1、1第八单元 解析几何第 46 讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课前双击巩固1.直线的倾斜角(1)定义:在平面直角坐标系中,当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫作直线 l 的倾斜角 .当直线 l 和 x 轴平行或重合时,直线 l的倾斜角为 . (2)范围:倾斜角 的取值范围是 . 2.直线的斜率(1)定义:一条直线的倾斜角 ( 90)的 叫作这条直线的斜率,该直线的斜率k= . (2)过两点的直线的斜率公式:过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1 x2)的直线的斜率公式为 k= .若x1=x2,则直线的斜率 ,此时
2、直线的倾斜角为 90. 3.直线方程的五种形式名称 方程 适用范围点斜式 不含直线 x=x0斜截式 不含垂直于 x 轴的直线两点式 不含直线 x=x1(x1 x2)和直线 y=y1(y1 y2)截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面内所有直线都适用常用结论直线的倾斜角 和斜率 k 之间的对应关系:2 0 00 不存 在 k0,b0)在两坐标轴上的截距之和为 4,则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 ( )A.2 B.42C.6 D.2第 47 讲 两直线的位置关系、距离公式课前双击巩固1.两条直线的位置关系直线 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,l3:A1x+
3、B1y+C1=0,l4:A2x+B2y+C2=0 的位置关系如下表:位置关系l1,l2满足的条件 l3,l4满足的条件平行 A1B2-A2B1=0 且 A1C2-A2C10垂直 A1A2+B1B2=0相交 A1B2-A2B1052.两直线的交点设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线的 就是方程组的解 . 1+1+1=0,2+2+2=0(1)若方程组有唯一解,则两条直线 ,此解就是 ; (2)若方程组无解,则两条直线 ,此时两条直线 ,反之,亦成立 . 3.距离公式点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|= 点 P0(x0,y0)到
4、直线l:Ax+By+C=0 的距离 d= 两条平行线Ax+By+C1=0 与Ax+By+C2=0 间的距离d= 常用结论1.若所求直线过点 P(x0,y0),且与 Ax+By+C=0 平行,则方程为: A(x-x0)+B(y-y0)=0.2.若所求直线过点 P(x0,y0),且与 Ax+By+C=0 垂直,则方程为: B(x-x0)-A(y-y0)=0.3.过两直线交点的直线系方程若已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 相交,则方程 A1x+B1y+C1+ (A2x+B2y+C2)=0(其中 R,这条直线可以是 l1,但不能是 l2)表示过 l1和 l2
5、的交点的直线系方程 .4.点( x,y)关于原点(0,0)的对称点为( -x,-y).5.点( x,y)关于 x 轴的对称点为( x,-y),关于 y 轴的对称点为( -x,y).6.点( x,y)关于直线 y=x 的对称点为( y,x),关于直线 y=-x 的对称点为( -y,-x).7.点( x,y)关于直线 x=a 的对称点为(2 a-x,y),关于直线 y=b 的对称点为( x,2b-y).8.点( x,y)关于点( a,b)的对称点为(2 a-x,2b-y).9.点( x,y)关于直线 x+y=k 的对称点为( k-y,k-x),关于直线 x-y=k 的对称点为( k+y,x-k).
6、6题组一 常识题1.教材改编 已知过 A(-1,a),B(a,8)两点的直线与直线 2x-y+1=0 平行,则 a 的值为 . 2.教材改编 过点(3,1)且与直线 x-2y-3=0 垂直的直线方程是 . 3.教材改编 过两直线 l1:x-3y+4=0 和 l2:2x+y+5=0 的交点和原点的直线方程为 . 4.圆( x+1)2+y2=2 的圆心到直线 y=2x+3 的距离为 . 题组二 常错题索引:判断两条直线的位置关系忽视斜率不存在的情况;求两平行线间的距离忽视两直线的系数的对应关系;两直线平行解题时忽略检验两直线重合的情况 .5.若直线( a+2)x+(1-a)y-3=0 与直线( a
7、-1)x+(2a+3)y+2=0 互相垂直,则 a= . 6.两条平行直线 3x-4y-3=0 和 mx-8y+5=0 之间的距离是 . 7.若直线 l1:x+y-1=0 与直线 l2:x+a2y+a=0 平行,则实数 a= . 课堂考点探究探究点一 两条直线的位置关系1 (1)2017咸阳二模 已知 p:m=-1,q:直线 x-y=0 与直线 x+m2y=0 互相垂直,则 p 是 q的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)2017广州二模 已知三条直线 2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,mx-y-1=0 不能构成三角形,则实数 m 的
8、取值集合为 ( )A. B.-43,23 43,-23C. D.-43,23,43 -43,-23,23总结反思 (1)讨论两直线的位置关系时应考虑直线的斜率是否存在;(2)“直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 平行”的充要条件是“ A1B2=A2B1且 A1C2 A2C1”,“两直线垂直”的充要条件是“ A1A2+B1B2=0”.式题 (1)2017湖南长郡中学、衡阳八中等重点中学联考 “ a=2”是“直线 ax+y-2=0与直线 2x+(a-1)y+4=0 平行”的 ( )A.充要条件 B.充分不必要条件7C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件(2)2017沈阳二
9、中一模 已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x+2y-3=0 垂直,则cos -2 的值为 ( )20172A. B.- C.2 D.-45 45 12探究点二 距离问题2 (1)2017河北武邑中学月考 已知两平行直线 l1:3x+4y+5=0,l2:6x+by+c=0 间的距离为 3,则 b+c= ( )A.-12 B.48C.36 D.-12 或 48(2)若 (a b),则坐标原点 O(0,0)到经过两点 (a,a2),(b,b2)的直线的2sin+cos-1=0,2sin+cos-1=0距离为 . 总结反思 (1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线方程应为一般式;
10、(2)运用两平行直线间的距离公式 d= 的前提是两直线方程中的 x,y 的系数|1-2|2+2对应相等 .式题 (1)平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 y= x+ 的距离的最小值是 ( )53 45A. B.34170 3485C. D.120 130(2)2017辽宁锦州中学期中 若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则线段 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为 ( )A.3 B.22 2C.3 D.43 2探究点三 对称问题考向 1 点关于点的对称3 (1)点 M(4,m)关于点 N(n,-3)的对称点为 P(6,-9),则 (
11、)8A.m=-3,n=10 B.m=3,n=10C.m=-3,n=5 D.m=3,n=5(2)直线 2x-y+3=0 关于定点 M(-1,2)对称的直线方程是 ( )A.2x-y+1=0 B.2x-y+5=0C.2x-y-1=0 D.2x-y-5=0总结反思 中心对称问题主要有两类:(1)点关于点的对称:点 P(x,y)关于 O(a,b)对称的点 P(x,y)满足 =2-,=2-.(2)直线关于点的对称:直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决,也可考虑利用两条对称直线是相互平行的,并利用对称中心到两条直线的距离相等求解 .考向 2 点关于线对称4 (1)已知直线 l 的方程为 2x-
12、y-3=0,点 A(1,4)与点 B 关于直线 l 对称,则点 B 的坐标为 . (2)点 M(3,-4)和点 N(m,n)关于直线 y=x 对称,则 ( )A.m=-4,n=-3B.m=4,n=-3C.m=-4,n=3D.m=4,n=3总结反思 若点 A(a,b)与点 B(m,n)关于直线 Ax+By+C=0(A0, B0)对称,则直线Ax+By+C=0 垂直平分线段 AB,即有-(-)=-1,+2 +2 +=0.考向 3 线关于线对称5 (1)直线 l1:2x+y-4=0 关于直线 l:x-y+2=0 对称的直线 l2的方程为 . (2)直线 l1:3x-y+1=0 与直线 l2:3x-y
13、+7=0 关于直线 l 对称,则直线 l 的方程为 . 总结反思 求直线 l1关于直线 l 对称的直线 l2,有两种处理方法:(1)在直线 l1上取两点(一般取特殊点),利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线 l 的对称点,再用两点式写出直线 l2的方程 .9(2)设点 P(x,y)是直线 l2上任意一点,其关于直线 l 的对称点为 P1(x1,y1)(P1在直线 l1上),若直线 l 的方程为 Ax+By+C=0(A0, B0),则有 从中解出-1-1(-)=-1,+12 +12 +=0,x1,y1,再代入直线 l1的方程,即得直线 l2的方程 .考向 4 对称问题的应用6 (1)
14、一束光线从原点 O(0,0)出发,经过直线 l:8x+6y=25 反射后通过点 P(-4,3),则反射光线所在直线的方程为 . (2)将一张坐标纸折叠一次,使得点(3, -2)与点( -1,2)重合,点(7,3)与点( m,n)重合,则 mn= . 总结反思 在对称关系的两类问题中,中心对称的本质是“中点”,体现在中点坐标公式的运用上;轴对称的本质是“垂直、平分”,即“对称点连线与对称轴垂直,对称点构成的线段的中点在对称轴上” .强化演练1.【考向 3】与直线 x+3y-2=0 关于 x 轴对称的直线方程为 ( )A.x-3y-2=0 B.x-3y+2=0C.x+3y+2=0 D.3x+y-2
15、=02.【考向 2】两点 A(a+2,b+2),B(b-a,-b)关于直线 4x+3y=11 对称,则 ( )A.a=-4,b=2B.a=4,b=-2C.a=4,b=2D.a=2,b=43.【考向 3】若直线 l1:y-2=(k-1)x 和直线 l2关于直线 y=x+1 对称,那么直线 l2恒过定点( )A.(2,0) B.(1,-1)C.(1,1) D.(-2,0)4.【考向 1】直线 y=3x+3 关于点 M(3,2)对称的直线 l 的方程是 . 5.【考向 4】2017西安一中一模 已知点 A(x,5)关于点(1, y)的对称点为点( -2,-3),则点 P(x,y)到原点的距离是 .
16、6.【考向 4】已知入射光线经过点 M(-3,4),被直线 l:x-y+3=0 反射,反射光线经过点 N(2,6),则反射光线所在直线的方程是 . 10第 48 讲 圆的方程课前双击巩固1.圆的定义及方程定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨 迹)标准方程(r0)圆心 ,半径 一般方程(D2+E2-4F0) 圆心为 - ,- ,2 2半径为122+2-42.点与圆的位置关系点 M(x0,y0)与圆( x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系:(1)若 M(x0,y0)在圆外,则 . (2)若 M(x0,y0)在圆上,则 . (3)若 M(x0,y0)在圆内,则 . 常用结论常见圆的方程
17、的设法: 标准方程的设法 一般方程的设法圆心在原点 x2+y2=r2 x2+y2-r2=011过原点(x-a)2+(y-b)2=a2+b2x2+y2+Dx+Ey=0圆心在x 轴上 (x-a)2+y2=r2 x2+y2+Dx+F=0圆心在y 轴上 x2+(y-b)2=r2 x2+y2+Ey+F=0与 x 轴相切(x-a)2+(y-b)2=b2x2+y2+Dx+Ey+D2=014与 y 轴相切(x-a)2+(y-b)2=a2x2+y2+Dx+Ey+E2=014题组一 常识题1.教材改编 若原点在圆( x-2m)2+(y-m)2=5 的内部,则实数 m 的取值范围是 . 2.教材改编 已知 A(-4
18、,-5),B(6,-1),则以线段 AB 为直径的圆的方程是 . 3.教材改编 已知圆 C 经过点 A(1,1)和 B(4,-2),且圆心 C 在直线 l:x+y+1=0 上,则圆 C 的标准方程为 . 4.教材改编 与圆 x2+y2-4x+2y+4=0 关于直线 x-y+3=0 对称的圆的一般方程是 .题组二 常错题索引:忽视表示圆的条件 D2+E2-4F0;遗漏方程的另一个解;忽略圆的方程中变量的取值范围 .5.若方程 x2+y2-x+y+m=0 表示圆,则实数 m 的取值范围是 . 6.半径为 2,且与两坐标轴都相切的圆的方程为 . 7.已知实数 x,y 满足( x-2)2+y2=4,则
19、 3x2+4y2的最大值为 . 课堂考点探究探究点一 圆的方程121 (1)2017包头一模 圆 E 经过三点 A(0,1),B(2,0),C(0,-1),则圆 E 的标准方程为( )A. +y2= B. +y2=(-32)2 254 (+34)2 2516C. +y2= D. +y2=(-34)2 2516 (-34)2 254(2)2017广西名校一模 过点 A(1,-1),B(-1,1)且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是( )A.(x-3)2+(y+1)2=4B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4总结反思 求圆的方
20、程一般有两种常用方法:(1)几何法,通过研究圆的几何性质,确定圆心坐标与半径长,即得到圆的方程;(2)代数法,用待定系数法求解,其关键是根据条件选择圆的方程,若已知圆上三点,则选用圆的一般方程,若已知条件与圆心及半径有关,则选用圆的标准方程 .式题 (1)若圆 C 过点(0, -1),(0,5),且圆心到直线 x-y-2=0 的距离为 2 ,则圆 C 的标准2方程为 . (2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为 . 探究点二 与圆有关的最值问题考向 1 斜率型最值问题2 (1) 若实数 x,y 满足 x2+y2-2x-2y+1=0,则 的取值范围为 ( )-4-2A. B.0,43
21、 43,+)C. D.(-,-43 -43,0)(2)2017抚州临川一中二模 点 M(x,y)在圆 x2+(y-2)2=1 上运动,则 的取值范围42+2是 ( )A. (-,-14 14,+)13B. (-,-14 14,+) 0C. -14,0) (0,14D.-14,14总结反思 处理与圆有关的最值问题,应充分探究圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,利用数形结合思想求解 .求形如 k= 的最值问题,可转化为求斜率的最值问题 ,即过点-(a,b)和( x,y)的直线斜率的最值问题 .考向 2 截距型最值问题3 (1)已知实数 x,y 满足方程 x2+y2-2x+4y=0,则 x-2y
22、的最大值是 ,最小值是 . (2)已知 P(x,y)在圆( x-1)2+(y-1)2=5 上运动,当 2x+ay(a0)取得最大值 8 时,其最小值为 . 总结反思 若( x,y)为圆上任意一点,求形如 u=ax+by 的最值,可转化为求动直线截距的最值 .具体方法是:(1)数形结合法,当直线与圆相切时,直线在 y 轴上的截距取得最值;(2)把u=ax+by 代入圆的方程中,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程,由 0 求得 u 的范围,进而求得最值 .考向 3 距离型最值问题4 (1)2017嘉兴一中联考 已知圆 C:(x-2)2+(y+m-4)2=1,当 m 变化时,圆 C 上的点与原点
23、 O 的最短距离是 . (2)若 P 是圆 C:(x+3)2+(y-3)2=1 上任一点,则点 P 到直线 y=kx-1 距离的最大值为 ( )A.4 B.6C.3 +1 D.1+2 10总结反思 若( x,y)为圆上任意一点,求形如 t=(x-a)2+(y-b)2的最值,可转化为圆上的点到定点的距离的最值,即把( x-a)2+(y-b)2看作是点( a,b)与圆上的点( x,y)连线的距离的平方,利用数形结合法求解 . 考向 4 利用对称性求最值5 2017赤峰期末 一束光线从点 A(-1,1)出发,经 x 轴反射到圆 C:(x-2)2+(y-3)2=1 上的最短路径的长是 ( )A.4 B
24、.5C.3 -1 D.22 614总结反思 求解形如 |PM|+|PN|且与圆 C 有关的折线段的最值问题(其中 M,N 均为动点)的基本思路:(1)“动化定”,把与圆上的点的距离,转化为与圆心的距离;(2)“曲化直”,即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和,一般要通过对称性解决 .强化演练1.【考向 1】设实数 x,y 满足( x+2)2+y2=3,那么 的取值范围是 ( )A.- 33, 33B. (-,- 33 33,+)C.- 3, 3D.(- ,- ,+ )3 32.【考向 3】若直线 l:ax+by+1=0 经过圆 M:x2+y2+4x+2y+1=0 的圆心,则( a-2)2+
25、(b-2)2的最小值为 ( )A. B.55C.2 D.1053.【考向 4】已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N 分别是圆 C1,C2上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 |PM|+|PN|的最小值为 ( )A.5 -4 B. -12 17C.6-2 D.2 174.【考向 3】2017合肥一中三模 若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2与圆C:(x-5)2+y2=16 只有一个公共点 M,则 的最小值为 . |5.【考向 2】2017广东华南师大附中月考 已知实数 x,y 满足( x+2)2+(y-3)
26、2=1,则|3x+4y-26|的最小值为 . 6.【考向 3】已知圆 C:x2+(y+1)2=3,设 EF 为直线 l:y=2x+4 上的一条线段,若对于圆 C 上的任意一点 Q, EQF ,则 的最小值是 . 2 |探究点三 与圆有关的轨迹问题6 (1)动点 P 与定点 A(-1,0),B(1,0)的连线的斜率之积为 -1,则点 P 的轨迹方程是 ( )A.x2+y2=1B.x2+y2=1(0)15C.x2+y2=1(1)D.y= 1-2(2)点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点的轨迹方程是 ( )A.(x-2)2+(y+1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=4C.
27、(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-1)2=1总结反思 与圆有关的轨迹问题的四种常用求解方法:(1)直接法:直接根据题目提供的条件列出方程 .(2)定义法:根据圆、直线等的定义列方程 .(3)几何法:利用圆与圆的几何性质列方程 .(4)代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式列方程 .式题 (1)2017广东广雅中学、江西南昌二中联考 自圆 C:(x-3)2+(y+4)2=4 外一点P(x,y)引该圆的一条切线,切点为 Q,切线的长度等于点 P 到原点 O 的距离,则点 P 的轨迹方程为 ( )A.8x-6y-21=0 B.8x+6y-21=0C.6x+8y-
28、21=0 D.6x-8y-21=0(2)已知点 A(1,0)和圆 C:x2+y2=4 上一点 P,动点 Q 满足 =2 ,则点 Q 的轨迹方程为 ( )A. +y2=1 B.x2+ =1(+32)2 (+32)2C.x2+ =1 D. +y2=1(-32)2 (-32)2第 49 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系课前双击巩固1.直线与圆的位置关系16设圆 O 的半径为 r(r0),圆心到直线 l 的距离为 d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 相切 相交图形方程观点 0 0 0 量化 几何观点 d r d r d r 2.两圆的位置关系设两圆的半径分别为 R,r(Rr),两圆圆心
29、间的距离为 d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系 相离 外切 相交 内切 内含图形量的关系常用结论1.求圆的切线方程,常用两种方法(1)代数法:将直线方程代入圆的方程中,消去一个未知数( x 或 y),令一元二次方程的判别式等于 0,求出相关参数 .(2)几何法:将圆的切线方程设为一般式,根据圆心到直线的距离等于半径,求出相关参数 .2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法:运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长 |AB|=2 .2-217(2)代数法:设直线 y=kx+m 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 相交于点 M,N,将直线方程代入圆的方程中,消去
30、y,得关于 x 的一元二次方程,求出 xM+xN和 xMxN,则 |MN|= .1+2 (+)2-4题组一 常识题1.教材改编 直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2x-3=0 的位置关系是 . 2.教材改编 以点(2, -1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是 . 3.教材改编 圆( x+2)2+y2=4 与圆( x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为 . 4.教材改编 直线 x-y-5=0 被圆 x2+y2-4x+4y+6=0 所截得的弦的长为 . 题组二 常错题索引:忽视分两圆内切与外切两种情形;忽视切线斜率 k 不存在的情形;求弦所在直线的方程时遗漏一解 .5.若圆 x
31、2+y2=1 与圆( x+4)2+(y-a)2=25 相切,则常数 a= . 6.已知圆 C: x2+y2=9,过点 P(3,1)作圆 C 的切线,则切线方程为 . 7.若直线过点 P -3,- 且被圆 x2+y2=25 截得的弦长是 8,则该直线的方程为 .32课堂考点探究探究点一 直线与圆的位置关系1 (1)2017海南中学模拟 直线 x+ay+1=0 与圆 x2+(y-1)2=4 的位置关系是 ( )A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定(2)2017渭南二模 直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-1=0 有两个不同交点的一个充分不必要条件是 ( )A.00)上至少存在一点 P
32、,使得 |PO|= |PM|,则 r 的最小值是 . 2(2)设 P(x1,y1)是圆 O1:x2+y2=9 上的点,圆 O2的圆心为 O2(a,b),半径为 1,则( a-x1)2+(b-y1)2=1 是圆 O1与圆 O2相切的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件第 50 讲 椭圆课前双击巩固1.椭圆的定义平面内与两个定点 F1,F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫作 .这两个定点叫作椭圆的 ,两焦点间的距离叫作椭圆的 . 集合 P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中 a0,c0,且 a,c 为常数:(
33、1)若 ,则集合 P 为椭圆; (2)若 ,则集合 P 为线段; (3)若 ,则集合 P 为空集 . 2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程 + =1(ab0)2222 + =1(ab0)2222图形性质范围20对称性对称轴: 对称中心: 顶点A1 ,A2 B1 ,B2 A1 ,A2 B1 ,B2 轴长轴 A1A2的长为 短轴 B1B2的长为 焦距 |F1F2|= 离心率 e= ,e a,b,c的关系c2= 常用结论椭圆中几个常用的结论:(1)焦半径:椭圆上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1与右(上)焦点 F2之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径,分别记作 r1= ,r2= .|1| |2|
34、 + =1(ab0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;2222 + =1(ab0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;2222 焦半径中以长轴端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点) .(2)焦点三角形:椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的 PF1F2叫作焦点三角形 .r1=|PF1|,r2=|PF2|, F1PF2= , PF1F2的面积为 S,则在椭圆 + =1(ab0)中:2222 当 r1=r2时,即点 P 的位置为短轴端点时, 最大;S=b 2tan =c ,当 =b 时,即点 P 的位置为短轴端点时, S 取最大值,最大值为 bc.2 |0| |0|21(3)焦点弦(过
35、焦点的弦):焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长 lmin= .22(4)AB 为椭圆 + =1(ab0)的弦, A(x1,y1),B(x2,y2),弦中点 M(x0,y0),则2222 弦长 l= = |y1-y2|;1+2|1-2|1+12 直线 AB 的斜率 kAB=- .2020题组一 常识题1.教材改编 椭圆 36x2+81y2=324 的短轴长为 ,焦点为 ,离心率为 . 2.教材改编 已知动点 P(x,y)的坐标满足 + =16,则动点 P 的轨迹2+(+7)2 2+(-7)2方程为 . 3.教材改编 若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 10,一个焦点的坐标是
36、( -,0),则椭圆的标准方程为 . 54.教材改编 椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1,F2的连线的夹角为直角,则 Rt249233PF1F2的面积为 . 题组二 常错题索引:椭圆的定义中易忽视 2a|F1F2|这一条件;忽视焦点的位置;易忽视椭圆方程中未知数的取值范围 .5.平面内一点 M 到两定点 F1(0,-9),F2(0,9)的距离之和等于 18,则点 M 的轨迹是 . 6.短轴长等于 6,离心率等于 的椭圆的标准方程为 . 457.设点 P(x,y)在椭圆 4x2+y2=4 上,则 5x2+y2-6x 的最大值为 . 课堂考点探究22探究点一 椭圆的定义1 (1)过椭圆
37、 +y2=1 的左焦点 F1作直线 l 交椭圆于 A,B 两点, F2是椭圆右焦点,则 ABF224的周长为 ( )A.8 B.4 2C.4 D.2 2(2)2017西宁一模 在平面直角坐标系 xOy 中, P 是椭圆 + =1 上的一个动点,点 A(1,1),2423B(0,-1),则 + 的最大值为 ( )| |A.5 B.4 C.3 D.2总结反思 椭圆定义的应用主要有两个方面:一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆;二是当 P 在椭圆上时,与椭圆的两焦点 F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可求 |PF1|PF2|,通过整体代入可求其
38、面积等 .式题 (1)2017汕头三模 若椭圆 + =1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1,F2的连线互236216相垂直,则 PF1F2的面积为 ( )A.36 B.16 C.20 D.24(2)已知椭圆 + =1(0b0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交2222E 于 A,B 两点 .若线段 AB 的中点的坐标为(1, -1),则 E 的方程为 ( )A. + =1 B. + =1245236 236227C. + =1 D. + =1227218 21829总结反思 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有:(1)定义法,定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定
39、义;(2)待定系数法,待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为 mx2+ny2=1(m0,n0,m n),再用待定系数法求出 m,n 的值即可 .式题 (1)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆的两个焦点,过 F1的直线 l 交椭圆于 M,N 两点,若 MF2N 的周长为 8,则椭圆方程为 ( )A. + =1 B. + =12423 2423C. + =1 D. + =1216215 216215(2) 过点 A(3,-2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的方程为 ( )2924A. + =1 B.
40、+ =1215210 225220C. + =1 D. + =1210215 220215探究点三 椭圆的几何性质243 (1)2017西宁二模 设 F1,F2分别是椭圆 + =1(ab0)的左、右焦点,与直线 y=b2222相切的 F2交椭圆于点 E,且点 E 恰好是直线 EF1与 F2的切点,则椭圆的离心率为 ( )A. B. C. D.32 23 53 54(2)椭圆 x2+ =1(0b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为 e.P 是椭圆上一2222点,位于第一象限,满足 PF2 F1F2,点 Q 在线段 PF1上,且 =2 .若 =0,则 e2=( )1 1 2A. -1 B.
41、2-2 2C.2- D. -23 5(2)中心为原点 O 的椭圆的焦点在 x 轴上, A 为该椭圆右顶点, P 为椭圆上一点,若 OPA=90,则该椭圆的离心率 e 的取值范围是 ( )A. B.12,1) ( 22,1)25C. D.12, 63) (0,22)探究点四 直线与椭圆的位置关系4 2018合肥一中、马鞍山二中等六校联考 已知点 M 是圆 E:(x+ )2+y2=16 上的动点,点3F( ,0),线段 MF 的垂直平分线交线段 EM 于点 P.3(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;(2)矩形 ABCD 的边所在直线与轨迹 C 均相切,设矩形 ABCD 的面积为 S,求 S 的取
42、值范围 .总结反思 (1)解决直线与椭圆的位置关系的问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系,解决相关问题 .(2)设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 |AB|= =(1+2)(1+2)2-412(1+12)(1+2)2-412(k 为直线斜率) .(3)直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法:涉及问题 处理方法弦长根与系数的关系、弦长公式(直线与椭圆有两交点)中点弦或弦的中点 点差法(结果要检验 0)式题 2017咸阳三模 已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率2222为 ,点 A 在椭圆
43、C 上, |AF1|=2, F1AF2=60,过 F2与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q12两点, N 为线段 PQ 的中点 .26(1)求椭圆 C 的方程;(2)已知点 M 0, ,且 MN PQ,求线段 MN 所在的直线方程 .18第 51 讲 双曲线课前双击巩固1.双曲线的定义平面内与两个定点 F1,F2的 等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线 .这两个定点叫作 ,两焦点间的距离叫作 . 集合 P=M|MF1|-|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a0,c0.(1)当 时, P 点的轨迹是双曲线; (2)当 时, P 点的轨迹是两条
44、射线; (3)当 时, P 点不存在 . 2.标准方程(1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0);2222(2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为 - =1(a0,b0).22223.双曲线的性质标准方程-22 - =1(a0,b0)222227=1(a0,b0)22图形范围 ,yR ,xR 对称性 对称轴:坐标轴 .对称中心:原点顶点 A1 ,A2 A1 ,A2 渐近线 y= y= 离心率 e= ,e a,b,c的关系c2= (ca0,cb0) 性质实、虚轴线段 A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|= ;线段 B1B2叫作双曲
45、线的虚轴,它的长 |B1B2|= ;a 叫作双曲线的实半轴长, b 叫作双曲线的虚半轴长 常用结论双曲线的几个常用结论:(1)与双曲线 - =1(a0,b0)有共同渐近线的双曲线系的方程为 - = ( 0) .22222222(2)双曲线上的点 P(x0,y0)与左(下)焦点 F1或右(上)焦点 F2之间的线段叫作双曲线的焦半径,分别记作 r1=|PF1|,r2=|PF2|,则 - =1(a0,b0),若点 P 在右支上,则 r1=ex0+a,r2=ex0-a;若点 P 在左支上,则 r1=-ex0-2222a,r2=-ex0+a.28 - =1(a0,b0),若点 P 在上支上,则 r1=ey0+a,r2=ey0-a;若点 P 在下支上,则 r1=-ey0-2222a,r2=-ey0+a.题组一 常识题1.教材改编 若双曲线 E: - =1 的左、右
