1、1第一节 平面向量的概念及线性运算课时作业A组基础对点练1(2017杭州模拟)在 ABC中，已知 M是 BC中点，设 a， b，则 ( )CB CA AM A. a b B. a b12 12C a b D a b12 12解析： b a，故选 A.AM AC CM CA 12CB 12答案：A2已知 a2 b， 5 a6 b， 7 a2 b，则下列一定共线的三点是( )AB BC CD A A， B， C B A， B， DC B， C， D D A， C， D解析：因为 3 a6 b3( a2 b)3 ，又 ， 有公共点 A.所以AD AB BC CD AB AB AD A， B， D三点
2、共线答案：B3已知向量 a， b， c中任意两个都不共线，但 a b与 c共线，且 b c与 a共线，则向量a b c( )A a B bC c D0解析：依题意，设 a b mc， b c na，则有( a b)( b c) mc na，即 a c mc na.又a与 c不共线，于是有 m1， n1， a b c， a b c0.答案：D4设 D， E， F分别为 ABC的三边 BC， CA， AB的中点，则 ( )EB FC A. BBC 12AD C. DAD 12BC 解析：如图， ( ) 2 .EB FC EC CB FB BC EC FB 12AC AB 12 AD AD 答案：C
3、5已知 O， A， B， C为同一平面内的四个点，若 2 0，则向量 等于( )AC CB OC 2A. B 23OA 13OB 13OA 23OB C2 D 2 OA OB OA OB 解析：因为 ， ，所以 2 2( )( ) 2 AC OC OA CB OB OC AC CB OC OA OB OC OC 0，所以 2 .OA OB OC OA OB 答案：C6已知点 G是 ABC的重心，过点 G作一条直线与 AB， AC两边分别交于 M， N两点，且 x ， y ，则 的值为( )AM AB AN AC xyx yA3 B13C2 D12解析：由已知得 M， G， N三点共线，所以 (
4、1 ) x (1 )y AG AM AN AB .点 G是 ABC的重心， ( ) ( )，AC AG 23 12AB AC 13AB AC Error! 即Error!得 1，即 3，通分得 3， .13x 13y 1x 1y x yxy xyx y 13答案：B7在 ABC中，已知 D是 AB边上的一点，若 2 ， ，则 等于( )AD DB CD 13CA CB A. B23 13C D13 23解析： 2 ，即 2( )，AD DB CD CA CB CD ， .CD 13CA 23CB 23答案：A8设 a， b都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是( )a|a| b|b
5、|A a b B a bC a2 b D a b且| a| b|解析： a a与 b共线且同向 a b 且 0.B，D 选项中 a和 b可能a|a| b|b| |a|b|b|3反向A 选项中 0，不符合 0.答案：C9设 D为 ABC所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. B AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C. D AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC 解析：由题意得 ，故选 A.AD AC CD AC 13BC AC 13AC 13AB 13AB 43AC 答案：A10在 ABC中，点 M， N满足 2 ， .若 x y ，则AM MC BN N
6、C MN AB AC x_； y_.解析： 2 ， .AM MC AM 23AC ， ( )，BN NC AN 12AB AC ( )MN AN AM 12AB AC 23AC .12AB 16AC 又 x y ， x ， y .MN AB AC 12 16答案： 12 1611已知 O为四边形 ABCD所在平面内一点，且向量 ， ， ， 满足等式OA OB OC OD ，则四边形 ABCD的形状为_OA OC OB OD 解析：由 得 ，所以 ，所以四边形 ABCD为平行四边OA OC OB OD OA OB OD OC BA CD 形答案：平行四边形12在矩形 ABCD中， O是对角线的交
7、点，若 5 e1， 3 e2，则 _.(用BC DC OC e1， e2表示)解析：在矩形 ABCD中，因为 O是对角线的交点，所以 ( ) ( )OC 12AC 12AB AD 12DC BC (5e13 e2)124答案： e1 e252 3213已知 A(1,0)， B(4,0)， C(3,4)， O为坐标原点，且 ( )，则| |等于OD 12OA OB CB BD _解析：由 ( ) ( )，知点 D是线段 AC的中点，故 D(2,2)，所以OD 12OA OB CB 12OA OC (2,2)，故| | 2 .BD BD 2 2 22 2答案：2 2B组能力提升练1已知 e1， e
8、2是不共线向量， a me12 e2， b ne1 e2，且 mn0，若 a b，则 等于( )mnA B12 12C2 D2解析： a b， a b ，即 me12 e2 (ne1 e2)，则Error!，故 2.mn答案：C2在 ABC中， ，若 P是直线 BN上的一点，且满足 m ，则实数 m的AN 14NC AP AB 25AC 值为( )A4 B1C1 D4解析：根据题意设 n (nR)，则 n n( ) nBP BN AP AB BP AB BN AB AN AB AB (1 n) ，又 m ，Error!解得Error!故选 B.(15AC AB ) AB n5AC AP AB
9、25AC 答案：B3在平面上， ，| | |1， .若| | ，则| |的取值范围AB1 AB2 OB1 OB2 AP AB1 AB2 OP 12 OA 是( )A(0， B( ， 52 52 72C( ， D( ， 52 2 72 2解析：由题意得点 B1， B2在以 O为圆心的单位圆上，点 P在以 O为圆心、半径为 的圆内，125又 ， ，所以点 A在以 B1B2为直径的圆上，当点 P与点 O重合时，|AB1 AB2 AP AB1 AB2 |最大，为 ，当点 P在半径为 的圆周上时，| |最小，为 ，故选 D.OA 2 12 OA 72答案：D4在 ABC中， 3 ，若 1 2 ，则 1
10、2的值为( )BD DC AD AB AC A. B116 316C. D12 109解析：由题意得， ( ) ，AD AB BD AB 34BC AB 34AC AB 14AB 34AC 1 ， 2 ， 1 2 .14 34 316答案：B5若点 M是 ABC所在平面内的一点，且满足 5 3 ，则 ABM与 ABC的面积AM AB AC 的比值为( )A. B15 25C. D35 45解析：设 AB的中点为 D，如图，连接 MD， MC，由 5 3 ，得AM AB AC 5 2 3 ，即 ，即 1，故 C， M， D三AM AD AC AM 25AD 35AC 25 35点共线，又 ，联立
11、，得 5 3 ，即在 ABM与AM AD DM DM DC ABC中，边 AB上的高的比值为 ，所以 ABM与 ABC的面积的比值为 .35 35答案：C6设 M是 ABC所在平面上的一点，且 0， D是 AC的中点，则 的值为( )MB 32MA 32MC |MD |BM |A. B13 12C1 D2解析： D是 AC的中点，延长 MD至 E，使得 DE MD(图略)，四边形 MAEC为平行四边形，6 ( )MD 12ME 12MA MC 0， ( )3 ，MB 32MA 32MC MB 32MA MC MD ，故选 A.|MD |BM |MD | 3MD | 13答案：A7如图所示，矩形
12、 ABCD的对角线相交于点 O， E为 AO的中点，若 DE AB ( ， 为实数)，则 2 2( )AD A. B58 14C1 D516解析： ( ) ，所以 ， ，故DE 12DA 12DO 12DA 14DB 12DA 14DA AB 14AB 34AD 14 34 2 2 ，故选 A.58答案：A8在 ABC上，点 D满足 2 ，则( )AD AB AC A点 D不在直线 BC上B点 D在 BC的延长线上C点 D在线段 BC上D点 D在 CB的延长线上解析： 2 AD AB AC AB AB AC ；AB CB 如图，7作 ，连接 AD，则：BD CB ；AB CB AB BD AD
13、 AD D和 D重合；点 D在 CB的延长线上答案：D9如图，在直角梯形 ABCD中， AB2 AD2 DC， E为 BC边上一点， 3 ， F为 AE的中BC EC 点，则 ( )BF A. B 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 解析：如图，取 AB的中点 G，连接 DG， CG，则易知四边形 DCBG为平行四边形，所以 BC ， ，于是 GD AD AG AD 12AB AE AB BE AB 23BC AB 23(AD 12AB ) 23AB 23AD BF ，故选 C.AF AB 12AE AB 12(23AB 23AD ) AB
14、23AB 13AD 答案：C10设 D为 ABC所在平面内一点，且 3 ，则 ( )BC BD AD A. B 23AB 13AC 13AB 23AC C. D 43AB 13AC 23AB 53AC 解析： 3BC BD 8 ( )，BD 13BC 13AC AB 则 ( ) .AD AB BD AB 13AC AB 23AB 13AC 答案：A11已知 O为坐标原点， B、 D分别是以 O为圆心的单位圆与 x轴正半轴、 y轴正半轴的交点，点 P为单位圆劣弧 上一点，若 x y ， BOP ， 则 x y( )BD OB OD DB OP 3A1 B 3C2 D43 3解析：如图， ，DB
15、OB OD x( ) y ，OB OD OB OD OP y (1 x) (1 x) ，OP OB OD BOP ， ，3 OP 12OB 32OD y y ，OP y2OB 32 OD 由得Error!解得 x2 ， y2 2， x y ，故选 B.3 3 3答案：B12已知向量 e1、 e2是两个不共线的向量，若 a2 e1 e2与 b e1 e 2共线，则 _.解析：因为 a与 b共线，所以 a xb， Error!，故 .12答案：1213如图，在 ABC中， AB2， BC3， ABC60， AH BC于点 H， M为 AH的中点若 ，则 _.AM AB BC 9解析：因为 AB2，
16、 ABC60， AH BC，所以 BH1.因为点 M为 AH的中点，所以 ( ) ，又AM 12AH 12AB BH 12(AB 13BC ) 12AB 16BC ，所以 ， ，所以 .AM AB BC 12 16 23答案：2314(2018临汾模拟)如图， ABC中， 0， a， b.若GA GB GC CA CB ma， nb， CG PQ H， 2 ，则 _.CP CQ CG CH 1m 1n解析：由 0，知 G为 ABC的重心，取 AB的中点 D(图略)，则 GA GB GC CH 12CG 13CD ( ) ，由 P， H， Q三点共线，得 1，则 6.16CA CB 16mCP 16nCQ 16m 16n 1m 1n答案：615.如图，在 ABC中， ， P是 BN上的一点，若 m AN 13NC AP AB ，则实数 m的值为_211AC 解析：由 ，可知 ，AN 13NC AN 14AC 又 m m ，且 B、 P、 N共线， m 1， m .AP AB 211AC AB 811AN 811 311答案：311
