1、1圆中辅助线添加技巧1. 辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。说明：此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。方法依据：（垂径定理）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。2. 辅助线方法：连中点说明：在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。方法依据：（垂径定理推论）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。3. 与切线有关的辅助线作法： （1）点已知，连半径，证垂直说明：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径。 （2）点未知，作
2、垂直，证半径说明：当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（ d）等于半径( r)。（3）见切线，连半径，得垂直说明：有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。方法依据：切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。例题 1 O 的弦 AB、 CD 相交于点 P，且 AC=BD。求证： PO 平分 APD。解析：由等弦 AC=BD 可得出弧 AC 等于弧 BD，进一步得出弧 AB 等于弧 CD，从而可证等2弦 AB=CD，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE AB， OF CD，易证 OPE OPF，得出 PO 平分 APD
3、。答案：证明：作 OE AB 于 E， OF CD 于 F AC=BD ACBD AB=CDOEFP OPE= OPF PO 平分 APD.点拨：在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。例题 2（鞍山一模）如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC，以 AC 为直径作圆 O，与 BC交于点 E，过点 E 作 ED AB，垂足为点 D。求证： DE 为 O 的切线。解析：连接 OE，根据等边对等角，由 AB=AC 得到 B= C，再由半径 OC 与 OE 相等得到 C= CEO，利用等量代换得到 B= CEO，由同位角相等两直线平行，
4、得到 AB 与 EO 平行，再根据两直线平行内错角相等，由角 BDE 为直角得到角 DEO 为直角，又 OE 为圆 O 的半径，根据切线的判断方法得到 DE 为 O 的切线。答案：证明：连接 OE， AB=AC， B= C3 OC=OE， C= CEO， B= CEO， AB EO， DE AB， EO DE， EO 是圆 O 的半径， D 为 O 的切线。 点拨：证明切线的方法有两种：有连接圆心与这点，证明夹角为直角；无点作垂线，证明垂线段长等于半径。此题属于前一种情况。【思路点拨】几何证明中添加辅助线，其作用主要在于沟通“条件”和“结论” 。具体来说，就是把分散的条件集中。使隐蔽的条件显露
5、。将复杂的问题化简，为推证创造条件，促成问题的最终解决。圆中的辅助线的画法比较多，具体的题应该选用怎样的辅助线，关键还是要充分地顺推已知和逆推求证，配合恰当的辅助线找到已知和求证的衔接点。例题 （合山市模拟）如图，大半圆 O 与小半圆 O1相切于点 C，大半圆的弦 AB 与小半圆相切于点 F，且 AB CD， AB=6cm， CD=12cm，则图中阴影部分的面积是（ ） cm2A. B. C. D. 392923292解析：将 O1移动到 O1与 O 重合，则 F 和 F重合，连接 OB，得出阴影部分的面积是：S= （ OB2 OF 2）（ S 扇形 AOB S 三角形 AOB） ，求出 OF
6、 AB，由垂径定理求出AF= BF=3 cm，代入即可得出答案。答案：解：将 O1移动到 O1与 O 重合，则 F 和 F重合，连接 OB， AO， AB CD， AB=6cm， CD=12cm， AB 切 O1于 F， O1F AB， OF AB，由垂径定理得： AF= BF=3 cm，在 Rt BOF中， BF=3 cm， BO= CD=6cm，2即 BF= OB，12 BOF=30，由勾股定理得： OF= cm，3同理 AOF=30， AOB=60，阴影部分的面积是 S= （ OB2 OF 2）（ S 扇形 AOB S AOB）14= （ OB2 OF 2） + 61260313= BF
7、 26 +9= 96 +9 =（9 ） cm2。3故选 A。点拨：本题考查了勾股定理，垂径定理，切线性质等知识点，解此题关键是得出阴影部分的面积 S= （ OB2 OF 2）（ S 扇形 AOB S 三角形 AOB）= BF 2（ S 扇形1 1AOB S 三角形 AOB） ，题目的综合性较强。（答题时间：30 分钟）一、选择题1. （毕节地区）如图，已知 O 的半径为 13，弦 AB 长为 24，则点 O 到 AB的距离是（ ）A. 6 B. 5 C. 4 D. 32. （娄底）如图， O1、 O2相交于 A、 B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2的长为 10
8、cm，则弦 AB 的长为（ ）A. 4.8cm B. 9.6cm C. 5.6cm D. 9.4cm3. （内江）如图，半圆 O 的直径 AB=10cm，弦 AC=6cm， AD 平分 BAC，则 AD 的长为（ ）5A. cm B. cm C. cm D. 4cm45355*4. 如图，在 Rt ABC 中， ACB=90， O 为 ABC 的外接圆， AC=6cm， BC=8cm， P为 BC 的中点。动点 Q 从点 P 出发，沿射线 PC 方向以 2cm/s 的速度运动，以 P 为圆心， PQ长为半径作圆。设点 Q 运动的时间为 t s。若 P 与 O 相切，则 t 的值是（ ）A. t
9、=1 B. t=3 C. t=2 或 t=3 D. t=1 或 t=4*5.（日照三模）如图， AB 是半圆的直径，点 C 是弧 AB 的中点，点 E 是弧 AC 的中点，连接 EB， CA 交于点 F，则 =（ ）EA. B. C. D. 13142121二、填空题6. （南京）如图，在 O 中， CD 是直径，弦 AB CD，垂足为 E，连接 BC，若AB=2 cm， BCD=2230，则 O 的半径为 cm。27. （自贡）一个边长为 4cm 的等边三角形 ABC 与 O 等高，如图放置， O 与 BC 相切于点 C， O 与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为 cm。6*8. （高淳
10、县一模）如图，半径为 2 的两 个等圆 O1与 O2外切于点 P，过 O1作 O2的两条切线，切点分别为 A、 B，与 O1分别交于 C、 D，则弧 APB 与弧 CPD 的长度之和为 。*9. （温州）如图，在矩形 ABCD 中， AD=8， E 是边 AB 上一点，且 AE= AB。 O 经过14点 E，与边 CD 所在直线相切于点 G（ GEB 为锐角） ，与边 AB 所在直线交于另一点 F，且EG EF= 2。当边 AD 或 BC 所在的直线与 O 相切时， AB 的长是 。5三、解答题10. （宜宾）已知：在 ABC 中，以 AC 边为直径的 O 交 BC 于点 D，在劣弧 上取一A
11、点 E 使 EBC= DEC，延长 BE 依次交 AC 于点 G，交 O 于 H。（1）求证： AC 丄 BH；（2）若 ABC=45， O 的直径等于 10， BD=8，求 CE 的长。*11. （浦东新区二模）已知：如图， PAQ=30，在边 AP 上顺次截取AB=3cm， BC=10cm，以 BC 为直径作 O 交射线 AQ 于 E、 F 两点，求：（1）圆心 O 到 AQ 的距离；（2）线段 EF 的长。7*12. （上海）如图 1，已知在平行四边形 ABCD 中， AB=5， BC=8， cosB=，点 P 是边45BC 上的动点，以 CP 为半径的圆 C 与边 AD 交于点 E、
12、F（点 F 在 点 E 的右侧） ，射线 CE 与射线 BA 交于点 G。（1）当圆 C 经过点 A 时，求 CP 的长；（2）连接 AP，当 AP CG 时，求弦 EF 的长；（3）当 AGE 是等腰三角形时，求圆 C 的半径长。8一、1. B 解：过 O 作 OC AB 于 C， AC=BC=AB=12，12在 Rt AOC 中，由勾股定理得： OC= =5。213故选 B。2. B 解：连接 AO1， AO2。 O1， O2相交于 A、 B 两点，两圆半径分别为 6cm 和 8cm，两圆的连心线 O1O2的长为 10cm， O1O2 AB， AC= AB，设 O1C=x，则 O2C=10
13、 x，6 2 x2=82（10 x） 2，解得： x=3.6， AC2=62 x2=363.6 2=23.04， AC=4.8cm，弦 AB 的长为 9.6cm。故选 B。3. A 解：连接 OD， OC， 作 DE AB 于 E， OF AC 于 F， CAD= BAD（角平分线的性质） ， = ，CDB DOB= OAC=2 BAD， AOF ODE， OE=AF=AC=3（ cm） ，12在 Rt DOE 中， DE= =4（ cm） ，2OE9在 Rt ADE 中， AD= =4 （ cm） 。2DEA5故选 A。4. D 解：作直线 OP 交 O 于 M 和 N，根据相切两圆的连心线
14、过切点可得 M、 N 为切点，如图 1， ACB=90， AC=6cm， BC=8cm，由勾股定理得： AB=10cm，即 O 的半径是 5cm， O 为 AB 中点， P 为 BC 中点， OP= AC=3cm，12 PM=OM OP=5cm3 cm=2cm，即 PQ=2；时间 t=22=1（ s） ；如图 2，PN=ON+OP=5cm+3cm=8cm，PQ=PN=8cm，时间 t=82=4（ s） 。故选 D。5. D 解：连接 OE、 BC， OE 与 AC 交于点 M。 E 为弧 AC 的中点，易证 OE AC， C=90， AOE=45， OE BC，设 OM=1，则 AM=1， A
15、C=BC=2， OA= ，2 OE= ， EM= 1， OE BC，10 。21EFMBC故选 D。二、6. 2 解：连接 OB，如图， BCD=2230， BOD=2 BCD=45， AB CD， BE=AE= AB= 2 = ， BOE 为等腰直角三角形，122 OB= BE=2（ cm） 。7. 3 解：连接 OC，并过点 O 作 OF CE 于 F，且 ABC 为等边三角形，边长为 4，故高为 2 ，即 OC= ，3又 ACB=60，故有 OCF=30，在 Rt OFC 中，可得 FC=OCcos30= ，32OF 过圆心，且 OF CE，根据垂径定理易知 CE=2FC=3。8. 2
16、解：连接 O1O2、 O2A、 O2B O1A 是切线， O2A O1A，又 O1O2=2O2A， AO1O2=30， AO1B=60， AO2B=120，CPD 的弧长= ，608311APB 的弧长= 120483 APB 与 CPD 的弧长之和为 2 。9. 12 或 4 边 AB 所在的直线不会与 O 相切；边 BC 所在的直线与 O 相切时，如图，过点 G 作 GN AB，垂足为 N， EN=NF，又 EG EF= 2，5 EG EN= 1，又 GN=AD=8，设 EN=x，则 ，根据勾股定理得：Ex，解得： x=4， GE= ，256445设 O 的半径为 r，由 OE2=EN2+
17、ON2得： r2=16+（8 r） 2， r=5。 OK=NB=5， EB=9，又 AE= AB，14 AB=12。同理，当边 AD 所在的直线与 O 相切时， AB=4。三、10. （1）证明：连接 AD， DAC= DEC， EBC= DEC，12 DAC= EBC， AC 是 O 的直径， ADC=90， DCA+ DAC=90， EBC+ DCA=90， BGC=180（ EBC+ DCA）=18090=90， AC BH。（2）解： BDA=180 ADC=90， ABC=45， BAD=45， BD=AD， BD=8， AD=8，在直角三角形 ADC 中， AD=8， AC=10，
18、根据勾股定理得： DC=6，则 BC=BD+DC=14， EBC= DEC， BCE= ECD， BCE ECD， ，即 CE2=BCCD=146=84，BCED CE= =2 。84111. 解：（1）过点 O 作 OH EF，垂足为点 H， OH EF， AHO=90，在 Rt AOH 中， AHO=90， PAQ=30， OH=AO，2 BC=10cm， BO=5cm。 AO=AB+BO， AB=3cm， AO=3+5=8cm， OH=4cm，即圆心 O 到 AQ 的距离为 4cm。（2）连接 OE，在 Rt EOH 中，13 EHO=90， EH2+HO2=EO2， EO=5cm， O
19、H=4cm， EH= =3cm，254EH OH 过圆心 O， OH EF， EF=2EH=6cm。12. 解：（1）如图 1，设 O 的半径为 r，当点 A 在 C 上时，点 E 和点 A 重合，过点 A 作 AH BC 于 H， BH=ABcosB=4， AH=3， CH=4， AC= =5，2H此时 CP=r=5。（2）如图 2，若 AP CE， APCE 为平行四边形， CE=CP，四边形 APCE 是菱形，连接 AC、 EP，则 AC EP， AM=CM= ，52由（1）知， AB=AC，则 ACB= B， CP=CE= ，5cos8CMA EF= 。2734（3）如图 3：过点 C 作 CN AD 于点 N，14 cosB= ，45 B45， BCG90， BGC45， BGC B= GAE，即 BGC GAE，又 AEG= BCG ACB= B= GAE，当 AEG= GAE 时， A、 E、 G 重合，则 AGE 不存在。即 AEG GAE只能 AGE= AEG， AD BC， GAE GBC， ，即 ，AECBG85AE解得： AE=3， EN=AN AE=1， CE= 。22310N圆 C 的半径为 。0
