1、1拓展：15 角的三角函数值1. 三角函数sinAac对 边斜 边 osAbc邻 边斜 边 tanAab对 边邻 边2. 特殊 角的三角函数值角度值函数30 45 60sin1223cos 31tan 1 33. 角的三角函数值的求法15在 Rt 中， ， ，求 角的三角函数值。ABC9030BAC5解答：延长 CA到 D，使 ADAB，连接 BD，设 BCa。在 Rt 中， ， ，ABC9030BAC。a3,2在 中，ADAB， ，15在 Rt 中，BCa，DCDAAC ，a)23(22aDCB 22)1()4()348(2（1 ） a（ ）a32264)(5sinBDC 3215tan4c
2、o DCB根据互为余角的三角函数的关系：，2615s7sin 46si7co。3cotta例题 如图，在 Rt 中， ， ，求 角的 三角函数值。ABC9030BAC15解析：通过作 的平分线 AD，构造 ，然后通过 RtBAC15BADC，利用三角函数的定义求 角的三角函数值。ACD15答案：作 的平分线 AD， 。30BAC15BADC在 Rt 中， ， 。930设 BCa，则 AB2a，AC a。将 沿 AD翻折，交 AB于点 E，则D,E于是 BEABAE（2 ）a，B60，BED90， ，得 BD2（2 ）a，30BE3 aaC)32()3(2AD 14AC16)4(6a)1(6si
3、n15 。6D3点拨：通过辅助线构造出 角，把这个角放到直角三角 形中，然后推导边与边之间15的关系是解决问题的关键。【方法总结】在 30、45、60角的三角函数值的基础上，要求 15或 75角的三角函数值，只需把 15或 75角放到直角三角形中，求出该三角形各边的长度即可。例题 如图，把含 30角的三 角板 ABC，绕点 B逆时针旋转 90到三角板 DBE的位置（如图所示） ，求 sinADE 的值。解析：过点 E作 EFAD，且交 AD于点 F；设 BDx，进而可得 AB、BE、AD 的值，利用边的关系可得 AE的值；在 RtAEF 中，由三角函数的定义可得 EF、AF 的值；最后在RtD
4、EF 中，根据三 角函数的定义可得 sinADE 的值。答案：过点 E作 EFAD，且交 AD于点 F；设 BDx，则 ABx，BE x，AD x；32DE ，BD3)(22 在 RtAEF 中，AEx x x；3易得 EF AE x；26则 AFEF x，在 RtDEF 中，根据三角函数的定义可得：sinADE EFD426答：sinADE 的值为 。4264点拨：本题考查锐角三角函数的概念，关键是将ADE 放到直角三角形中，用同一未知数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。（答题时间：30 分钟）一、选择题1. 在正方形网格中，ABC 的位置如图，则 sinABC 的
5、值为（ ）A. B. C. D. 3232212. 如图，ABC 中，ABBCCA，则 sinA 的值是（ ）A. B. C. D. 2123333. 如图，正方形 ABCD中，对角线 AC、BD 交于点 O， 点 M、N 分别为 OB、OC 的中点，则sinOMN 的值为（ ）5A. B. 1 C. D. 21 2234. 如图，矩形 ABCD中，AB1，BC ，AC 与 BD相交于 O，则 tanAOB 等于（ 3）A. B. C. 1 D. 33 325. 如图，已知 RtABC 中，C90，BAC67.5，ADBD，则 sinADC（ ）A. B. C. D. 1223236. 把一块
6、直尺与一块三角板如图 放置，若 sin1 ，则2 的度数为（ ）2A. 120 B. 135 C. 145 D. 150二、填空题7. 如图：将三角板的直角顶点放置在直线 AB的点 O处，使斜边 CDAB，则 的正弦值是 。8. 如图，以 O为圆心，任意长为半径画弧，与射线 OM交于点 A，再以 A为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点 B，画射线 OB，则 cosAOB 的值等于 。69. 图 1是一张 RtABC 纸片，如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图 2） ，那么在 RtABC 中，sinB 的值是 。10. 如图，RtABC 中，C90，CDAB 于 D，BC ，AC3，则
7、 BD 。11. 因为 sin30 ，sin210 ，所以 sin210sin（18030）1212sin30，因为 sin45 ，sin225 ，所以 sin225sin（18045）sin45；由此猜想、推理知：一般地，当 为锐角时有 sin（180）sin，由此可知：sin240 。12. 如图，ABCD，BEFC 是两个全等的正方形，则 tan（BAFAFB）等于 。7一、选择题1. C 解析：设小正方形的边长为 1，则 BC4 ，B 的对边长为 4，2sinB 。242. B 解析：ABBCCA，ABC 是等边三角形，故可得A60，sinA 。23故选 B。3. C 解析 ：在正方形
8、 ABCD中，OBOC，MON90，又点 M、N 分别为 OB、OC 的中点，ONOM，OMN45，sinOMNsin45 。2故选 C。4. A 解析：因为 ABCD是矩形，所以 AOBO，则OABOBA。AB1，BC ，tanCAB ，33CAB 60，AOB 为等边三角形，tanAOBtan60 。故选 A。5. B 解析：RtABC 中，C90，BAC67.5，B90BAC9067.522.5，ADBD，BBAD22.5，ADCBBAD22.522.545，sinADC sin45 。2故选 B。6. B 解析：sin1 ，145，直角EFG 中，3901904545，41803135
9、，又ABCD，24135。故选 B。8二、填空题7. 解析：CDAB，23AOCOCD30，180309060，sinsin60 238. 解析：连接 AB，21由画图可知：OAOB，AOABOAAB OB，即三角形 OAB为等边三角形，AOB60，cosAOBcos60 。219. 解析：两张这种 纸片恰好能拼成一个正三角形，23B60，sinB 。2310. 解析：tanA23ACBA30BCD30BD BC 。21311. 解析：当 为锐角时有 sin（180）sin，9sin240sin（18060）sin60 。2312. 1 解析：FBE 是ABF 的一个外角， BAFAFBFBE，tan（BAFAFB）tanFBE 1。BEF
