1、1直线与平面平行的性质一、考点突破知识点 课标要求 题型 说明直线与平面平行的性质1. 掌握直线与平面平行的性质定理，并会应用解问题；2. 理解并掌握构造辅助面实现知识的相互转化。选择题填空题解答题直线与平面的性质定理其实质是把线面关系转化为线线关系。二、重难点提示重点：掌握线面平行的性质定理。难点：掌握平行之间的转化。考点：直线与平面平行的性质定理线面平行的性质定理文字如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行符号 a ， ,ba b图形作用 线面平行线线平行【随堂练习】已知 /a，点 A 是 另一侧的点，B、C、D ，线段 AB、AC、AD 交
2、于E、F、G，若 BD=4，CF=4，AF=5，则 EG 的长度为 。答案：因为 /a，平面 ABDEG则 EG，在 C中， 55,49FEFBC2同理 5,9FGAFCDCD所以 59EB20，故应填 9。思路分析：线面平行 线线平行 平行线段成比例定理 求值。技巧点拨：立体几何中求长度往往在平面图形中去求。例题 1 （利用直线与平面平行的性质定理证明立体几何问题）如图所示，已知 A、 B、 C、 D 四点不共面，且AB ， CD ， AC E， AD F， BD H， BC G。求证：四边形 EFHG 是平行四边形。思路分析：线面平行 线线平行 四边形是平行四边形。答案： AB ，平面 A
3、BC EG， EG AB。同理 FH AB， EG FH，又 CD ，平面 BCD GH。 GH CD。同理 EF CD。 GH EF。四边形 EFHG 是平行四边形。技巧点拨：在证明两直线平行时，常常使用直线和平面平行的性质定理来证明。同时构造辅助面完成定理的应用。例题 2 （利用直线与平面平行的性质定理证明线段关系）已知异面直线 AB、 CD 都平行于平面 ，且 AB、 CD 在 的两侧，若 AC、 BD 与 分别交于 M、 N 两点，求证： ABNCD。思路分析：构造辅助面 利用线面平行 线线平行 平面几何比例知识证得。答案：如图所示，连接 AD 交平面 于 Q，连接 MQ、 NQ。 M
4、Q、 NQ 分别是平面 ACD、平面 ABD 与 的交线。3 CD ， AB ， CD MQ， AB NQ。于是 AMQCD， BN， AMBCD。技巧点拨：本题利用构造辅助平面，利用直线和平面的性质定理把线面关系转到线线关系，然后利用平面几何知识证明。这种把立体几何问题转化为平面几何问题是立体几何中最常见的化归思想。注意构造辅助线或辅助面这一方法在立体中的应用。立体几何与函数的综合应用【满分训练】如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思路分析：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最
5、值。答案： AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、 EH。 AB FG， AB EH， FG EH，同理可证 EF GH，截面 EFGH 是平行四边形。设 AB a， CD b， FGH （ 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角） 。又设 FG x， GH y，则由平面几何知识可得 xCGaB， yb，两式相加得4xyab1，即 y ba（ a x） ， SEFGH FGGHsin x （ a x）sin sinx（ a x） 。 x0， a x0 且 x（ a x） a 为定值，当且仅当 x a x 时， ibx（ a x） sin4b，此时 x 2a， y b。即当截面 EFGH 的顶点 E、 F、 G、 H 为棱 AD、 AC、 BC、 BD 的中点时截面面积最大。技巧点拨：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决。
