1、1第九单元 计数原理、概率、随机变量及其分布小题必刷卷(十三) 计数原理、概率、随机变量及其分布题组一 真题集训1.2016全国卷 如图 X13-1,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( )图 X13-1A.24 B.18 C.12 D.92.2017全国卷 安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有 ( )A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种3.2017全国卷 (x+y)(2x-y)5的展开式中 x3y3的系数为
2、 ( )A.-80 B.-40 C.40 D.804.2015全国卷 投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试 .已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3125.2014全国卷 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( )A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.456.2017浙江卷 已知随机变量 i满足 P( i=1)=pi,P( i
3、=0)=1-pi,i=1,2.若 0D( 2)C.E( 1)E( 2),D( 1)E( 2),D( 1)D( 2)7.2017全国卷 如图 X13-2,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( )2图 X13-2A. B.14 8C. D.12 48.2016全国卷 定义“规范 01 数列” an如下: an共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为1,且对任意 k2 m,a1,a2,ak中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有
4、( )A.18 个 B.16 个 C.14 个 D.12 个9.2015全国卷 (a+x)(1+x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a= . 10.2017浙江卷 从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,要求服务队中至少有 1 名女生,共有 种不同的选法 .(用数字作答) 11.2016四川卷 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在 2 次试验中成功次数 X 的均值是 . 题组二 模拟强化12.2017泉州模拟 随机变量 X 服从正态分布 N(3, 2),且 P(X4)
5、 =0.84,则 P(2 X4)=( )A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84 13.2017昆明一模 在 x- 10的展开式中, x4的系数等于 ( )1A.-120 B.-60C.60 D.12014.2017株洲一模 在面积为 1 的等边三角形 ABC 内任取一点 P,使 ABP, ACP, BCP的面积都小于 的概率为 ( )12A. B. C. D. 16 12 13 1415.2017江门一模 若( x2+a) x- 10的展开式中 x6的系数为 -30,则常数 a= ( )13A.-4 B.-3 C.2 D.316.2017天水一中三诊 从装有若干个大小相同的红球、
6、白球和黄球的袋中随机摸出 1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为 , , ,从袋中随机摸出 1 个球,记下颜色后放回,121316连续摸 3 次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为 ( )A. B. C. D. 536 13 512 1217.2018吉林百校联盟联考 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美 .按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆 O 被 y=3sin x 的图像分割为两个对称的6鱼形图案,其中小圆的半径均为 1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )图 X
7、13-3A. B.136 118C. D. 112 1918.2017河北故城高级中学期末 已知随机变量 X 的分布列如表:X -1 0 1 2P a b c 518若 b2=ac,a= ,则 E(X)=( )12A. B. C. D. 19 13 12 2319.2017枣庄三中二调 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去三所边远学校支教,每所学校至少 1 人,其中甲和乙必须去同一所学校,甲和丙一定不去同一所学校,则不同的选派方案共有 种 . 420.2017北京东城区期末 随着中国电子商务的发展,网购鲜花速递行业迅速兴起 .佳佳为祝福母亲的生日,准备在网上定制一束混合花束 .客服为佳佳
8、提供了两个系列,如下表:粉色系列 黄色系列玫瑰 戴安娜、粉佳人、糖果、桃红雪山 假日公主、金辉、金香玉康乃馨 粉色、小桃红、白色粉边 火焰、金毛、黄色配叶 红竹蕉、情人草、满天星 散尾叶、栀子叶、黄莺、银叶菊佳佳要在两个系列中选一个系列,再从中选择 2 种玫瑰、1 种康乃馨、2 种配叶组成混合花束 .请问佳佳可定制的混合花束一共有 种 . 21.共享单车是指企业与政府合作,在公共服务区等地方提供自行车共享服务,现从 6 辆黄色共享单车和 4 辆蓝色共享单车中任取 4 辆进行检查,则至少有 2 辆蓝色共享单车的取法种数是 . 22.某公益活动为期三天,现要为 6 名志愿者安排相应的服务工作,每人
9、工作一天,且第一天需 1 人工作,第二天需 2 人工作,第三天需 3 人工作,则不同的安排方法有 种 .(请用数字作答) 23.2017北京延庆区一模 将 5 幅不同的冬奥会宣传作品排成前、后两排展出,每排至少2 幅,其中 A,B 两幅作品必须排在前排,那么不同的排法共有 种 . 24.2017河南豫北重点中学联考 已知 m= ,则 + m的展开式中常数项1 为 . 5小题必刷卷(十三)1.B 解析 由 E 到 F 有 6 种走法,由 F 到 G 有 3 种走法,由分步乘法计数原理知,共63=18(种)走法 .2.D 解析 把 4 项工作分成 3 组,分法为 种,再分配给 3 名志愿者,分配方
10、法有 种,故24 33不同的安排方式共有 =36(种) .24 333.C 解析 由二项式定理可得,原式展开式中含 x3y3的项为 x (2x)2(-y)3+y (2x)35 253(-y)2=40x3y3,则 x3y3的系数为 40.4.A 解析 记事件 M=恰好投中 2 次, N=3 次都投中, E=通过测试,则事件 M 与 N 互斥,且E=M N.又 P(M)= (0.6)2(1-0.6)=0.432,P(N)= (0.6)3=0.216,所以 P(E)=P(M N)23 33=P(M)+P(N)=0.648.故选 A.5.A 解析 设“第一天空气质量为优良”为事件 A,“第二天空气质量
11、为优良”为事件 B,则 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率,根据条件概率公式得 P(B|A)= = =0.8.()() 0.60.756.A 解析 由随机变量的均值公式,得 E( 1)=1p1+0(1-p1)=p1,E( 2)=1p2+0(1-p2)=p2,而 04)=1-P(X4) =1-0.84=0.16,又随机变量 X 服从正态分布N(3, 2),则 P(X4)=0.16,可得 P(2 X4) =P(X4) -P(X2)=0.84-0.16=0.68.故选 C.13.A 解析 展开式的通项为 Tr+1= x10-r =(-1
12、)r x10-2r,令 10-2r=4,解得 r=3,x 410 (-1) 10的系数为 - =-120.故选 A.31014.D 解析 如图,设 D,E,F 分别是等边三角形 ABC 的三边 AB,BC,CA 的中点,当点 P 在DEF 内时,满足 ABP, ACP, BCP 的面积都小于 ,因为 S DEF= S ABC,所以所求事件的概率12 14P= ,应选 D.14715.C 解析 x- 10展开式的通项为 Tr+1= x10-r =(-1)r x10-2r.令 10-1 10 (-1) 102r=4,解得 r=3,所以 x4的系数为 - =-120;令 10-2r=6,解得 r=2
13、,所以 x6的系数为 =45.310 210故( x2+a) x- 10的展开式中 x6的系数为 -120+45a=-30,解得 a=2.故选 C.116.C 解析 满足题意时,取到 2 次红球 1 次白球或者 2 次白球 1 次红球,据此可得,所求概率为 P= + = .选 C.2312 (13)223 (12)2 13 51217.B 解析 设大圆的半径为 R,则 R= = =6,则大圆的面积 S1= R2=36,又阴影部分212 26的面积 S2= 122=2,所以所求概率 P= = .选 B.23611818.A 解析 由题意知 a+b+c+ =1,即 +b+2b2+ =1,即 18b
14、2+9b-2=0,得 b= (负值舍去),518 12 518 16故 c=2b2= ,所以 E(X)=-a+c+2 =- + + = ,选 A.118 51812 11810181919.30 解析 第一步考虑甲、乙,在三所学校中任选一所,有 3 种可能;第二步考虑丙,该教师只能在剩下的两所学校中任选一所,有 2 种可能;第三步考虑丁、戊,此时又有两类,一类是两人都到除甲、乙、丙去的学校之外的那所学校,有 1 种可能,另一类是其中一人到剩下的那所学校,另一人到另外的两所学校中的一所,有 4 种可能 .故所有选派方案共有32(1+4)=30(种) .20.108 解析 若选粉色系列,则有 种选
15、法;若选黄色系列,则有 种选法 .故佳241323 231324佳可定制的混合花束一共有 + =54+54=108(种) .24132323132421.115 解析 由题意可得,满足条件的取法有 + + =115(种) .26241634064422.60 解析 第一天有 种安排方法,第二天有 种安排方法,第三天有 种安排方法,所16 25 33以共有 =60(种)安排方法 .16253323.48 解析 根据题意,分 2 种情况讨论: 前排 2 幅,后排 3 幅,则前排的 2 幅必须是 A,B,考虑其顺序,有 =2(种)排法,剩下的 3 幅22放在后排,有 =6(种)排法,则此时有 26=12(种)不同的排法 ; 338 前排 3 幅,后排 2 幅,需要先在除 A,B 外的 3 幅中选出 1 幅,与 A,B 一起放在前排,有=18(种)排法,剩下的 2 幅放在后排,考虑其顺序,有 =2(种)排法,则此时有1333 22182=36(种)不同的排法 .综上,不同的排法共有 12+36=48(种) .24.15 解析 因为 m= =(x2+x) =6,所以 + m= + 6,其展开式的通项为|201 1 Tr+1= ,令 r-(6-r)=0,得 r=4,所以常数项为 =15.612-(6-) 12 46
