1、第2讲 等差数列,1.等差数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等,差数列的公差，通常用字母_表示.,d,2.等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 ana1(n1)d.,3.等差中项,如果 A,ab2,，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项.,4.等差数列的前 n 项和公式,5.等差数列的前 n 项和公式与函数的关系,数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数). 6.等差数列的常用性质 (1)若数列an是等差数列，则数列anp，pan(p是常数)都是等差数列. (2)若
2、mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq； 特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.,(4)若等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列. (5)等差数列的单调性：若公差d0，则数列单调递增；若公差d0，d0，则Sn存在最_值.,小,B,1.(2015年重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6( ) A.1 B.0 C.1 D.6 解析：由等差数列的性质，得a62a4a22240.故选B.,27,B,3.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7( ) A.5 B.8 C.10 D.14 解析：方法一，a12，a
3、3a52a16d46d10，d1，则a7a16d8. 方法二，a12，a3a510a1a7，a78.,B,4.在等差数列an中，a3a927a6，Sn表示数列an的前n项和，则S11( ) A.18 B.99 C.198 D.297 解析：因为a3a927a6，2a6a3a9，所以3a627.,考点 1,等差数列的基本运算,例1：(1)(2017年新课标)记Sn为等差数列an的前n项和.若a4a524，S648，则an的公差为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 解析：方法一，设公差为d，a4a5a13da14d2a17d24，,答案：C,(2)(2016年新课标)已知等差数列an前9项的和
4、为27，,a108，则a100( ),A.100,B.99,C.98,D.97,1， d1， a100a199d19998.故选C.答案：C,(3)(2015年新课标)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10( ),答案：B,答案：C,(4)(2013年新课标)设等差数列an的前n项和为Sn， Sm12，Sm0，Sm13，则m( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析：因为SmSm1am2，Sm1Smam13，所以am1amd1.,【规律方法】在解决等差数列问题时，已知a1，an，d，n，Sn中的任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”.而求得a1和d是解决
5、等差数列an所有运算的基本思想和方法.,考点 2,等差数列的基本性质及应用,例2：(1)设等差数列an的前n项和为Sn，且S510，S1030，则S15( ) A.60 B.70 C.90 D.40 解析：因为数列an为等差数列，所以S5，S10S5，S15S10也成等差数列.设S15x， 则10,20，x30成等差数列.所以22010(x30).所以x60.即S1560. 答案：A,(2)若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，,且所有项的和为 390，则这个数列的项数为(,),A.13,B.12,C.11,D.10,答案：A,解析：a1a2a334，an2an1a
6、n146， a1a2a3an2an1an34146180. 又a1ana2an1a3an2， 3(a1an)180.a1an60.,A.7,B.14,C.24,D.48,答案：B,(3)(2017年广东调研)已知Sn是等差数列an的前n项和，若4S63S896，则S7( ),(4)可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法. “巧用性质、减少运算量”在等差数列、等比数列的计算中非常重要，但也要用好“基本量法”，运用方程的思想“知三求二”.,【规律方法】(1)利用等差数列an的性质“若mnpq (m，n，p，qN*)，则amanapaq”. (2)等差数列an的前n项
7、和为Sn，则Sk，S2kSk，S3kS2k，S4kS3k是等差数列.,【互动探究】,A.4C.5,B.4D.5,1.(2017年广东深圳第二次调研)在等差数列an中，若前10项的和S1060，且a77，则a4( ),答案：C,考点 3,等差数列前 n 项和的最值问题,例3：(1)(2013年新课标)等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_. 解析：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和公式可得,答案：49,(2)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当 n_时，an的前n项和最大. 解析：由等差数列的性质，a7a8a93a8，a
8、80， a7a100，a8a90. a90.公差d0.故数列an的前8项和最大. 答案：8,【互动探究】,2.在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时，Sn取最大值，则d的取值范围为_.,思想与方法,利用函数的思想求等差数列的最值,例题：在等差数列an中，若a125，S17S9，则Sn的最大值为_. 思维点拨：利用等差数列前n项和公式和二次函数的性质求解. 解析：设公差为d.方法一，由S17S9，得,图 5-2-1,方法三，由S17S9，得a10a11a170， 而a10a17a11a16a12a15a13a14，故a13a140. d20，a130，a140. 故当
9、n13时，Sn有最大值169. 方法四，由d2，得Sn的图象如图521(图象上一些孤立点).,由 S17S9 ，知图象的对称轴为 n,9172,13，,故当 n13 时，Sn取得最大值 169.答案：169【规律方法】求等差数列前 n 项和的最值常用的方法：利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；利用等差数列的性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；将等差数列的前 n 项和SnAn2Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质或图象求最值.,【互动探究】,3.设等差数列an的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130. (1)求公差d的取值范围； (2)指出S1，S2，S12中哪一个值最大，并说明理由.,解：(1)依题意有,(2)方法一，由d0，可知a1a2a3a12a13. 因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值. 由于S126(a6a7)0，S1313a70，即a6a70，a70，由此得a6a70. 故在S1，S2，S12中S6的值最大. 方法二，由d0，可知a1a2a3a12a13. 因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0， an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值.,故在S1，S2，S12中S6的值最大.,
