1、1精练一元二次方程的定义与判别式1. 一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方 程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） 注意：（1）a0，如果 a=0，方程不是一元二次方程，有时需要对 a 是否 为 0 进行分类讨论；（2）方程为整式方程，即分母中不能含有未知数；（3）方程只能有一个未知数，常见的未知数为 x、y、z 等 ，a、b、c、m、n 等字 母常以参数的身份出现；（4）未知数的最高次数是 2；（5）复杂的一元二次方程一般要转化为 ax2+bx+c=0（a0）的形式再进行求解，且a 一般为正数。2. 一元二次方程的判别式 24bac（1
2、） ， 方程有两个不相等的实数根；240bac（2） ， 方程有两个相等的实数根；（3） ， 方程没有实数根；2（4） ， 方程有实数根.40bac注意：（1）判断判别式首先要把一元二次方程变为一般形式 ax2+bx+c=0（且 a0） ；（2）找系数 a、b、c 时一定要带着前面的符号；（3） “ ， 方程有实数根”含有两层含义，即：方程有两个不等的实240根或两个相等的实根。例题 1 关于 y 的方程（a 21）y 2+（2a1）y+5a=0，当 a 为何值时，方程是一元二次方程？a 为何值时，又是一元一次方程？答案：（1）该方程为一元二次方程，则 a210，解得 a1；（2）该方程为一元
3、一次方程，则 a21=0 且 2a10，解得 a=1 且 a ，212所以 a=1点拨：（1）根据二次项系数不等于 0 列式进行计算即可得解；（2）根据二次项系数等 于 0，一次项系数不等于 0 列式进行计算即可得解本题考查了一元二次方程的概念只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是 ax2+bx+c=0（且 a0） 特别要注意 a0 的条件例题 2 （梅州）已知关于 x 的方程 x2+ax+a2=0求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根答案：=a 24（a2）=a 24a+8=a 24a+4+4=（a2） 2+40，不论 a 取何实数，该方
4、程都有两个不相等的实数根点拨：由问题可知一定大于零，所以写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答本题考查了根的判别式，要记牢公式，灵活运用例题 3 （峨眉山市二模）已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m 2=0 有两个实数根 x1和 x2求实数 m 的取值范围；答案：（1）由题意有=（2m1） 24m 20，解得 。41m点拨：特别注意：因为方程有两个根，而无法确定这两个根是不是相等，所以令0 而不是令0，由此来列出关于 m 的不等式并化简，然后求 m 的取值范围。一元二次方程的定义和判别式有时候会结合其他知识点来考查，比如等腰三角形的性质，因此解决综合性较强的题时一定要灵
5、活运用定义及判别式且解不等式时要注意不等号的 变化。例题 （武威模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2（2k+3）x+k 2+3k+2=0（1）求证：不论 k 为何值，方程总有两个不相等的实数根（2）若ABC 的两边 AB，AC 的长度是该方程的两个根，第三边 BC=5，问：k 为何值时，ABC 是等腰三角形，并求出此时ABC 的周长答案：（1）证明：=（2k+3） 24（k 2+3k+2）=1，=10，方程有两个不相等的实数根；（2）解：由于 ABAC，则 AB=BC=5 时，把 x=5 代入 x2（2k+3）x+k 2+3k+2=0 得255（2k+3）+k 2+3k+2=0，解得 k1
6、=3，k 2=4，3ABC 的周长=AB+AC+BC= x1+x2+5，x1+x2=2k+3ABC 的周长=2k+8当 k=3 时，ABC 的周长=2k+8=23+8=14；当 k=4 时，ABC 的周长=2k+8=24+8=16。点拨：（1）先计算判别式的值得到=1，然后根据判别式的意义得到方程有两个不相等的实数根；（2）由于方程总有两个不相等的实数根，根据等腰三角形的性质得 AB=BC=5 时，把x=5 代入 x2（2k+3）x+k 2+3k+2=0 得 255（2k+3）+k 2+3k+2=0，解得 k1=3，k 2=4，然后根据根与系数的关系得到当 k=3 时，ABC 的周长=5+2k
7、+3=14；当 k=4 时，ABC 的周长=5+2k+3=16。一、填空题1. （白银）一元二次方程（a+1）x 2ax+a 21=0 的一个根为 0，则 a= _ 。2. （襄阳）若正数 a 是一元二次方程 x25x+m=0 的一个根，a 是一元二次方程x2+5xm=0 的一个根，则 a 的值是 _ 。*3.（崇明县二模）将关于 x 的一元二次方程 x2+px+q=0 变形为 x2=pxq，就可将 x2表示为关于 x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法” 已知 x2x1=0，可用“降次法”求得 x43x1 的值是 _。4.（泰兴市二模）已知 x=2 是一元二次方
8、程 x2+ax+b=0 的一个根，则代数式4a2+b24ab 的值是 _ 。*5.（淄博）关于 x 的反比例函数 的图 象如 图，A、P 为该图象上的点，且关xay4于原点成中心对称PAB 中，PBy 轴，ABx 轴，PB 与 AB 相交于点 B若PAB 的面积大于 12，则关于 x 的方程（a1）x 2x+ =0 的根的情况是 _ 414*6.（武威模拟）实数 m 既能使关于 x 的不等式组 无解，又能使关于 x 的一320xm元二次方程（m1）x 24x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 7. 在 一 元 二 次 方 程 2x2-7x+ =0 的 划 线 处 填 上 一
9、个 最 小 的 整 数 ， 使 这 个 方 程 没 有实 数 根 8. 若关于 x 的方程 ax2=2x2+3 是一元二次方程，则 a 满足的条件是 *9. 已知关于 x 的一元二次方程 2x2+4x+k-1=0 有实数根，则 k 的最大值是 二、解答题10. 已知关于 x 的方程（mn）x 2+mx+n=0试探索：（1）当 m 和 n 满足什么关系时，该方程是一元一次方程？（2）当 m 和 n 满足什么关系时，该方程是一元二次方程？11.（鄂州）一元二次方程 mx22mx+m2=0若方程有两实数根，求 m 的范围12.（南充模拟）已知关于 x 的方程 x22（k+1）x+k 2=0 有两个不
10、相等的实数根（1）求 k 的取值范围；*（2）求证：x=1 不可能是此方程的实数根5一、填空题1. 1解析：一元二次方程（a+1）x 2ax+a 21=0 的一个根为 0，a+10 且 a21=0，a=12. 5解析：a 是 一元二次方程 x25x+m=0 的一个根，a 是一元二次方程 x2+5xm=0 的一个根，a 25a+m=0，a 25am=0，+，得 2（a 25a）=0，a0，a=53. 1解析： x2x1=0，x 2=x+1，x 43x1=（x+1） 23x1=x2+2x+13x1=x2x=x+1x=14. 16解析：x=2 是一元二次方程 x2+ax+b=0 的一个根，（2） 2
11、2a+b=0，2ab=4，4a 2+b24ab=（2ab） 2=42=165. 没有实数根解析：反比例函数 y= 的图象位于一、三象限，x4aa+40，a4，A、P 关于原点成中心对称，PBy 轴，ABx 轴，PAB 的面积大于 12，2xy12，6即 a+46，a2a2 =(1) 4（a1） =2a0，241关于 x 的方程（a1） x2x+ =0 没有实数根6. 1m 5 且 m1解析：不等式组 无解， 320xmm1，一元二次方程（m1）x 24x+1=0 有两个不相等的实数根，m10 且=164（m1）0，解得 m5 且 m1，m 的取值范围为1m5 且 m17. 7解析：设划线处填的
12、实数是 c，=49-42c0，49-8c0，解得：c ，849c 可以为 7。8. a2解析：由原方程，得（a-2）x 2-3=0关于 x 的方程 ax2=2x2+3 是一元二次方程，a-20，解得，a29. 3解析：一元二次方程 2x2+4x+k-1=0，a=2，b=4，c=k-1，且方程有实数根，b 2-4ac=16-8（k-1）=24-8k0，解得：k3，则 k 的最大值为 3二、解答题710. 解：（1）根据题意得： ， 0mn解得：m=n0（2）根据题意得：mn0，解得：mn11. 解：关于 x 的一元二次方程 mx22mx+m2=0 有两个实数根，m0 且0，即（2m） 24m（m2）0，解得 m0，m 的取值范围为 m012 （1）解：关于 x 的方程有两个不相等的实数根，=4（k+1） 24k 20，k（2）证明：x=1 当时，方程左边=1+2k+2+k 2=k2+2k+3=（k+1） 2+20，而右边=0，左边右边，x=1 不可能是此方程的实数根
