1、第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系,1.直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 AxByC0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x，y)0，消去 y(也可以消去 x)，得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.,(1)当 a0 时，设一元二次方程 ax2bxc0 的判别式为，则0直线 l 与圆锥曲线 C 相交；,0直线 l 与圆锥曲线 C_；,相切,0直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点.(2)当 a0，b0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线
2、的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行.,2.圆锥曲线的弦长(1)圆锥曲线的弦长：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段)，线段的长就是弦长.(2)圆锥曲线的弦长的计算：,3.直线与圆锥曲线的位置关系口诀,“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找,范围，曲线定义不能忘”.,设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1，y1)，,答案：D,2.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(1,
3、0)且斜,率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_.,(，1)(1，),解析：根据抛物线的定义知机器人的运动轨迹是一条以F(1,0)为焦点的抛物线，则其方程为 y24x.由题意知该抛物线与直线 y k(x 1) 没有交点，联立直线与抛物线的方程，得,1k20.所以 k 的取值范围是(，1)(1，).,3.(2016 年河北唐山模拟)过抛物线 C：y24x 的焦点 F 作直线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，,则|AB|_.,考点 1,弦长公式的应用,图 7-9-1,思维点拨：利用点到直线的距离求解|CD|后；再将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元
4、二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后利用弦长公式进行整体代入求出|AB|.,【互动探究】,相交于 A，B 两点，则弦 AB 的长为_.,考点 2,点差法的应用,(1)求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程；(2)过点 A(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；,思维点拨：用点差法求出割线的斜率，再结合已知条件求解.,【规律方法】(1)本题的三个小题都设了端点的坐标，但最终没有求点的坐标，这种“设而不求”的思想方法是解析几何的一种非常重要的思想方法.,(2)本例这种方法叫“点差法”，“点差法”主要解决四类题型：求平行弦的中点的轨迹方程；求过定点的割线的弦的中
5、点的轨迹方程；求过定点且被该点平分的弦所在的直线的方程；有关对称的问题.,(3)本题中“设而不求”的思想方法和“点差法”还适用,于双曲线和抛物线.,【互动探究】,曲线交于 P，Q 两点，并且 A 为线段 PQ 的中点？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.,因为 A(1,1)为线段 PQ 的中点，所以 x1x22，y1y2 2.若 x1x2，则直线 l 的方程为 x1，显然不符合题意；,所以其方程为 2xy10.,再由162480，得所求直线不存在.,方法二，设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)在双曲线上，且线段 PQ的中点为(1,1)，若直线 l 的斜率不存在，显然不符合题
6、意.设经过点 A 的直线 l 的方程为 y1k(x1)，,解得 k2.,当 k2 时，方程化简后为 2x24x30.162480，方程没有实数解.,且点 A(1,1)是线段 PQ 的中点.,考点 3,直线与圆锥曲线的位置关系,例 3：(2017 年广东梅州一模)已知动圆 C 过点 F(1,0)，且与直线 x1 相切.(1)求动圆圆心 C 的轨迹方程，并求当圆 C 的面积最小时的圆 C1 的方程；和曲线 E 交于四个不同的点，从左到右依次为 A，B，C，D，且 B，D 是直线与曲线 E 的交点，若直线 BF，DF 的倾斜角互补，求|AB|CD|的值.,解：(1)依题意圆心 C 的轨迹是以 F(1
7、,0)为焦点，直线 x1 为准线的抛物线，故其方程为 y24x.当圆心 C 在原点时，圆的面积最小，圆 C1的方程为x2y2 1.(2)设 B(x1，y1)，D(x2，y2)，A(x3，y3)，C(x4，y4).,由0，得 b2.x1x2164b，x1x24b2.直线 BF，DF 的倾斜角互补， kBFkDF 0.,思想与方法圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想,【规律方法】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数、方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.,【互动探究】,(4k)24(4k)0，解得 k0.x1x24k4.解得 k1.此时，k1 满足，直线 l 的方程为 xy10.,
