1、第3讲 平面向量的数量积,1.两个向量的数量积的定义,已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 ab，即 ab|a|b|cos .规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0a0.,2.平面向量数量积的几何意义,数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos ,的乘积.,3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，为 a 与 b(或 e)的夹角，则：(1)eaae|a|cos .,(2)abab0.(3)当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b_向时，ab|a
2、|b|.,(5)|ab|_|a|b|.,反,4.平面向量数量积的坐标运算,设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，向量a与b的夹角为，则 (1)abx1x2y1y2.,1.(2017 年新课标)已知向量 a(2,3)，b(3，m)，且,ab，则 m_.,2,解析：ab233m0，m2.,2.(2013 年大纲)已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若,(mn)(mn)，则(,),B,A.4C.2,B.3D.1,解析：因为 mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn)(mn)(23,3)(1，1)260.解得3.,3.已知向量 a(x，y)，b(1,2)，且 ab(1,3
3、)，则,|a|(,),C,A,4.(2015 年福建)设 a(1,2)，b(1,1)，cakb.若 bc，,则实数 k 的值等于(,),考点 1,平面向量的数量积,例1：(1)(2014年大纲)已知a，b为单位向量，其夹角为60，,则(2ab)b(,),A.1,B.0,C.1,D.2,解析：(2ab)b2abb22|a|b|cosa，b|b|2211cos 6010.故选 B.答案：B,(2)如图 4-3-1，已知正六边形 P1P2P3P4P5P6 ，下列向量的数,量积中最大的是(,),图 4-3-1,答案：A,(3)(2017 年广东广州一模)已知向量 a(1，2)，b(x，-1)，若 a(
4、ab)，则 ab_.,考点 2,平面向量的夹角与垂直,例 2：(1)(2017 年新课标)已知向量 a(1,2)，b(m,1).若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.解析：ab(m1,3)，因为(ab)a0，所以(m1)230.解得 m7.答案：7(2)(2016 年新课标)设向量 a(x，x1)，b(1,2)，且a b，则 x_.,则ABC(,),A.30,B.45,C.60 D.120,答案：A,【互动探究】,C,考点 3,平面向量的模及应用,例 3：(1)(2017 年新课标)已知向量 a，b 的夹角为 60，|a|2，|b|1，则| a2b |_.解析：方法一，|a2b|2|a|24a
5、b4|b|24421方法二，利用如图 D28，可以判断出a2b 的模长是以 2 为边长的菱形对角线,图 D28,(2)(2017 年浙江)已知向量a，b 满足|a|1，|b|2，则|ab|ab|的最小值是_，最大值是_.,(3)(2011 年新课标)已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题：,其中的真命题是(,),A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4,答案：A,答案：D,【规律方法】(1)求向量的模的方法：公式法，利用|a|把向量的模的运算转化为数量积运算；几何法，利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理
6、等方法求解.,(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.,考点 4,平面向量的投影,答案：A,(2)已知向量 a(1，2)，|b|(ab)(a2b)1，则向量,a 在向量 b 上的投影为(,),答案：D,易错、易混、易漏,向量中错误使用充要条件造成问题解答不全,例题：已知向量 a(m2，m3)，b(2m1，m2).(1)若向量 a 与 b 的夹角为直角，求实数 m 的值；(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围.正解：(1)若 a 与 b 的夹角为直角，则 ab0.即(m2)(2m1)(m3)(m2)0.,(2)若向量 a 与 b 的夹角为钝角，则 ab0，且 a 与 b 不共线.(m2)(2m1)(m3)(m2)0，且(m2)(m2)(m3)(2m1)0.,【失误与防范】两个向量 ab0 等价于,ab |a|b|,0，相当于夹,角的余弦值小于零，我们知道 cos10 中包括了两个向量同向共线和夹角为锐角两种情况.这两点在解题中要特别注意.,
