1、1第三单元 三角函数、解三角形第 16 讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数课前双击巩固1.角的概念的推广(1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 . (2)分类:按旋转方向分为 、 和零角;按终边位置分为 和轴线角 . (3)终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,构成的角的集合是 S= . 2.弧度制的定义和公式(1)定义:把长度等于 的弧所对的圆心角叫作 1 弧度的角 .弧度记作 rad. (2)公式:角 的弧度数的绝对值 |= (弧长用 l 表示)角度与弧度的换算 1= rad, 1 rad= 180 180弧长公式 弧长 l= 扇
2、形面积公式 S= lr= |r 212 123.任意角的三角函数(1)定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 sin = ,cos = ,tan = (x0) . (2)几何表示(单位圆中的三角函数线):图 3-16-1 中的有向线段 OM,MP,AT 分别称为角 的 、 和 . 2图 3-16-1常用结论象限角与轴线角(1)象限角(2)轴线角题组一 常识题1.教材改编 终边在射线 y=- x(x0 且 a1)的图像过定点 P,且角 的终边过点 P,则 sin + cos 的值为 ( )A. B.75 65C. D. 55 35 5(2)2017北京卷 在平面直角坐标
3、系 xOy 中,角 与角 均以 Ox 为始边,它们的终边关于 y 轴对称 .若 sin = ,则 sin = . 13总结反思 三角函数定义主要应用于两方面:(1)已知角的终边上一点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离,然后用三角函数定义求解三角函数值 .特别地,若角 的终边落在某条直线上,一般要分类讨论 .(2)已知角 的某个三角函数值,可依据三角函数值设出角 终边上某一符合条件的点的坐标来解决相关问题 .考向 2 三角函数值的符号判定4 (1)使 lg(sin cos )+ 有意义的 为 ( )-cosA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角(2)若角 的终边落
4、在直线 y=-x 上,则 + = . sin|cos| |sin|cos总结反思 要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号 .如果角不能确定所在象限,那就要进行分类讨论求解 .考向 3 三角函数线的应用55 函数 f(x)= +ln sin x- 的定义域为 . 1-2cos22总结反思 利用三角函数线解三角不等式,通常采用数形结合的方法,一般来说 sin x b,cos x a,只需作直线 y=b,x=a 与单位圆相交,连接原点与交点即得角的终边所在的位置,此时再根据方向即可确定相应的 x 的范围 .强化演练1.【考向 1
5、】点 P 从点 ,- 出发,沿单位圆按逆时针方向运动 后到达 Q 点,若 的22 22 34始边在 x 轴的正方向上,终边在射线 OQ 上,则 sin = ( )A.1 B.-1 C. D.-22 222.【考向 2】已知角 的终边在第一象限,点 P(1-2a,2+3a)是其终边上的一点,若 cos sin ,则实数 a 的取值范围是 . 3.【考向 3】满足 cos - 的角 的集合为 . 12第 17 讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式课前双击巩固1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系: . (2)商数关系: . 2.诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六角+ 2k(kZ)
6、+ - - -2+2正弦sin sin cos cos 余弦cos cos sin 6正切tan -tan 口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限记忆规律奇变偶不变,符号看象限常用结论1.sin(k + )=(-1)ksin .2.在 ABC 中:(1)sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan(A+B)=-tan C; (2)sin =cos ,cos =sin .+2 2 +2 2题组一 常识题1.教材改编 已知 cos = ,且 是第四象限角,则 sin 的值为 . 12132.教材改编 已知 =-5,那么 tan 的值为 . sin-2cos3sin
7、+5cos3.教材改编 已知 sin = ,则 cos = . 33 (32+)4.教材改编 求值:sin( -1200)cos 1290= . 题组二 常错题索引:平方关系没有考虑角的象限导致出错;扩大角的范围导致出错;不会运用消元的思想;k 形式没有把 k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错 .5.已知 ABC 中, =- ,则 cos A 等于 . cossin 1256.已知 cos + =- ,且 是第四象限角,则 cos(-3 + )= . 32 357.已知 =5,则 sin2- sin cos = . sin+3cos3cos-sin8.已知 A= + (kZ),则 A 的值构成
8、的集合是 . sin(+)sin cos(+)cos7课堂考点探究探究点一 三角函数的诱导公式1 (1)已知 f( )= ,则 f = ( )sin(2-)cos(2+)cos(-2+)tan(+) (3)A. B.12 22C. D.-32 12(2)2017邢台一中月考 已知 cos(75+ )= ,则 sin(- 15)+cos(105- )的值是13( )A. B.13 23C.- D.-13 23总结反思 (1)已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值求解 .转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用 .(2)对给定的式子进行化简或求值时,
9、要注意给定的角之间存在的特定关系,充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化 .特别要注意每一个角所在的象限,防止符号及三角函数名出错 .式题 (1)2017龙岩六校联考 sin 300+tan 600的值是 ( )A.- B.32 32C.- + D. +12 3 12 3(2)若 sin - = ,则 cos + = . 4 13 4探究点二 同角三角函数的基本关系考向 1 切弦互化82 (1)2017亳州三模 已知 x , ,tan x=- ,则 cos -x- 等于 ( )2 43 2A. B.-35 35C.- D.45 45(2)2017江西重点中学一联 设 00)的最大值是 3,
10、则它的最小值是 . 3.教材改编 函数 y=2cos x 在 -,0上是 函数,在0,上是 函数 . 4.教材改编 函数 f(x)的定义域为0,1,则 f(cos x)的定义域为 . 题组二 常错题索引:忽视 y=Asin x(或 y=Acos x)中 A 对函数单调性的影响;忽视函数的定义域;忽视正、余弦函数的有界性;忽视限制条件 .5.函数 y=1-2cos x 的单调递减区间是 . 6.函数 y=cos xtan x 的值域是 . 7.函数 y=-cos2x+3cos x-1 的最大值为 . 8.设 sin x+sin y= ,则 M=sin x+sin2y-1 的最大值与最小值分别为
11、. 13课堂考点探究探究点一 三角函数的定义域1 (1)函数 f(x)= +tan x+ 的定义域是 . 1+12 4(2)函数 y=lg(sin x)+ 的定义域为 . cos-1211总结反思 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式(组), 借助三角函数线或三角函数图像来求解 .式题 (1)函数 y= 的定义域为 . sin-cos(2)函数 f(x)=-2tan 2x+ 的定义域是 . 6探究点二 三角函数的值域或最值2 (1)函数 y=2sin - (0 x9)的最大值与最小值之和为 ( )6 3A.2- B.03C.-1 D.-1- 3(2)函数 y=cos 2x+2cos x
12、 的值域是 ( )A.-1,3 B.-32,3C. D.-32,-1 32,3总结反思 常见三角函数值域(最值)问题的求解方法: 形如 y=asin x+bcos x+c 的三角函数,化为 y=Asin(x+ )+k 的形式,再求最值(值域); 形如 y=asin2x+bsin x+c 的三角函数,可设 t=sin x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值); 形如 y=asin xcos x+b(sin xcos x)+c 的三角函数,可设 t=sin xcos x,化为关于 t的二次函数求值域(最值) . 式题 (1)函数 y=|sin x|+sin x 的值域为 ( )A.-1,1 B.
13、-2,2C.-2,0 D.0,2(2)函数 y=cos x-sin x+4sin xcos x 的最大值是 . 探究点三 三角函数的性质考向 1 三角函数的周期性3 (1)2017淮北一中期中 函数 f(x)=sin 3x+ 的最小正周期是 . 4(2)下列函数中,周期为 的偶函数为 ( )212A.y=sin 4x B.y=cos 2xC.y=tan 2x D.y=sin -4x2总结反思 对于函数 y=Asin( x+ )+k 或 y=Acos( x+ )+k,其最小正周期 T= .2考向 2 三角函数的对称性4 (1)函数 y=2sin 2x+ 的图像 ( )3A.关于原点对称 B.关于
14、点 - ,0 对称6C.关于 y 轴对称 D.关于直线 x= 对称6(2)2017潍坊三模 若直线 x= 和 x= 是函数 y=cos(x+ )( 0)图像的两条相54 94邻对称轴,则 的一个可能取值为 ( )A. B.34 2C. D.3 4总结反思 (1)对于函数 y=Asin(x+ ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断 x=x0或点( x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断 .(2)函数图像的对称性与周期 T 之间有如下结论: 若函数图像相邻两条对称轴分别为 x=a与 x=b,则周期 T=2|b-
15、a|; 若函数图像相邻两对称中心分别为( a,0),(b,0),则周期 T=2|b-a|; 若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为( a,0)与 x=b,则周期 T=4|b-a|.考向 3 三角函数的单调性5 (1)2017衡阳八中期中 在下列给出的函数中,以 为周期且在 0, 上是减函数2的是( )A.y=cos B.y=cos(-2x)2C.y=sin D.y=tan(2+4) (-4)13(2)已知 0,函数 f(x)=cos x- 在 , 上单调递减,则 的取值范围是 ( )4 2A. B.12,54 12,34C. D.(0,2(0,12总结反思 (1)形如 y=Asin(x+ )的
16、函数的单调性问题,一般是将 x+ 看成一个整体,再结合图像利用 y=sin x 的单调性求解;(2)如果函数中自变量的系数为负值,要根据诱导公式把自变量系数化为正值,再确定其单调性 .强化演练1.【考向 2】2017三明质检 已知函数 f(x)=sin(x+ )- cos(x+ ) |0, 0),x0, + )AT=f= =12.用五点法画 y=Asin(x+ )一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:x x+ y=Asin(x+ ) 0 A 0 -A 03.函数 y=sin x 的图像经变换得到 y=Asin(x+ )的图像的步骤15图 3-19-1题组一 常识题1.教材改编 函数
17、y=sin x 的图像上所有点的横坐标不变, 纵坐标伸长为原来的 2 倍得到的图像对应的函数解析式是 . 2.教材改编 某函数的图像向右平移 个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是2y=sin ,则原函数的解析式是 . (+4)3.教材改编 若函数 f(x)=sin x (0 0,若函数 f(x)=sin cos 在区间 上单调递增,则 的取值范围是 2 2 -3,3. 7.若 f(x)=2sin(x+ )+m 对任意实数 t 都有 f =f ,且 f =-3,则实数 m= (8+) (8-) (8). 168.已知函数 f(x)=sin(x+ ) 0,| 0)个单|位长度 .特别提醒:平移
18、变换和伸缩变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 x 加减多少值 .17式题 (1)2017雅安三诊 把函数 y=sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向右平移 个单位长度,所得图像的函数解析式为 ( )6A.y=sin B.y=sin(2-3) (2-6)C.y=sin D.y=sin(2-3) (2-6)(2)为了得到函数 y=sin 3x+cos 3x 的图像,可以将函数 y= cos 3x 的图像 ( )2A.向右平移 个单位长度12B.向右平移 个单位长度4C.向左平移 个单位长度12D.向左平移 个单位长度4探究点二 函
19、数 y=Asin(x+ )的图像与解析式2 (1)2017马鞍山三模 已知函数 y=Asin(x+ )(A0, 0,- 0,|0, 0)的解析式主要从以下三个方面考虑:18(1)根据最大值或最小值求出 A 的值 .(2)根据周期求出 的值 .(3)根据函数图像上的某一特殊点求出 的值 .式题 已知函数 f(x)=2sin(x+ )( 0,| 0,- 0,00, 0)的解析式的一般步骤 .(1)求 A,B.确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= ,B= .-2 +2(2)求 . 确定函数的周期 T,则 = .2(3)求 . 常用方法如下: 代入法:把图像上的一个已知点代入(此时要注意该点在
20、上升区间上还是在下降区间上)或把图像的最高点或最低点代入 . 五点法:确定 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口 .式题 2017长安一中质检 已知函数 f(x)=2sin(x+ ) 0,| cos ;当角 的终边在直线 y=x 的下方区域时,sin 0)图像的两条332相邻对称轴之间的距离为 .2(1)求函数 y=f(x)图像的对称轴方程;(2)若函数 y=f(x)- 在(0,)上的零点为 x1,x2,求 cos(x1-x2)的值 .13总结反思 (1)求三角函数解析式 y=Asin(x+ )(A0, 0)时要注意 的取值范围 .(2)根据二倍角公式进行计算时,如果涉及开方,则要注
21、意开方后三角函数值的符号 .式题 已知函数 f(x)=2sin x( cos x-sin x).3(1)求函数 f(x)在 - , 上的值域;63(2)在 ABC 中, f(C)=0,且 sin B=sin Asin C,求 tan A 的值 .第 22 讲 正弦定理和余弦定理课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理28定理 正弦定理 余弦定理公式 = = =2R(其中 R 是 ABC 的外接圆的半径) a2= , b2= , c2= 定理的变形a=2Rsin A,b= ,c= , abc= cos A= , cos B= , cos C= 2.在 ABC 中,已知 a,b 和 A 时,解的情况如下
22、:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a=bsin A bsin Ab解的个数 3.三角形面积公式(1)S= ah(h 表示边 a 上的高);12(2)S= bcsin A= acsin B= absin C;12 12 12(3)S= r(a+b+c)(r 为三角形的内切圆半径) .12常用结论1.三角形内角和定理:在 ABC 中, A+B+C=;变形: = - .+2 222.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;29(3)sin =cos ;(4)cos =sin .+2 2 +2 23.三角形中的射影定理在 ABC 中, a
23、=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一 常识题1.教材改编 在 ABC 中, B=45,C=60,c=2,则最短边的边长等于 . 2.教材改编 在 ABC 中,已知 a=5,b=2 ,C=30,则 c= . 33.教材改编 在 ABC 中,已知 a2-c2+b2=ab,则 C 等于 . 4.教材改编 在 ABC 中,已知 a=3 ,b=2 ,cos C= ,则 ABC 的面积为 . 2 313题组二 常错题索引:在 ABC 中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系 .5.在 ABC
24、 中,若 sin A=sin B,则 A,B 的关系为 ;若 sin Asin B,则 A,B 的关系为 . 6.在 ABC 中,若 A=60,a=4 ,b=4 ,则 B 等于 . 3 27.在 ABC 中, a=2,b=3,C=60,则 c= , ABC 的面积等于 . 8.在 ABC 中,角 A,B,C 满足 sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为 . 课堂考点探究探究点一 利用正弦余弦定理解三角形1 2017成都三诊 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 2c-a=2bcos A.(1)求角 B 的大小;(2)若 b=2 ,求 a+c 的最
25、大值 .330总结反思 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系;(3)涉及到最值问题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解 .式题 (1)2017合肥二模 在锐角 ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足( a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若 a= ,则 b2
26、+c2的取值范围是 ( )3A.(5,6 B.(3,5)C.(3,6 D.5,6(2)2017天津南开区三模 如图 3-22-1,在 ABC 中, D 是边 AC 上的点,且AB=AD,2AB= BD,BC=2BD,则 sin C 的值为 . 3图 3-22-1探究点二 利用正弦余弦定理判定三角形的形状2 2017襄阳五中一模 如图 3-22-2 所示,图 3-22-2在 ABC 中, D 是 BC 的中点,已知 BAD+ C=90,则 ABC 的形状是 . 总结反思 判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断 .式题 在 ABC 中,若 sin A=2cos Bsin C,则 ABC 的形状是 . 探究点三 与三角形面积有关的问题3 2017山西吕梁一模 已知锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角 A,B,C;(2)若 a= ,求三角形 ABC 的边长 b 的值及三角形 ABC 的面积 . 2
