1、1同步精选测试 数列的递推公式(选学)(建议用时：45 分钟)基础测试一、选择题1.已知数列 an满足： a1 ， an1 (n1)，则 a4等于( )14 1an 1A. B. C. D.45 14 14 15【解析】 a21 5， a31 ， a41 .1a1 1a2 45 1a3 14【答案】 C2.数列 2,4,6,8,10，的递推公式是( )A.an an1 2( n2)B.an2 an1 (n2)C.a12， an an1 2( n2)D.a12， an2 an1 (n2)【解析】 由条件可发现， n2 时， an an1 2，即 an an1 2，又 a12，所以 C正确.【答案
2、】 C3.设 an3 n215 n18，则数列 an中的最大项的值是( )A. B. C.4 D.0163 133【解析】 an3 2 ，由二次函数性质得，当 n2 或 3 时， an最大，最(n156) 34大为 0.【答案】 D4.在数列 an中， a12， an1 anln ，则 an等于( ) (11n)【导学号：18082078】A.2ln n B.2( n1)ln nC.2 nln n D.1 nln n【解析】 由题意可知： an1 anln ， an1 anln( n1)ln n 1nn， an( an an1 )( an1 an2 )( a2 a1) a1ln nln( n1
3、)ln( n1)ln( n2)(ln 2ln 1)22ln n.2【答案】 A5.已知在数列 an中， a13， a26，且 an2 an1 an，则 a2 016( ) 【导学号：18082079】A.3 B.3 C.6 D.6【解析】 由题意知： a3 a2 a13， a4 a3 a23，a5 a4 a36， a6 a5 a43，a7 a6 a53， a8 a7 a66，a9 a8 a73， a10 a9 a83，故知 an是周期为 6 的数列， a2 016 a63.【答案】 B二、填空题6.数列 an中，若 an1 an n0，则 a2 016 a2 015_.【解析】 由已知得 a2
4、 016 a2 0152 0150， a2 016 a2 0152 015.【答案】 2 0157.数列 an满足 an4 an1 3，且 a10，则此数列的第 5 项是_.【解析】 因为 an4 an1 3，所以 a24033，a343315， a4415363， a54633255.【答案】 2558.在数列 an中，对任意 nN ，有 an1 .若 a11，则 a10_.an1 an【解析】 法一：由已知，得a2 ， a3 ， a4 ， a10 .a11 a1 11 1 12 a21 a2121 12 13 a31 a3131 13 14191 19 110法二：由 an1 ，得 1，a
5、n1 an 1an 1 1an所以 1， 1， 1， 1，所以 9.1a2 1a1 1a3 1a2 1a4 1a3 1a10 1a9 1a10 1a1又因为 a11，所以 10，1a10所以 a10 .1103【答案】 110三、解答题9.已知数列 an中， a11， an1 (nN )，求通项 an. 3anan 3【导学号：18082080】【解】 将 an1 两边同时取倒数得：3anan 3 ，1an 1 an 33an则 ，即 ，1an 1 1an 13 1an 1 1an 13 ， ， ，1a2 1a1 13 1a3 1a2 13 1an 1an 1 13把以上这( n1)个式子累加
6、，得 .1an 1a1 n 13 a11， an (nN ).3n 210.已知数列 an的通项公式 an( n2) ，试求数列 an的最大项. (67)n 【导学号：18082081】【解】 假设第 n 项 an为最大项，则Error!即Error!解得Error! 即 4 n5，所以 n4 或 5，故数列 an中 a4与 a5均为最大项，且 a4 a5 .6574能力提升1.已知数列 an对任意的 p， qN 满足 ap q ap aq，且 a26，那么 a10等于( )A.165 B.33C.30 D.21【解析】 由已知得 a2 a1 a12 a16， a13. a102 a52( a
7、2 a3)2 a22( a1 a2)4 a22 a14(6)2(3)30.【答案】 C2.已知数列 an满足 an1 Error!若 a1 ，则 a2 014的值为( )674A. B. C. D.67 57 37 17【解析】 由题意得， a1 ， a2 ， a3 ， a4 ，故数列 an是以 3 为周期的周期67 57 37 67数列，又 201467131， a2 014 a1 .67【答案】 A3.对于数列 an，若存在实数 M，对任意的 nN ，都有 an M，则称 M 为数列 an的一个下界，数列 an的最大下界称为下确界.已知数列 an的通项公式为 an ，按此定n 1n义，则数
8、列 an的下确界是_.【解析】 由题意， an 1 . 0，对任意 nN ，都有 an1，易知 1n 1n 1n 1n是数列 an的最大下界，故数列 an的下确界是 1.【答案】 14.已知数列 an，满足 a11， an an1 (n2)，求数列的通项公式. 1n n 1【导学号：18082082】【解】 法一：由 an an1 1n n 1 (n2)，1n 1 1n则 an1 an2 ，1n 2 1n 1a3 a2 ，12 13a2 a11 .12将上式相加得 an a11 (n2)，1n又 a11， an2 .a11 也适合，1n an2 (nN ).1n法二：由已知得 an an1 (n2)，1n 1 1n则 an( an an1 )( an1 an2 )( an2 an3 )( a2 a1)5 a1 1 12 (n2).1n 1 1n 1n 2 1n 1 1n 3 1n 2 12 1na11 也适合， an2 (nN ).1n
