1、1天津一中 2017-2018-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷（理科）本试卷分为第 I 卷（选择 题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分 ，考试用时90 分钟。第 I 卷 至 页 ，第 II 卷 至 页。考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定 位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利! 一选择题：（每小题 3 分，共 30 分） x 1设集合 A x 1 x 2 ， B x 1 1 1 ，则 A B （ ） 8 2 A 0, 3 B 1, 3 C 0, 2 D 1, 2命题“如果 x a 2 b2 ，那么 x 2ab ”的逆否命题是（ ）A如果 x a 2 b2，那么
2、x 2ab B如果 x 2ab，那么 x a 2 b2C如果 x 2ab ，那么 x a 2 b2D如果 x a 2 b2 ，那么 x 2ab3位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为1向上或向右，并且向上和向右移动的概率都为是（ ），质点 P 移动 5 次后位 于（2，3） 的概率21 3A B4 45 7C D16 164若 f ( x) 在 R 上可导, f ( x) x 2 2 f (2) x 3 , 则 f (1) =（ ）A 6 B 6 C 4 D 45设 6 2 6(2 x) a0 a1 x a2 x a6 x，则 | a1 | | a2 |
3、 | a6 | 的值是（）A665 B729 C728 D636如图，由曲线 y x 2 1 ，直线 x 0, x 2 和 x 轴围成的封闭图 形 的面积是（ ） A 122B 34C3D 27若 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，当 x 0 时， f ( x) xf ( x) 0 ，且 f (4) 0 ，则 不等式 xf ( x) 0 的解集为（ ）A(4,0)(4，) B(4,0)(0,4) C(， 4)(4，) D(， 4)(0,4)38如图为我国数学家赵爽（约 3 世 纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色 给其中 5 个 小区域涂色，规定每个区域只
4、涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种 . A120 B260C340 D420 （8 题图）49. 已知函数 f ( x) x 3 7 x sin x ，若 f (a 2 ) f (a 2) 0 ，则实数 a 的取值范围是（ ）A B C Dx 2 x, (2 x 1)10已知函 数 f ( x) ln(x 2), (1 x 2)，若 g ( x) f ( x) a( x 2) 的图像与 x 轴有 3 个不同 的交点，则实数 a 的取值范围是（ ）A (0, 1 )B (0, 1 )C ln 2 , 1 )D 2 ln 2 , 1 )e 1 3e 2 e 3 3e二填空
5、题：（每小题 4 分，共 24 分）11已知复 数 z 满足 1 i 2i3 2i 4 ，其中 i 为虚数单位，则复数 z z12 若 函 数 y x 3 3 x 2 a 在 1,1上 有 最 大 值 3， 则 该 函 数 在 1,1上 的最 小 值 是2lg x, x 0 813设 f ( x) b x t 2 dt, x 0，若 f ( f (1) ，则常数 b 3 014 已知函 数 f ( x) ax 2 bx(a 0, b 0) 的图象在点 (1, f (1) 处的切线的斜率为 2，8a b则 的最小值为 ab15已知函 数 f ( x) mx 1 ln x 在 e, ) 上存在极值
6、点，则实数 m 的取值范围为16已知函 数 f ( x) ( x 1)e x 2 x a, 若 f ( x) 0 有且只有一个整数解，则 a 的取值范 围为 三、解答题：（共 4 题 ，共 46 分）17一盒中 装有 9 张各 写有一个数字的卡片，其中 4 张卡 片上的数字是，3 张 卡片上的 数字是 2,2 张卡片上的数字是 3,从 盒中任取 3 张卡片。（1）求所取 3 张卡片上的 数字完全相同的概率；5（2）设 X 表示所取 3 张卡 片上的数字的中位数，求 X 的分布列与数学期望。（注：若三个数 a, b, c 满足 a b c, 则称 b 为这三个数的中位数）6182017 年 8
7、月 20 日 起，市交警支队全面启动路口秩序环境综合治理，重点整治机动车不 礼 让 斑 马 线 和 行 人 的 行 为 ， 经 过 一 段 时 间 的 治 理 ， 从 市 交 警 队 数 据 库 中 调 取 了 20 个 路 口 近 三 个 月 的 车 辆 违 章 数 据 ， 经 统 计 得 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ， 统 计 数 据 中 凡 违 章 车 次超过 30 次 的设为“重点关注路口”.（ 1） 现 从 “重 点 关 注 路 口 ”中 随 机 抽 取 两 个 路 口 安 排 交 警 去 执 勤 ， 求 抽 出 来 的 路 口 的 违 章车次一个在 ，一个在 中
8、的概率；（2）现从支队派遣 5 位 交警，每人选择一个路口执勤，每个路口至多 1 人，违章 车次在 的 路 口 必须有 交 警 去，违 章 车 次在 的 不 需 要交警 过 去 ，设去 “重 点关注 路 口 ”的交警人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.19已知点 (2, 3) 在椭圆 x2 y 2 1(a b 0) 上，设 A ， B ， C 分别为椭圆的左顶点，a2 b2上顶点，下顶点，且点 C 到直线 AB 的距离为 4 7 b .7（1）求椭圆的方程；（2）设 O 为坐标原点， M ( x1 , y1 ) ， N ( x2 , y2 )( x1 x2 ) 为椭圆上两点，且 a2 x
9、 x b2 y yOM ON 是，说明理由.1 2 1 2 ，试问 MON 的面积是否为定值，若是，求出定值；若不a2 b2120已知 f ( x) ln x 1 ， g ( x) x x1 ( x 0) .x7（1）求 f ( x) 的极值；（2） 函数 h( x) f ( x) ag ( x) 有两个极值点 x1 ， x2 ( x1 x2 ) ，若 h( x1 ) m 恒成立，求实数 m 的取值范围.8参考答案一选择题：（每小题 3 分，共 30 分）1C 2C 3C 4A 5A6D 7D 8D 9A 10C二填空题：（每小题 4 分，共 24 分）i11 216 1 a 2112 2 1
10、32 149 15m e 1 2e三、解答题：（共 4 题 ，共 46 分）17解：5（1）84（2）X 1 2 3PEX 472817 43 142 84 1218解：（1）根据频率分布直方图，违章车次在 的路口有 ， 在 中的路口有 ， 设抽出来的路口违章车次一个在，一个在 的事件为 ， 则 （2）由题知随机变量 可取值 2，3， 4，5， ， ， 9102219解：x2 y 2（1） 116 12（2） x1 x2 知直线 MN 的斜率存在，设直线 MN 的方程为 y kx m(m 0) ，x2 y 2代入 1，并整理得 (3 4k 2 ) x2 8kmx 4m2 48 0 .16 12
11、 64k 2 m2 16(3 4k 2 )(m2 12) 48(12 16k 2 m2 ) 0 ， 12 16k 2 m2 0 ，x x 8km ， x x 4(m 12)， 1 23 4k 2 1 2 3 4k 22 2 3m 2 48k 2 y1 y2 (kx1 m)(kx2 m) k x1 x2 km( x1 x2 ) m 又 OM ON x1 x2 y1 y2 ，.3 4k 2a2 x x b2 y y 16 x x 12 y y x1 x2 y1 y2 1 2 1 2 a2 b21 2 1 2 ，16 12整理得 m2 6 8k 2 （满足 0 ）， 2 2 2MN 1 k x1 x
12、2 2 21 k ( x1 x2 )2 4x1 x2 1 k 2 48(2m m ) m2 8 3 1 k .m 2 又点 O 到直线 MN 的距离 d m ，1 k 21 1 1 k 2 m S MN d 8 3 4 3 ，MON 2 2 m 1 k 2 MON 的面积为定值 4 3 .20解： （1）域为 (0, ) ， f ( x) 1 111 x 1 ，x x2 x2令 f ( x) 0 ，得 x 1 ，当 x (0,1) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 单调递减，当 x (1, ) 时，f ( x) 0 ， f ( x) 单调递增，所以 f ( x) 在 x 1 处取得极小
13、值，且极小值 f (1) 2 ，无极大值.（2） h( x) f ( x) ag ( x) ln x 1 1 ax a ，其定义域为 (0, ) ，x xh ( x) 1 1 a ax 2 x a 1 ( x 1)(ax a 1) a ，则x x2 x2 x2 x2当 a 0 时， h ( x) 0 仅有一解 x 1 ，不合题意.12当 a 0 时， 令 h ( x) 0 得 x 1 或 x 1 a .a由题意得， 1 aa 0 ，且 1 aa 1 ，所以 a (0, 1 ) ( 1 ,1) ，2 2此时 h( x) 的两个极值点分别为 x 1 ， x 1 a .a1当 a (0, ) 时，2
14、1 aa 1 ，所以 x 1 ， x 1 a ，1 2 ah( x1 ) h(1) 2 2a ， 而 2 2a (1, 2) ，又 h( x1 ) m 恒成立，则 m 2 .1当 a ( ,1) 时，21 aa 1 ，所以 x 1 a ， x 1 ，1 a 2h( x ) h 1 a ) ln 1 a 2a .1 ( a a1 a 2a2 2a 1 2(a 1 )2 12 2设 (a) lna 2a ，则 (a) a(1 a) 0 ，a(1 a)所以 (a) 在 ( 1 ,1) 上为减函数， (a) ( 1 ) 1 ，2 2所以 h( x1 ) 1，又 h( x1 ) m 恒成立，则 m 1.综上所述，实数 m 的取值范围为 2, ) .
