1、1第九单元 计数原理、概率、随机变量及其分布第 55 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理课前双击巩固基本形式 一般形式 区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 完成一件事有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有 m1种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2种不同的方法,在第 n 类方案中有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第 1 步有 m 种不同的方法,做第 2 步有 n 种不同的方法,那么完成这件事
2、共有 N= 种不同的方法 完成一件事需要 n 个步骤,做第 1 步有 m1种不同的方法,做第 2 步有 m2种不同的方法,做第 n 步有 mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N= 种不同的方法 分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法种数 .它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成题组一 常识题1.教材改编 已知集合 M= ,N=-4,5,6,-7,从两个集合中各取一个元素分别作为1,-2,3点的横、纵坐标,可得直角坐标系中第一
3、、二象限不同点的个数是 . 2.教材改编 6 名同学争夺 3 项冠军,获得冠军的可能性有 种 . 3.教材改编 由 0,1,2,3,5 组成无重复数字的五位数,其中偶数共有 个 . 4.教材改编 李芳有 4 件不同颜色的衬衣,3 件不同颜色的裙子,另有 2 套不同样式的连衣裙,现在需选择 1 套服装参加歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法有 种 . 题组二 常错题索引:分类、分步时出错或对概念的理解出错 .5.有 3 女 2 男共 5 名志愿者要全部分到 3 个社区去参加志愿服务,每个社区 1 到 2 人,甲、乙 2 名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为 . 26.在一
4、次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者 .三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有 种 .(用数字作答) 7.已知 a,b2,3,4,5,6,7,8,9,则 logab 的不同取值个数为 . 8.有 6 名学生,其中有 3 名只会唱歌,2 名只会跳舞,1 名既会唱歌又会跳舞 .现从中选出 2 名会唱歌的学生,1 名会跳舞的学生,去参加文艺演出,则所有不同的选法种数为 .课堂考点探究探究点一 分类加法计数原理1 (1)图书馆的书架有三层,第一层有 3 本不同的数学书 ,第二层有 5 本不同的语文书,第三层有 8 本不同的英语书
5、,现从中任取 1 本书,则不同的取法共有 ( )A.120 种 B.16 种C.64 种 D.39 种(2)如图 9-55-1,从甲地到乙地有 2 条路,从乙地到丁地有 3 条路,从甲地到丙地有 4 条路,从丙地到丁地有 2 条路,则从甲地到丁地不同的路有 ( )图 9-55-1A.11 条 B.14 条C.16 条 D.48 条总结反思 解答此类问题的关键是充分理解题意,理解分类计数原理:(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”;(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方
6、法,即步与步之间的方法“相互独立,分步完成” .式题 (1)2017辽宁重点高中期末 甲、乙、丙 3 人从 1 楼乘电梯去商场的 3 到 9 楼,每层楼最多下 2 人,则下电梯的方法有 ( )A.210 种 B.84 种3C.343 种 D.336 种(2)2017东北三省三校模拟 在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有 6 块广告牌,广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求相邻两块广告牌的底色不都为蓝色,则不同的配色方案共有( )A.20 种 B.21 种C.22 种 D.24 种探究点二 分步乘法计数原理2 (1)2017淮北一中检测 甲与其四位同事各有一辆私家车 ,车牌尾数分别是0,0,2,1
7、,5,为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案的种数为 ( )A.5 B.24C.32 D.64(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏 3 种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有 种 . 总结反思 利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);(2)对完成每一步的不同方法
8、种数要根据条件准确确定 .式题 (1)2017杭州萧山一中月考 有六种不同颜色 ,给如图 9-55-2 所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有 ( )A.4320 种 B.2880 种C.1440 种 D.720 种图 9-55-2(2)某学校高三年级有 2 个文科班,3 个理科班,现每个班指定 1 人对各班的卫生进行检查,若每班只安排 1 人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是 ( )A.24 B.32C.48 D.84探究点三 两个计数原理的综合43 (1)张、王两家夫妇各带 1 个小孩一起到动物园游玩 ,购票后排队依次入
9、园,为安全起见,首尾一定要排 2 位大人,另外,2 个小孩一定要排在一起,则这 6 人的入园顺序排法种数为( )A.144 B.124C.72 D.36(2)如图 9-55-3,一个地区分为五个行政区域,现给该地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有 种 .(用数字作答) 图 9-55-3总结反思 (1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,但也有几种常用方法: 按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,适用于区域、点、线段等问题,用分类加法计数原理分析; 将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题 .(2)分类
10、加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类;分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成 .若综合利用两个计数原理,一般先分类再分步 .式题 (1)若自然数 n 作竖式加法 n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象 ,则称 n 为“开心数” .例如,32 是“开心数”,因为 32+33+34 不产生进位现象;23 不是“开心数”,因为 23+24+25 产生进位现象 .那么,小于 100 的“开心数”的个数为 ( )A.9 B.10C.11 D.12(2)“五一”黄金周将至,小明一家五口决定外出游玩,购买的车票分布如图 9-55-4.图 9-55-
11、4若爷爷喜欢走动,需要坐靠近走廊的位置,妈妈需要照顾妹妹,两人必须坐在一起,则座位的安排方式一共有 种 . 第 56 讲 排列与组合课前双击巩固1.排列与组合的概念5名称 定义 区别排列 按照 排成一列 组合从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素 合成一组排列有序,组合无序2.排列数与组合数名称 定义 计算公式 性质 联系排列数从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有 的个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 .用符号“ ”表示 = = !(-)!(n,mN *,且 m n)(1) =n!;(2)0!=1组合数从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有 的
12、个数,叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 .用符号“ ”表示 = = (n,mN *!(-)!,且 m n) (1) = =1;0(2) = ;-(3) = +1-1=!题组一 常识题1.教材改编 世界华商大会的某分会场有 A,B,C 三个展台,将甲、乙、丙、丁 4 名“双语”志愿者选派 3 名分别到这三个不同的展台担任翻译工作,则不同的选派方法有 种 . 62.教材改编 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则不同的选法共有 种 . 3.教材改编 某数学教研组准备从甲、乙等 7 名教师中选派 4 名教师发言,如果要求甲、乙两人至少有一人发言,那么不同的选派方法有 种 . 题
13、组二 常错题索引:分类讨论中分类标准不清楚导致重复计数;不能灵活使用间接法 . 4.从 6 台原装计算机和 5 台组装计算机中任意选取 5 台,其中至少有原装计算机和组装计算机各 2 台,则不同的取法有 种 . 5.有大小和形状完全相同的 3 个红色小球和 5 个白色小球,将它们排成一排,共有 种不同的排列方法 . 6.现有 6 个人排成一排照相,其中甲、乙、丙 3 人不同时相邻的排法有 种 . 课堂考点探究探究点一 排列问题1 (1)2017江西重点中学盟校联考 将 A,B,C,D,E 这 5 名同学从左至右排成一排,则 A与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名同学的排法有 ( )
14、A.18 种 B.20 种C.21 种 D.22 种(2) 四位男演员与五位女演员排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法种数为 ( )A. -2 B. -5546 4445 55464445C. -2 D. -5545 4444 55454444总结反思 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法 .在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法 .(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法 .式题 (1)5 名学生进行知识竞赛 .笔试结束
15、后,甲、乙两名参赛者去询问成绩 ,回答者对甲说:“你们 5 人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这 5 人的笔试名次的所有可能的种数是 ( )A.54 B.72C.78 D.967(2)现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人,每人 1 张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为 ( )A.12 B.24C.36 D.48探究点二 组合问题2 (1)2017辽宁实验中学模拟 篮球比赛中每支球队的出场阵容由 5 名队员组成,2017年的 NBA 篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有 8 名队员有机会出
16、场,这 8 名队员中包含 2 名中锋,2 名控球后卫 .若要求每一套出场阵容中有且仅有 1名中锋,至少包含 1 名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练出场阵容的选择方案共有 ( )A.16 种 B.28 种C.84 种 D.96 种(2)现有 12 张不同颜色的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 3 张,现从中任取 3 张,要求 3 张卡片不能全是同种颜色,且蓝色卡片至多 1 张,则不同的取法种数是 ( )A.135 B.172C.189 D.162总结反思 解决组合问题中两类题型的方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先
17、将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取 .(2)对于“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型,若直接分类复杂,则间接求解 .式题 (1)2017银川二模 某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、外语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科,要求物理、化学、生物三科至少选一科,政治、历史、地理三科至少选一科,则可供考生选择的选考方法种数为( )A.6 B.12C.18 D.24(2)2017郴州质检 把 3 名男生 2 名女生共 5 名新生分配到甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于 2 名,且甲班至少分配 1 名女生,则不同的分配方案种数为 .(用数字作答) 探究点三 分
18、组分配问题考向 1 整体均分问题3 数学活动小组由 12 名同学组成,现将这 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题 ,且每组只研究一个课题,并要求每组选出 1 名组长,则不同的分配方案有 ( )8A. 种 B. 34种312393633 44 3123936C. 43种 D. 43种312393644 3123936总结反思 (1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列 .(2)对于分堆与分配问题应注意三点: 处理分配问题要注意先分堆再分配; 被分配的元素是不同的; 分堆时要注意是否均匀 .考向 2 部分均分问题4 为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指
19、派 5 名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编,则每种题型至少指派 1 名教师的不同分派方法种数为( )A.150 B.180C.200 D.280总结反思 对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有 m组元素个数相等,则分组时应除以 m!.考向 3 不等分问题5 A,B,C,D,E,F 六人围坐在一张圆桌上开会, A 是会议的中心发言人 ,必须坐最北面的椅子,B,C 二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有 ( )A.24 种 B.30 种C.48 种 D.60 种总结反思 对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一
20、列举,然后再对每一种情形分类考虑 .在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题 . 强化演练1.【考向 1】2017汕头模拟 现有编号为 A,B,C,D 的四本书,将这四本书平均分给甲、乙两位同学,则 A,B 两本书不被同一位同学分到的概率为 ( )A. B.14 13C. D.23 122.【考向 2】6 位机关干部被选调到 4 个贫困自然村进行精准扶贫,要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作,且每个自然村至少有 1 位机关干部扶贫,则不同的分配方案有 种 . 93.【考向 3】将 7 名应届师范大学毕业生分配到 3 所中学任教,若 4 个人分到甲学校,2
21、 个人分到乙学校,1 个人分到丙学校,则有 种不同的分配方案 . 4.【考向 2】在“心连心”活动中,五名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排一名党员参加,且 A,B 两名党员必须在同一个村子的不同分配方法种数为 . 5.【考向 2】现有 5 名教师要带 3 个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多有 2 名,若其中教师甲和教师乙均不能单独带队,则不同的带队方案有 种 .(用数字作答) 第 57 讲 二项式定理课前双击巩固1.二项式定理二项式定理 (a+b)n= an+ an-1b+ an-rbr+ bn(nN *)0 1 二项展开式的通项Tr+1= an
22、-rbr,它表示第 项 二项式系数 二项展开式中各项的系数为 , ,01 2.二项式系数的性质(1)当 0 k n 时, 与 的关系是 . -(2)二项式系数先增后减中间项最大 .10当 n 为偶数时,第 +1 项的二项式系数最大,最大值为 ;当 n 为奇数时,第 项和第2 2 +12项的二项式系数最大,最大值为 或 .+32 -12 +12(3)各二项式系数和: + + + = , + + += + + += . 012 024 135题组一 常识题1.教材改编 已知( x-3y)n的展开式中,第 5 项的二项式系数与第 12 项的二项式系数相等,则展开式共有 项 . 2.教材改编 二项式
23、x+ 12的展开式中常数项是第 项 . 23.教材改编 在二项式 x- 8的展开式中,含 x5项的系数是 .(用数字作答) 14.教材改编 若 x 1- 4=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则 a1+a3+a5= . 32题组二 常错题索引:二项展开式的通项记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和致误 .5.(1-2x)7的展开式中第 4 项的系数是 . 6.在二项式 x2- n的展开式中,所有二项式系数的和是 32,则展开式中各项系数的和为 2. 7.已知(1 +x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+a10(1-x)10,则 a8= . 8.2017惠州模拟
24、( x+1)5(x-2)的展开式中 x2的系数为 . 课堂考点探究探究点一 求展开式中的特定项或特定系数1 (1)(1-2x)5的展开式中 x3的系数为 ( )A.-80 B.80C.10 D.-10(2)二项式 x- 6的展开式中常数项为 ( )111A.-15 B.15C.-20 D.20总结反思 本类题主要考查二项展开式的通项与系数,考查的核心是通项 Tr+1= an-rbr.求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件,即 n,r 均为非负整数,且 n r);第二步,根据所求的指数求解所求的项
25、.式题 (1)2017贵阳二模 若 x- 5的展开式中 x3的系数为 30,则实数 a= ( )A.-6 B.6C.-5 D.5(2)2017株洲一模 在 +2x 5的展开式中, x3的系数为 .(用数字作答) 14探究点二 二项式系数与各项的系数问题2 (1)在 x+ n的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为 64 1,则 x3的系数为( )3A.15 B.45C.135 D.405(2)2017唐山三模 若(1 -x)9=a0+a1x+a2x2+a9x9,则 |a1|+|a2|+|a3|+|a9|= ( )A.1 B.513C.512 D.511总结反思 (1)“赋值法”普遍应用于恒等
26、式,是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法 .对形如( ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1 即可 .(2)当 n 为偶数时,展开式中第 +1 项的二项式系数最大,最大值为 ;当 n 为奇数时,展开式2 2中第 项和第 项的二项式系数最大,最大值为 或 .+12 +32 -12 +12式题 (1)在( x-2)6的展开式中,二项式系数的最大值为 m,含 x5项的系数为 n,则 = ( )A. B.-53 5312C. D.-35 35(2)2017西宁一模 若 x2+ n的展开式中,二项式系数和为 64,所有项的系数和为 729,
27、则 a 的值为 . 探究点三 多项式展开式中的特定项考向 1 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题3 在(1 +x)+(1+x)2+(1+x)3+(1+x)11的展开式中, x2项的系数是 ( )A.55 B.66C.165 D.220总结反思 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并 .通常要用到方程或不等式的知识求解 .考向 2 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题4 在( -1)4(x-1)2的展开式中,含 x 项的系数为 ( )A.-4 B.-2C.2 D.4总结反思 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
28、:先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可 .考向 3 三项展开式中的特定项(系数)问题5 2017长沙三模 x2- +3 4的展开式中常数项是 . 1总结反思 三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:(1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解;(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形 .强化演练1.【考向 2】( a+x)(1-x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 a 的值为 ( )A.-3 B.
29、3C.-5 D.5132.【考向 1】已知(1 +x)+(1+x)2+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+anxn(nN *),若 a0+a1+an=62,则 logn25 等于 . 3.【考向 3】2017锦州质检 ( x2-x-2)3的展开式中含 x 项的系数为 . 4.【考向 2】在多项式(1 +2x)6(1+y)5的展开式中, xy3的系数为 . 5.【考向 2】在 x- (2x-1)6的展开式中, x3的系数是 .(用数字作答) 16.【考向 2】2017赣州二模 若(1 +y3) x- n(nN +)的展开式中存在常数项,则常数12项为 . 探究点四 二项式定理的简单应用考向 1
30、 利用二项式定理证明不等式6 设函数 f(x,y)=(1+my)x(m0,y0).已知正整数 n 与正实数 t,满足 f(n,1)=mnf n, .1求证: f 2017, 6f -2017, .11000 1总结反思 利用二项式定理证明不等式,常取展开式的部分项朝预定目标进行不等放缩,从而得证 .考向 2 有关整除问题7 若等差数列 an的首项为 a1= - (mN),公差是 - n的展开式中的11-252-211-3 522532常数项,其中 n 为 7777-15 除以 19 的余数,求通项公式 an.总结反思 用二项式定理处理整除问题,通常把被除数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某
31、数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围, a=cr+b,其中余数 b0, r),r 是除数,切记余数不能为负;二是二项式定理的逆用 .14强化演练1.【考向 2】8 83+6 被 49 除所得的余数是 ( )A.-14 B.0C.14 D.352.【考向 2】若 n 是正整数,则 7n+7n-1 +7n-2 +7 除以 9 的余数是 . 1 2 -13.【考向 1】利用二项式定理证明: b 且 cb时称为“凹数” .若 a,b,c4,5,6,7,8,且 a,b,c 互不相同,任取一个三位数 abc,则它为“凹数”的概率是 ( ) A. B.23 25C. D.16
32、13探究点四 古典概型的交汇命题考向 1 古典概型与平面向量相结合4 设平面向量 a=(m,-1),b=(2,n),其中 m,n -2,-1,1,2.(1)记“使得 a b 成立的( m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率;20(2)记“使得 a( a-2b)成立的( m,n)”为事件 B,求事件 B 发生的概率 .总结反思 古典概型与平面向量交汇问题的处理方法:(1)根据平面向量的知识进行坐标运算,得出事件满足的约束条件;(2)根据约束条件(等式或不等式)列举出所有符合条件的结果;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率 .考向 2 古典概型与直线、圆相结合5 已知实数 a,b -2,
33、-1,1,2.(1)求直线 y=ax+b 不经过第四象限的概率;(2)求直线 y=ax+b 与圆 x2+y2=1 有公共点的概率 .总结反思 古典概型与直线、圆相结合问题的处理方法:(1)根据平面几何中直线与圆的相关知识,求出事件满足的约束条件;(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合条件的结果;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率 .考向 3 古典概型与函数结合6 已知关于 x 的二次函数 f =ax2-bx+1,设集合 P= ,Q= ,分别从集合 P() 1,2,3 -1,1,2,3,4和 Q 中随机取一个数 a 和 b 得到数对 .(,)(1)列举出所有的数对 ,并求函数 y=
34、f 有零点的概率 ;(,) ()(2)求函数 y=f 在区间 上是增函数的概率 .() 1,+)总结反思 古典概型与函数交汇问题的处理方法:21(1)根据函数的相关性质,确定相关系数应满足的条件;(2)根据系数满足的条件进行分类考虑,求出所有符合条件的基本事件个数;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率 .强化演练1.【考向 3】2017黄山二模 已知函数 f(x)= ax2+bx+1,其中 a2,4, b1,3,则12f(x)在( - ,-1上是减函数的概率为 ( )A. B. C. D.012 34 162.【考向 2】以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标( m,
35、n),则点 P 在直线 x+y=7 上的概率为 . 3.【考向 1】2017赣州二模 连掷两次骰子得到的点数分别为 m 和 n,记向量 a=(m,n)与向量 b=(1,-1)的夹角为 ,则 为锐角的概率是 . 4.【考向 3】设集合 P=1,2,3,Q=-1,1,2,3,4,分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a和 b 组成数对( a,b),并构成函数 f(x)=ax2-4bx+1.(1)写出所有可能的数对( a,b),并计算 a2 且 b3 的概率;(2)求函数 f(x)在区间1, + )上是增函数的概率 .第 59 讲 几何概型课前双击巩固1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成
36、该事件区域的 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型 . 2.几何概型的概率公式22P(A)= . 题组一 常识题1.教材改编 如图 9-59-1,A,B,C,D,E,F 是圆 O 的六个等分点,则转盘指针不落在阴影部分的概率为 . 图 9-59-12.教材改编 已知一个路口的信号灯,绿灯亮 40 秒后,黄灯亮若干秒,然后红灯亮 30 秒,如果一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为 ,那么黄灯亮的时间为 秒 . 253.教材改编 一位同学家里订了一份报纸,送报人每天都在早上 5:206:40 之间将报纸送到,该同学的爸爸需要在早上 6:007:00 之间出发去上班,则这位同学的爸
37、爸在离开家前能拿到报纸的概率是 . 题组二 常错题索引:选用的几何测度不准确导致出错 .4.设 x 是一个锐角,则 sin x 的概率为 . 125.如图 9-59-2,A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点 A,连接 AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长的概率为 . 图 9-59-26.在矩形 ABCD 中, AB=2,AD=3,如果在该矩形内随机找一点 P,那么使得 ABP 与 CDP 的面积都不小于 1 的概率为 . 7.已知函数 f(x)=log2x,x1,8,则不等式 1 f(x)2 成立的概率是 . 课堂考点探究探究点一 随机模拟方法231 2016全国卷 从区间0,1
38、随机抽取 2n 个数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成 n 个数对( x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 ( )A. B.4 2C. D.4 2总结反思 对于应用几何概型模拟求解面积的问题,先构造出随机事件 A 对应的几何图形,再利用概率等于面积的比值构建方程求解 .式题 已知正六边形 ABCDEF 内接于圆 O,连接 AD,BE,现在往圆 O 内投掷 2000 粒小米,则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大约是 参考数据: 1 .82, 0 .55 ( )3 3A.550 B.600C
39、.650 D.700图 9-59-3探究点二 与长度角度有关的几何概型2 在区间 -1,1上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 x2+y2=1 有两个交点的概率为( )A. B.12 13C. D.23 24总结反思 求与长度(角度)有关的几何概型概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同 .解题的关键是构建事件的区域(长度、角度) .式题 (1)事件“在正方形 ABCD 的边 CD 上随机选取一点 P,使 ABP 为三角形 APB 中最大的角”发生的概率为 ( )A. B.12 1424C. D.13 23(2)2017
40、宁德质检 若在区间0,e内随机取一个数 x,则代表数 x 的点到区间两端点的距离均不小于 的概率为 ( )3A. B.14 12C. D.13 15探究点三 与体积有关的几何概型3 有一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心 ,在这个圆柱内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 . 总结反思 对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算总体积(总空间)以及事件的体积(空间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求解 .式题 在棱长为 3 的正方体 ABCD - A1B1C1D1内随机取一点 P,则点 P 到正方体各顶点的距离都大于 1 的概率为
41、 . 探究点四 与面积有关的几何概型考向 1 与三角形矩形圆等平面图形面积有关的问题4 2017锦州质检 三国时代吴国数学家赵爽所注 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明 .下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股之弦为边的正方形,其面积称为弦实 .图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用 2勾 股 +(股 -勾) 2=4朱实 +黄实 =弦实,化简得勾 2+股 2=弦 2.设勾股形中勾、股之比为 1 ,若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图3钉颗数大约为 ( )A.134 B.866C.300 D.500图
42、9-59-4总结反思 求与面积有关的几何概型概率的方法:(1)确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;25(2)分别求出 和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解 .考向 2 与线性规划交汇命题的问题5 设点( a,b)在不等式组 表示的平面区域内,则函数 f(x)=ax2-2bx+3 在区间+-40,0,0 ,+ 上是增函数的概率为 ( ) 12A. B.13 23C. D.12 14总结反思 与线性规划交汇问题的处理方法:(1)根据线性规划的知识求出可行域,确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;(2)分别求出 和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解
43、.考向 3 与定积分计算交汇命题的问题6 如图 9-59-5,图 9-59-5在边长为 2 的正方形 ABCD 中, M 是 AB 的中点,过 C,M,D 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆,落在阴影部分的概率是 ( )A. B.16 13C. D.12 23总结反思 求解与定积分计算交汇的几何概型问题的关键是:利用积分公式求解事件对应的区域面积,注意一定要计算准确 .强化演练1.【考向 1】2017长沙二模 在如图 9-59-6 所示的锐角三角形空地中,有一内接矩形花园(阴影部分),其一边长为 x(单位:m) .将一颗豆子随机地扔到该空地内,用 A 表示事件“豆子落在
44、矩形花园内”,则 P(A)的最大值为 ( )26A. B.14 512C. D.12 34图 9-59-62.【考向 1】在矩形 ABCD 中, AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在矩形 ABCD 内随机取一点,则取到的点到点 O 的距离大于 1 的概率为 ( )A. B.1-8 8C. D.1-4 43.【考向 2】已知 = (x,y)|x+y6, x0, y0, = (x,y)|x4, y0, x-2y0,若向区域 内随机投一点 P,则点 P 落入区域 内的概率是 ( )A. B.13 23C. D.19 294.【考向 3】2017成都三诊 已知 A=(x,y)|x2+y2 2,
45、B 是曲线 y=sin x 与 x 轴围成的封闭区域 .若向区域 A 内随机投入一点 M,则点 M 落入区域 B 内的概率为 ( )A. B.2 4C. D.23435.【考向 1】在区间0,2内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间0,2内的概率为( ) A. B.22 4C. D.12 827第 60 讲 离散型随机变量及其分布列课前双击巩固1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 ,常用字母 X,Y, , ,表示 .所有取值可以一一列出的随机变量,称为 . 2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,xi,xn,X 取每一个值xi(i=1,2,n)的概率 P(X=xi)=pi,则以表格的形式表示如下:X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn将上表称为离散型随机变量 X 的 ,简称为 X 的 ,有时为了表达简单,也用等式 表示 X 的分布列 . (2)离散型随机变量的分布列的性质: ; . 3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量 X 服从两点分布,即其分布列为X 0 1P p其中 p= 称为成功概率 . (2)超几何分布:28在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件 X=k发生的概率P(X=k)= ,k=0,1,2,m,即
