1、1第三节 基本不等式课时作业A 组基础对点练1若对任意 x0， a 恒成立，则 a 的取值范围是( )xx2 3x 1A a B a15 15C a0， a 恒成立，xx2 3x 1所以对 x(0，)， a max，(xx2 3x 1)而对 x(0，)， ，xx2 3x 1 1x 1x 3 12x1x 3 15当且仅当 x 时等号成立， a .1x 15答案：A2(2018厦门一中检测)设 00，故 bab a a b aba b2 b a2；由基本不等式知 ，综上所述， a0，则下列不等式中，恒成立的是( )A a b2 B ab1a 1b 1abC. 2 D a2 b22abba ab解析
2、：因为 ab0，所以 0， 0，所以 2 2，当且仅当 a b 时取等号ba ab ba ab baab答案：C5下列不等式一定成立的是( )Alg lg x(x0)(x214)Bsin x 2( x k， kZ)1sin xC x212| x|(xR)D. 1(xR)1x2 1解析：对选项 A，当 x0 时， x2 x 20，lg lg x，故不成立；对选14 (x 12) (x2 14)项 B，当 sin x0， b0，1a 2b b 2aab ab ab b2 a2 ， ab2 .ab 2ab 2法二：由题设易知 a0， b0， 2 ，即 ab2 ，选 C.ab1a 2b 2ab 2答案
3、：C7(2018天津模拟)若 log4(3a4 b)log 2 ，则 a b 的最小值是( )abA62 B723 3C64 D743 3解析：因为 log4(3a4 b)log 2 ，所以 log4(3a4 b)log 4(ab)，即 3a4 b ab，且ab3Error!即 a0， b0，所以 1( a0， b0)， a b( a b)( )7 72 4a 3b 4a 3b 4ba 3ab74 ，当且仅当 时取等号，故选 D.4ba3ab 3 4ba 3ab答案：D8(2018银川一中检测)对一切实数 x，不等式 x2 a|x|10 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )A(，2) B2，
4、)C2,2 D0，)解析：当 x0 时，不等式 x2 a|x|10 恒成立，此时 aR，当 x0 时，则有 a(| x| )，设 f(x)(| x| )，则 a f(x)max，由基本不等式得 1 |x|2|x| 1|x| 1|x|x| 2(当且仅当| x|1 时取等号)，则 f(x)max2，故 a2.故选 B.1|x|答案：B9当 x0 时，函数 f(x) 有( )2xx2 1A最小值 1 B最大值 1C最小值 2 D最大值 2解析： f(x) 1.当且仅当 x ， x0 即 x1 时取等号所以 f(x)有最大2x 1x22x1x 1x值 1.答案：B10(2018南昌调研)已知 a， b
5、R，且 ab0，则下列结论恒成立的是( )A a b2 B a2 b22ababC. 2 D| |2ab ba ab ba解析：对于 A，当 a， b 为负数时， a b2 不成立；ab对于 B，当 a b 时， a2 b22ab 不成立；对于 C，当 a， b 异号时， 2 不成立；ba ab对于 D，因为 ， 同号，所以| | | |2 2(当且仅当| a| b|时取ba ab ba ab ba ab |ba|ab|等号)，即| |2 恒成立ba ab答案：D411设 f(x)ln x,0p D p rq解析：0 ，又 f(x)ln x 在(0，)上单调递增，故 f( )p， r (f(a
6、) f(b) (ln aln b)ln f( ) p， p r0， a0)在 x3 时取得最小值，则 a_.ax解析： f(x)4 x 2 4 ，当且仅当 4x ，即 a4 x2时取等号，则由题意知ax 4xax a axa43 236.答案：3614(2018邯郸质检)已知 x， y(0，)，2 x3 ( )y，则 的最小值为_12 1x 4y解析：2 x3 ( )y2 y， x3 y， x y3.又 x， y(0，)，所以12 ( )(x y) (5 ) (52 )3(当且仅当 ，即 y2 x 时取1x 4y 131x 4y 13 yx 4xy 13 yx4xy yx 4xy等号)5答案：
7、315要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是_(单位：元)解析：设底面的相邻两边长分别为 x m， y m，总造价为 T 元，则V xy14 xy4. T420(2 x2 y)1108020( x y)80202 80204160(当且仅当 x y 时取等号)xy故该容器的最低总造价是 160 元答案：160B 组能力提升练1设正实数 x， y 满足 x ， y1，不等式 m 恒成立，则 m 的最大值为( )12 4x2y 1 y22x 1A2 B42 2C8 D16解析：依题意得
8、，2 x10， y10， 4x2y 1 y22x 1 2x 1 12y 1 y 1 122x 1 42 8，即 8，当且仅当4 2x 1y 1 4 y 12x 1 2x 1y 1y 12x 1 4x2y 1 y22x 1Error!， 即Error!时，取等号，因此 的最小值是 8， m8， m 的最大值是 8，选4x2y 1 y22x 1C.答案：C2若 a， b， c(0，)，且 ab ac bc2 6 a2，则 2a b c 的最小值为( )5A. 1 B 15 5C2 2 D2 25 5解析：由题意，得 a2 ab ac bc62 ，所以 248 4( a2 ab ac bc)5 54
9、 a24 ab b2 c24 ac2 bc(2 a b c)2，当且仅当 b c 时等号成立，所以2a b c2 2，所以 2a b c 的最小值为 2 2，故选 D.5 5答案：D3(2018保定调研)设 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且C ， a b ，若 ABC 面积的最大值为 9 ，则 的值为( ) 3 3A8 B12C16 D21解析： S ABC absin C ab ( )2 29 ，当且仅当 a b 时取“” ，解12 34 34 a b2 316 3得 12.6答案：B4已知 x， y 都是正数，且 x y1，则 的最小值为( )4x 2 1
10、y 1A. B21315C. D394解析：由题意知， x20， y10，( x2)( y1)4，则 4x 2 1y 1 14 ，当且仅当 x ，(54 y 1x 2 x 2y 1) 145 2 4 y 1x 2 x 2y 1 94 23y 时， 取最小值 .13 4x 2 1y 1 94答案：C5. (6 a3)的最大值为( ) 3 a a 6A9 B92C3 D322解析：因为6 a3，所以 3 a0， a60，则由基本不等式可知， ，当且仅当 a 时等号成立 3 a a 6 3 a a 62 92 32答案：B6已知在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且
11、2acos(B ) b c， 3ABC 的外接圆半径为 ，则 ABC 周长的取值范围为( )3A(3,9 B(6,8C(6,9 D(3,8解析：由 2acos(B ) b c，得 acos B asin B b c，由正弦定理得 sin Asin 3 3 3Bsin Acos Bsin Bsin( A B)，即 sin Asin Bsin Bcos Asin B，又 sin 3B0， sin Acos A1，sin( A ) ，由 00， y0，且y4 (x y4) 1， x 22 24，当且仅当 ，即1x 4y y4 (x y4)(1x 4y) 4xy y4x 4xyy4x 4xy y4xx
12、2， y8 时取等号， min4， m23 m4，即( m1)( m4)0，解得 m4，故实数 m 的取值范(xy4)围是 (，1)(4，)答案：B9设正实数 x， y， z 满足 x23 xy4 y2 z0.则当 取得最大值时， 的最大值为xyz 2x 1y 2z( )A0 B1C. D394解析： 1，当且仅当 x2 y 时等号成立，此时xyz xyx2 3xy 4y2 1xy 4yx 3 14 3z2 y2， 211，当且仅当 y1 时等号成立，故所求的最大2x 1y 2z 1y2 2y (1y 1)值为 1.8答案：B10设等差数列 an的公差是 d，其前 n 项和是 Sn，若 a1
13、d1，则 的最小值是( )Sn 8anA. B92 72C2 D2 212 2 12解析： an a1( n1) d n， Sn ，n 1 n2 Sn 8an n 1 n2 8n12(n 16n 1)12(2n16n 1) ，92当且仅当 n4 时取等号 的最小值是 ，故选 A.Sn 8an 92答案：A11已知 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 sin Asin B， b ，则 ABC 的面积的最大值为( )c sin A sin Ca b 3A. B334 34C. D332 32解析：根据正弦定理由 sin Asin B 可得 a b ，得c sin A
14、sin Ca b c a ca ba2 b2 c(a c)，即 a2 c2 b2 ac，故 cos B， B(0，)， B .又a2 c2 b22ac 12 3由 b ，可得 a2 c2 ac3，故 a2 c2 ac32 ac，即 ac3，当且仅当 a c 时3 3取等号，故 ac 的最大值为 3，这时 ABC 的面积取得最大值，为 3sin .12 3 334答案：A12(2018宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为94 千米时，运费为 20 万元，仓储费为 5 万元，当工厂和仓库之
15、间的距离为_千米时，运费与仓储费之和最小，最小为_万元解析：设工厂和仓库之间的距离为 x 千米，运费为 y1万元，仓储费为 y2万元，则y1 k1x(k10)， y2 (k20)，k2x工厂和仓库之间的距离为 4 千米时，运费为 20 万元，仓储费用为 5 万元， k15， k220，运费与仓储费之和为 万元，(5x20x)5 x 2 20，当且仅当 5x ，20x 5x20x 20x即 x2 时，运费与仓储费之和最小，为 20 万元答案：2 2013(2018青岛模拟)已知实数 x， y 均大于零，且 x2 y4，则 log2xlog 2y 的最大值为_解析：因为 log2xlog 2ylo
16、g 22xy1log 2 21211，当且仅当 x2 y2，(x 2y2 )即 x2， y1 时等号成立，所以 log2xlog 2y 的最大值为 1.答案：114在希腊数学家海伦的著作测地术中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为 a， b， c，其面积 S，这里 p (a b c)已知在 ABC 中， BC6， AB2 AC，p p a p b p c12则其面积取最大值时，sin A_.解析：已知在 ABC 中， BC6， AB2 AC，所以三角形的三边长为a6， c2 b， p (6 b2 b)3 ，其面积12 3b2S p p a p b p c 3 3b2 3b2 3 3b2 3 b 3 3b2 2b 3 3b2 3b2 3 b2 3 3 b2 9b24 9 9 b24 12，34 b2 4 36 b2 34 b2 4 36 b22当且仅当 b2436 b2，即 b2 时取等号，此时 a6， b2 ， c4 ，三角形存在，5 5 510cos A ，所以 sin A .b2 c2 a22bc 45 35答案：35
