1、第 1 页 共 14 页初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。 2yaxbca何0a这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零二次函数的定义域是全0bc何体实数2. 二次函数 的结构特征：2yaxbc 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2xx 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项bc何 bc二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： 的性质：2yaxa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。2. 的性质：2yaxc上加下减。3. 的性质：2yaxh左加右减。的
2、符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大xx值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0c何轴y时， 随 的增大而增大； 时，0xyx0x随 的增大而减小； 时， 有最小y值 c向下 何轴时， 随 的增大而减小； 时，随 的增大而增大； 时， 有最大x0x值 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a向上 0h何X=h时， 随 的增大而增大； 时，xhyxxh随 的增大而减小； 时， 有最小y值 0第 2 页 共
3、 14 页4. 的性质：2yaxhk三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ；2yaxhkhk何 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下：2yax何 【(h0)【(h0)【(k0)【(h0)【(h0)【(k0)【(kO；4a+cO，其中正确结论的个数为( )A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D4 个第 8 页 共 14 页会用待定系数法求二次函数解析式例 3.已知：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=3 的一个根为 x=-2，且二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，则抛物线的顶点坐标为(
4、 )A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例 4、如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例 5、已知抛物线 y= x2+x- 15（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法
5、”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6、 “已知函数 的图象经过点 A（c，2） ， cbxy21求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。（1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，
6、2） ”，就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。解答 （1）根据 的图象经过点 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得cbxy21,321,2bc解得 .,c所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。.2312xy第 9 页 共 14 页（2）在解析式中令 y=0，得 ，解得02312x .53,21xx所以可以填“抛物线与 x 轴的
7、一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标),5是 ).0,53(令 x=3 代入解析式，得 ,25y所以抛物线 的顶点坐标为312x),253(所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。),(函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积【评析】本题是一道代数几何综合
8、题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元） 15 20 30 y（件） 25 20 10 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？【解析】 （1）设此一次函数表达式为 y=kx+b则 解得 k=-1，b=40，即一次函数表152,0kb达式为 y=-x+40
9、（2）设每件产品的销售价应定为 x 元，所获销售利润为 w 元w=（x-10） （40-x）=-x 2+50x-400=-（x-25） 2+225产品的销售价应定为 25 元，此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当某某为何值时，什么最大（或最小、最省） ”的设问中，“某某”要设为自变量， “什么”要设为函数；（2）问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程第 10 页 共 14 页二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 的顶点坐标是( )247yxA.(2,11) B.（2，7） C.（2，11）
10、 D. （2，3）2. 把抛物线 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 2()yx2()yx21yx21yx3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )k0k4.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: a,b 同号;2(0)yaxbc当 和 时,函数值相等; 当 时, 的值只能取 0.其中正1x34a2yx确的个数是( ) A.1 个 B.2 个 C. 3 个 D. 4 个5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由2(0)yaxbc图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 （ 2x12.3x和）. B.-2.3 C.-0.
11、3 D.-3.3 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（ ）2yaxbc(,)acbA第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程 的正根的个数为（ ）2xA.0 个 B.1 个 C.2 个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为yA. B. 2yx2yxC. 或 D. 或2yx2yx第 11 页 共 14 页二、填空题9二次函数 的对称轴是 ，则 _。23yxb2xb10已知抛物线 y=-2（x+3）+5，如果 y 随 x 的增大而减小，那么 x 的取值范围是_.11一个函数具有下列性质：图象过点（1，2
12、） ，当 0 时，函数值 随自变量 的增大而增大；yx满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可） 。12抛物线 的顶点为 C，已知直线 过点 C，则这条直线与两坐标轴所围成的2()6yx3ykx三角形面积为 。13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移 1 个单位,再向下平移 2 个单2412bc位得到的,则 b= ,c= 。14如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是 16 米，跨度是 40 米，在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方，桥的高度是 ( 取 3.14). 三、解答题：15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ).30xy52
13、(1)求这个二次函数的解析式;(2)当 x 为何值时,这个函数的函数值为 0?(3)当 x 在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随 x 的增大而增大?y16.某种爆竹点燃后，其上升高度 h（米）和时间 t（秒）符合关系式 （0t2） ，其中重201hvtg力加速度 g 以 10 米/秒 2计算这种爆竹点燃后以 v0=20 米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地 15 米？（2）在爆竹点燃后的 1.5 秒至 1.8 秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由. 第 15 题图第 12 页 共 14 页17.如图，抛物线 经过直线 与坐标轴的两个交2yxbc3
14、yx点 A、B，此抛物线与 轴的另一个交点为 C，抛物线顶点为 D.（1）求此抛物线的解析式；（2）点 P 为抛物线上的一个动点，求使 ： 5 ：4 的点 PAPSD的坐标。18. 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物 售 出 后 再 进 行结 算 ， 未 售 出 的 由 厂 家 负 责 处 理 ） 当 每 吨 售 价 为 260 元 时 ， 月 销 售 量 为 45 吨该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降 10 元时，月销售量就会增加 7. 5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 1
15、00 元设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元） （1）当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；（2）求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；（3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 ”你认为对吗？请说明理由第 13 页 共 14 页练习试题答案一，选择题、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空题、9 10 -3 11如 等（答案不唯一） bx24,yxyx121 13-8 7 1415三、解答题15(1)设抛物线的解析式为 ,由题意可得2bxcya解得 所以15,3,
16、22abc2153yx(2) 或-5 (2)1xx16 （1）由已知得， ，解得 当 时不合题意，舍去。所以当爆竹点21520tt123,t3t燃后 1 秒离地 15 米 （2）由题意得， ，可知顶点的横坐标 ，又抛50h()02t物线开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5 秒至 108 秒这段时间内，爆竹在上升17 （1）直线 与坐标轴的交点 A（3，0） ，B（0，3） 则 解得3yx 930bc23b所以此抛物线解析式为 （2）抛物线的顶点 D（1，4） ，与 轴的另一个交点2yxxC（1，0）.设 P ，则 .化简得2(,3)a1(43):()5:2a25a当 0 时， 得 P（4，5）
17、或 P（2，5）235,当 0 时， 即 ，此方程无解综上所述，满足条件的点220的坐标为（4，5）或（2，5） 3265bac第 14 页 共 14 页18 （1） =60（吨） （2） ，化简得： 5.7102465 260(1)457.5)xyx （3） 234yx354y 23(19红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨 210 元 （4）我认为，小静说的不对 理由：方法一：当月利润最大时，x 为 210 元，而对于月销售额来说，)5.710265(W23(160)94x当 x 为 160 元时，月销售额 W 最大当 x 为 210 元时，月销售额 W 不是最大小静说的不对 方法二：当月利润最大时，x 为 210 元，此时，月销售额为 17325 元； 而当 x 为 200 元时，月销售额为 18000 元1732518000， 当月利润最大时，月销售额 W 不是最大小静说的不对
