1、1同步精选测试 等比数列的前 n项和(建议用时：45 分钟)基础测试一、选择题1.设 an是公比为 q的等比数列， Sn是它的前 n项和，若 Sn是等差数列，则 q等于( )A.1 B.0 C.1 或 0 D.1【解析】 因为 Sn Sn1 an，又 Sn是等差数列，所以 an为定值，即数列 an为常数列，所以 q 1.anan 1【答案】 A2.等比数列 an的前 n项和为 Sn，已知 S3 a210 a1， a59，则 a1( )A. v B. C. D.13 13 19 19【解析】 设公比为 q， S3 a210 a1， a59，Error! Error!解得 a1 ，故选 C.19【
2、答案】 C3.一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2倍，一共点 381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) 【导学号：18082099】A.190 B.191 C.192 D.193【解析】 设最下面一层灯的盏数为 a1，则公比 q ， n7，由 381，12a11 (12)71 12解得 a1192.【答案】 C4.设数列 1，(12)，(122 22 n1 )，的前 n项和为 Sn，则 Sn的值为( )A.2n B.2n nC.2n1 n D.2n1 n2【解析】 法一：特殊值法，由原数列知 S11， S24，在选项中，满足S11， S24 的只有答案 D.法二：看通项， an1
3、22 22 n1 2 n1.2 Sn n2 n1 n2.2 2n 12 1【答案】 D5.已知数列 an为等比数列， Sn是它的前 n项和，若 a2a32 a1，且 a4与 2a7的等差中项为 ，则 S5( )54A.35 B.33C.31 D.29【解析】 设数列 an的公比为 q， a2a3 a q3 a1a42 a1， a42.21又 a42 a7 a42 a4q324 q32 ，54 q .12 a1 16， S5 31.a4q3 a1 1 q51 q【答案】 C二、填空题6.已知等比数列 an的前 n项和 Sn x2n1，则 x_. 【导学号：18082100】【解析】 法一：由 S
4、n x2n1 得a1 S12 x1， a2 S2 S12 x， a3 S3 S24 x.因为 a1， a2， a3成等比，所以a a1a3，即(2 x)2(2 x1)4 x，解得 x0 或 1.又 a22 x0， x1.2法二：当 n1 时， a1 S12 x1，当 n2 时， an Sn Sn1 ( x2n1)( x2n1 1) x2n1 .因为 an是等比数列，所以 n1 时也适合 an x2n1 ，所以x202 x1， x1.【答案】 17.设数列 an是首项为 1，公比为2 的等比数列，则 a1| a2| a3| a4|_.【解析】 法一： a1| a2| a3| a4|1|1(2)|
5、1(2) 2|1(2) 3|15.法二：因为 a1| a2| a3| a4| a1| a2| a3| a4|，数列| an|是首项为 1，公比为 2的等比数列，故所求代数式的值为 15.1 241 2【答案】 158.在数列 an中， a12， an1 2 an， Sn为 an的前 n项和.若 Sn126，则n_.【解析】 a12， an1 2 an，3数列 an是首项为 2，公比为 2的等比数列，又 Sn126， 126， n6.2 1 2n1 2【答案】 6三、解答题9.等比数列 an的前 n项和为 Sn，已知 S1， S3， S2成等差数列.(1)求 an的公比 q；(2)若 a1 a3
6、3，求 Sn. 【导学号：18082101】【解】 (1)依题意有 a1( a1 a1q)2( a1 a1q a1q2)，由于 a10，故 2q2 q0.又 q0，从而 q .12(2)由已知可得 a1 a1 3，故 a14.(12)2 从而 Sn .41 ( 12)n 1 ( 12) 831 ( 12)n 10.已知数列 an和 bn满足 a12， b11， an1 2 an(nN )，b1 b2 b3 bn bn1 1( nN ).12 13 1n(1)求 an与 bn；(2)记数列 anbn的前 n项和为 Tn，求 Tn.【解】 (1)由 a12， an1 2 an，得 an2 n(nN
7、 ).由题意知：当 n1 时， b1 b21，故 b22.当 n2 时， b1 b2 b3 bn1 bn1，和原递推式作差得， bn bn1 bn.整12 13 1n 1 1n理得 ，所以 bn n(nN ).bn 1n 1 bnn(2)由(1)知 anbn n2n，因此 Tn222 232 3 n2n，2Tn2 222 332 4 n2n1 ，所以 Tn2 Tn22 22 32 n n2n1 .故 Tn( n1)2 n1 2( nN ).能力提升1.在等比数列 an中， a1 a2 an2 n1( nN )，则 a a a 等于( )21 2 2n4A.(2n1) 2 B. (2n1) 21
8、3C.4n1 D. (4n1)13【解析】 a1 a2 an2 n1，即 Sn2 n1，则 Sn1 2 n1 1( n2)，则an2 n2 n1 2 n1 (n2)，又 a11 也符合上式，所以 an2 n1 ， a 4 n1 ，所以数列 a 是2n 2n以 1为首项，4 为公比的等比数列，所以 a a a (4n1).21 2 2n1 1 4n1 4 13【答案】 D2.如图 231，作边长为 3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前 n个内切圆的面积和为( ) 【导学号：18082102】图 231A. B. a23 (1 14n) (1
9、14n)C.2 D.3 (114n) (1 14n)【解析】 根据条件，第一个内切圆的半径为 3 ，面积为 ，第二个内切圆36 32 34的半径为 ，面积为 ， ，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为 ，公比34 316 34为 ，故面积之和为 .1434 (1 14n)1 14 (1 14n)【答案】 B3.设等比数列 an的公比为 q，前 n项和为 Sn，若 Sn1 ， Sn， Sn2 成等差数列，则q_.【解析】 若 q1，则 Sn na1， Sn1 ( n1) a1， Sn2 ( n2) a1，显然2Sn Sn1 Sn2 ，不合题意，所以 q1.由题意，知 2Sn Sn1 Sn2
10、，即 2 .a1 1 qn1 q a1 1 qn 11 q a1 1 qn 21 q5因为 0，a11 q所以 22 qn2 qn1 qn2 .因为 qn0，所以 q2 q20，所以 q2.【答案】 24.设等差数列 an的公差为 d，前 n项和为 Sn，等比数列 bn的公比为 q.已知b1 a1， b22， q d， S10100.(1)求数列 an， bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cn ，求数列 cn的前 n项和 Tn.anbn【解】 (1)由题意有Error!即Error!解得Error! 或Error!故Error! 或Error!(2)由 d1，知 an2 n1， bn2 n1 ，故 cn ，2n 12n 1于是 Tn1 ， 32 522 723 924 2n 12n 1Tn . 12 12 322 523 724 2n 32n 1 2n 12n可得Tn2 3 ，12 12 122 12n 2 2n 12n 2n 32n故 Tn6 .2n 32n 1
