1、- 1 -高二第二学期承智班第 2 次考试数学试题一、单选题1已知直线 与椭圆 交于 、 两点，与圆交于 、 两点若存在 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围是A. B. C. D. 2定义在 上的函数 满足 （其中 为 的导函数） ，若 ，则下列各式成立的是（ ）A. B. C. D. 3设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最大值是（ ）A. B. C. D. 4已知抛物线 （ ）与双曲线 （ ， ）有相同的焦点 ，点 是两条曲线的一个交点，且 轴，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的倾斜角所在的区间是（ ）A. B. C. D. 5我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势
2、既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个 截面面积都相等）.将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）- 2 -A. B. C. D. 6已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点，交 轴于点 ，若 ， ，则实数 的取值是（ ）A. B. C.
3、 D. 与 有关7若函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8在三棱锥 中， 是边长为 2 的等边三角形， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 9己知函数 ，关于 的方程 恰好有 三个不同的实数解，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 10若函数 在区间 有一个极大值和一个极小值，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 11如图，在 中， 、 分别是 、 的中点，若 （ ， ） ，且点- 3 -落在四边形 内（含边界） ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12已知 ， 分别是双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点
4、，若 上存在一点 使得 ，则 的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空 题13若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则 _14已知 是双曲线 （ ， ）的右焦点， 是双曲线上位于第一象限内的一点，直线 的方程为 ，则双曲线的离心率为_15已知数列 的前 项和为 ， ，若数列 是公差为 2 的等差数列，则数列 的 通项公式为_16已知等比数列 的首项是 1，公比为 3，等差数列 的首项是 ，公差为 1，把中的各项按如下规则依次插入到 的每相邻两项之间，构成新数列 ： ， ， ，- 4 -， ， ， ， ， ， ，即在 和 两项之间依次插入 中 个项，则_ （用数字作答）三、
5、解答题17已知函数 .（1）若 ，求函 数 的极值点； （2）若 ，函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： .18已知抛物线 ，且 ， ， 三点中恰有两点在抛物线 上，另一点是抛物线 的焦点（1）求证： 、 、 三点共线；（2）若直线 过抛物线 的焦点且与抛物线 交于 、 两点，点 到 轴的距离为 ，点 到 轴的距离为 ，求 的最小值19已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 .（1）求 ， 的值；（2）证明: . - 5 -参考答案CDDDC BBABA 11C12C13 或14151617 （1）见解析；（2）见解析（1） 的定义域为 ， ， 若 ，则 ，所以当 时， ，所以 在 上单调递
6、增，所以 无极值点若 ，则 ，由 得 ， .当 的值变化时， ， 的值的变化情况如下：+ 0 - 0 +极大值 极小值- 6 -所以 有极大值点 ，极小值点 （2）由（1）及条件可知， 且 , ,即 , ，所以 ,记 , ，因为当 时， ，所以 在 上单调递减， 因为 ，所以 ，即 .18 （1）见解析；（2）8.（1）由条件，可知 ， 在抛物线 上， 是抛物线 的焦点所以 解得 所以 ， ， ，所以 ， ，所以 ，所以 、 、 三点共线 - 7 -（2）由条件可知 ，可设 ，代入 ，得 ， ，解得 设 ， ，则 ，所以 ， 当且仅当 ，即 或 时，19 （1） （2）见解析（1）解：由已知得 ，因为 ，所以 .（2）证明：由（1）知 ，所以 .设 ， ，要证 ，即要证 在 恒成立.因为 ，所以 在 上为增函数，在 上为减函数，所以 .又 ，所以 在 上为减函数，在 上为增 函数，所以 .由于不等式，不能同时取等号，故 ，- 8 -所以， 成立.
