1、1第五节 椭圆课时作业A 组基础对点练1已知椭圆 1( m0)的左焦点为 F1(4,0)，则 m( )x225 y2m2A2 B3 C4 D9解析：由 4 (m0)m3，故选 B.25 m2答案：B2方程 kx24 y24 k 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的取值范围是( )A k4 B k4C kb0)，由已知可得抛物线的焦点为x2a2 y2b2(1,0)，所以 c1，又离心率 e ，解得 a2， b2 a2 c23，所以椭圆方程为ca 12 1，故选 A.x24 y23答案：A4椭圆 1( ab0)的左、右顶点分别为 A， B，左、右焦点分别为 F1， F2，若x2a2 y2b2
2、|AF1|，| F1F2|，| F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )A. B12 55C. D 214 52解析：由题意可得 2|F1F2| AF1| F1B|，即 4c a c a c2 a，故 e .ca 12答案：A5已知 F1， F2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 F1PF2 ，则椭 4圆和双曲线的离心率乘积的最小值为( )A. B12 22C1 D 2解析：如图，假设 F1， F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点， P 是第一象限的点，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1| PF2|2 a1，| PF1|
3、PF2|2 a2，| PF1| a1 a2，| PF2| a1 a2.设| F1F2|2 c，又 F1PF2 ，则在 PF1F2中，由余弦定理得，4 c2( a1 a2) 42( a1 a2)22( a1 a2)(a1 a2)cos ，化简得，(2 )a (2 )a 4 c2，设椭圆的 4 2 21 2 2离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2， 4，又 2 2 2e21 2 2e2 2 2e21 2 2e2 ，2 2e21 2 2e2 22e1e2 4，即 e1e2 ，即椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为 .故选 B.22e1e2 22 22答案：B6若 x2 ky22 表示焦点在 y 轴上
4、的椭圆，则实数 k 的取值范围是_解析：将椭圆的方程化为标准形式得 1，因为 x2 ky22 表示焦点在 y 轴上的椭y22k x22圆，所以 2，解得 0b0)的离心率等于 ，其焦点分别为 A， B.C 为椭圆上异于长轴端x2a2 y2b2 133点的任意一点，则在 ABC 中， 的值等于_sin A sin Bsin C解析：在 ABC 中，由正弦定理得 ，因为点 C 在椭圆上，所以sin A sin Bsin C |CB| |CA|AB|由椭圆定义知| CA| CB|2 a，而| AB|2 c，所以 3.sin A sin Bsin C 2a2c 1e答案：39已知椭圆 C： 1( ab
5、0)的左，右焦点分别为 F1( c,0)， F2(c,0)，过 F2作垂直x2a2 y2b2于 x 轴的直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，满足| AF2| c.36(1)求椭圆 C 的离心率；(2)M， N 是椭圆 C 短轴的两个端点，设点 P 是椭圆 C 上一点(异于椭圆 C 的顶点)，直线MP， NP 分别和 x 轴相交于 R， Q 两点， O 为坐标原点若| | |4，求椭圆 C 的方OR OQ 程解析：(1)点 A 的横坐标为 c，代入椭圆，得 1.c2a2 y2b2解得| y| | AF2|，即 c，b2a b2a 36 a2 c2 ac.36 e2 e10，解得 e .36
6、 32(2)设 M(0， b)， N(0， b)， P(x0， y0)，则直线 MP 的方程为 y x b.y0 bx0令 y0，得点 R 的横坐标为 .bx0b y0直线 NP 的方程为 y x b.y0 bx0令 y0，得点 Q 的横坐标为 .bx0b y0| | | a24， c23， b21，OR OQ | b2x20b2 y20| |a2b2 a2y20b2 y20 |椭圆 C 的方程为 y21.x24410(2018沈阳模拟)椭圆 C： 1( ab0)，其中 e ，焦距为 2，过点 M(4,0)的x2a2 y2b2 12直线 l 与椭圆 C 交于点 A， B，点 B 在 A， M
7、之间又线段 AB 的中点的横坐标为 ，且47 .AM MB (1)求椭圆 C 的标准方程(2)求实数 的值解析：(1)由条件可知， c1， a2，故 b2 a2 c23，椭圆的标准方程为 1.x24 y23(2)由题意可知 A， B， M 三点共线，设点 A(x1， y1)，点 B(x2， y2)若直线 AB x 轴，则 x1 x24，不合题意则 AB 所在直线 l 的斜率存在，设为 k，则直线 l 的方程为 y k(x4)由Error!消去 y 得(34 k2)x232 k2x64 k2120.由的判别式 32 2k44(4 k23)(64 k212)144(14 k2)0，解得 k2b0)
8、的左、右焦点分别为 F1， F2，且| F1F2|2 c，若椭圆上存在x2a2 y2b2点 M 使得 ，则该椭圆离心率的取值范围为( )sin MF1F2a sin MF2F1cA(0， 1) B( ，1)222C(0， ) D( 1,1)22 2解析：在 MF1F2中， ，|MF2|sin MF1F2 |MF1|sin MF2F1而 ，sin MF1F2a sin MF2F1c .|MF2|MF1| sin MF1F2sin MF2F1 ac又 M 是椭圆 1 上一点，x2a2 y2b2F1， F2是该椭圆的焦点，| MF1| MF2|2 a.由得，| MF1| ，| MF2| .2aca
9、c 2a2a c显然，| MF2|MF1|， a c0， e22 e10，解得 e 1，又 eb0)的离心率 e ， a b3.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C 的方程(2)如图， A， B， D 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意一点，直线 DP 交 x 轴于7点 N，直线 AD 交 BP 于点 M，设 BP 的斜率为 k， MN 的斜率为 m.证明：2 m k 为定值解析：(1)因为 e ，32 ca所以 a c， b c.代入 a b3 得， c ， a2， b1.23 13 3故椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明：因为 B(2,0)， P 不为椭圆
10、顶点，则直线 BP 的方程为 y k(x2)，(k 0， k 12)把代入 y21，x24解得 P .(8k2 24k2 1， 4k4k2 1)直线 AD 的方程为 y x1.12与联立解得 M .(4k 22k 1， 4k2k 1)由 D(0,1)， P ， N(x,0)三点共线知 ，(8k2 24k2 1， 4k4k2 1) 4k4k2 1 18k2 24k2 1 0 0 1x 0得 N .(4k 22k 1， 0)所以 MN 的斜率为 m4k2k 1 04k 22k 1 4k 22k 1 ，4k 2k 12 2k 1 2 2 2k 1 2 2k 14则 2m k k (定值)2k 12 12
