关系数；但在滞后期外PACF通常为零。,五、检验,1、若yt标准正态
3、分布，则样本自相关系数也近似地服从正态分布：其中T是样本容量。是滞后s的样本自相关系数。 考虑置信度为95的置信区间为？（落在区间内就接受自相关系数为0的假设，否则则拒绝） 2、Q统计量（Box-Pierce)用来对自相关系数是否同时为零进行联合检验。 不适于小样本 修正：称为LB（Ljung-Box）检验或Portmanteau检验,对于AR（p）模型，可以证明样本偏自相关函数 SS具有如下分布： 由于当sp时， SS =0，故,六、移动平均过程（MA),七、q阶移动平均MA(q),可逆性,Yt=(L)tt= -1(L)Yt 满足可逆性的条件是(L)0的根位于单位圆外。MA(q) 模型的偏自相关函数是几何衰减的,八、自回归移动平均(ARMA),ARMA(p,q) 一开始自相关函数会表现出源自AR部分和MA部分的特点，但是在q阶后完全表现出与单独的AR(p)完全相同的特征，以致AR部分在长期趋势中占主导地位。,注意事项,3)截据项的处理：实际应用中在被估计的模型中一般包含一个截距项。 4)过度差分：MA多项式中存在单位根，或者所有的ACF之和约等于0.5,
