1、11.1.2 余弦定理1.掌握余弦定理及其推论.(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用.(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状.(易错点)基础初探教材整理 1 余弦定理阅读教材 P6中间 1.1.2 余弦定理P 7第 15 行，完成下列问题.1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2 b2 c22 bccos_A， b2 a2 c22 accos_B，c2 a2 b22 abcos_C.2.应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题.(1)已知三边，求三角.(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.1.以下说法正确的有_.(填序号)在三
2、角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例.【解析】 错误.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解.正确.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形.正确.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确.正确.余弦定理可以看作勾股定理的推广.2【答案】 2.在 ABC 中，已知 a4， b6， C120，则边 c_.【解析】 根据余弦定理 c2 a2 b
3、22 abcos C1636246cos 12076， c2 .19【答案】 2 19教材整理 2 余弦定理的变形阅读教材 P7例 1 上面倒数第三自然段P 8，完成下列问题.1.余弦定理的变形：cos A ；b2 c2 a22bccos B ；a2 c2 b22accos C .a2 b2 c22ab2.利用余弦定理的变形判定角：在 ABC 中， c2 a2 b2C 为直角； c2a2 b2C 为钝角； c2csin 303 知本题有两解.312 332由正弦定理 sin C ，csin Bb 33123 32 C60或 120，当 C60时， A90，由勾股定理 a 6，b2 c2 32
4、33 2当 C120时， A30， ABC 为等腰三角形， a3.已知三角形的两边与一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以应用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边 也可以两次应用正弦定理求出第三边).再练一题1.在 ABC 中，边 a， b 的长是方程 x25 x20 的两个根， C60，求边 c. 【导学号：18082003】【解】 由题意： a b5， ab2.由余弦定理得c2 a2 b22 abcos C a2 b2 ab( a b)23 ab5 23219，4 c .19已
5、知三边解三角形在 ABC 中，已知 a7， b3， c5，求最大角和 sin C.【精彩点拨】 (1)如何判断哪个角是最大角？(2)求 sin C 能否应用余弦定理？【自主解答】 acb， A 为最大角，由余弦定理的推论，得：cos A ，b2 c2 a22bc 32 52 72235 12 A120，sin Asin 120 .32由正弦定理 ，得：asin A csin Csin C ，csin Aa 5327 5314最大角 A 为 120，sin C .53141.本题已知的是三条边，根据大边对大角，找到最大角是解题的关键.2.已知三边解三角形的方法：先用余弦定理求出一个角，再用正弦定
6、理或余弦定理求出另一角，最后用三角形的内角和定理求第三角.再练一题2.在 ABC 中， a2 c2 b2 ab，求角 C.【解】 c2 a2 b22 abcos C， a2 c2 b22 abcos C. ab2 abcos C.cos C ， C60.12探究共研型正、余弦定理的综合应用探究 1 在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，若 a2 b2 c2，则5sin2Asin 2Bsin 2C 成立吗？反之说法正确吗？为什么？【提示】 设 ABC 的外接圆半径为 R.由正弦定理的变形，将 a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C，代入 a2
7、b2 c2可得sin2Asin 2Bsin 2C.反之将 sin A ，sin B ，sin C 代入a2R b2R c2Rsin2Asin 2Bsin 2C 可得 a2 b2 c2.因此，这两种说法均正确.探究 2 在 ABC 中，若 c2 a2 b2，则 C 成立吗？反之若 C ，则 2 2c2 a2 b2成立吗？为什么？【提示】 因为 c2 a2 b2，所以 a2 b2 c20，由余弦定理的变形 cos C0，即 cos C0，所以 C ，反之若 C ，则 cos C0，即a2 b2 c22ab 2 20，所以 a2 b2 c20，即 c2 a2 b2.a2 b2 c22ab在 ABC
8、中，若( a ccos B)sin B( b ccos A)sin A，判断 ABC的形状.【精彩点拨】 【自主解答】 法一：( a ccos B)sin B( b ccos A)sin A，由正、余弦定理可得：b a，(a ca2 c2 b22ac ) (b cb2 c2 a22bc )整理得：( a2 b2 c2)b2( a2 b2 c2)a2，即( a2 b2)(a2 b2 c2)0， a2 b2 c20 或 a2 b2. a2 b2 c2或 a b.故 ABC 为直角三角形或等腰三角形.法二：根据正弦定理，原等式可化为：(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin C
9、cos A)sin A，即 sin Ccos Bsin Bsin Ccos Asin A.6sin C0，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2 Bsin 2 A.2 B2 A 或 2 B2 A，即 A B 或 A B . 2故 ABC 是等腰三角形或直角三角形.1.判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状.2.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的
10、关系，或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范围.再练一题3.在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.已知 . cos A 2cos Ccos B 2c ab【导学号：18082004】(1)求 的值；sin Csin A(2)若 cos B ， ABC 的周长为 5，求 b 的长.14【解】 (1)由正弦定理得 a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin C，(其中 R 为 ABC外接圆半径)所以 ，cos A 2cos Cco
11、s B 2c ab 2sin C sin Asin B所以 sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin Acos B，sin Acos Bsin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos B，所以 sin(A B)2sin( B C).又 A B C，所以 sin C2sin A，7所以 2.sin Csin A(2)由(1)知 2，由正弦定理得 2，sin Csin A ca sin Csin A即 c2 a.又因为 ABC 的周长为 5，所以 b53 a.由余弦定理得 b2 a2 c22 accos B，即(53 a)2 a2(2 a)24 a2 ，
12、14解得 a1， a5(舍去)，所以 b5312.1.已知 a， b， c 是 ABC 的三边长，若满足等式( a b c)(a b c) ab，则角 C的大小为( )A.60 B.90 C.120 D.150【解析】 由( a b c)(a b c) ab，得( a b)2 c2 ab， c2 a2 b2 ab a2 b22 abcos C，cos C ， C120.12【答案】 C2.在 ABC 中， a7， b4 ， c ，则 ABC 的最小角为( )3 13A. B. C. D. 3 6 4 12【解析】 由三角形边角关系可知，角 C 为 ABC 的最小角，则 cos C a2 b2
13、c22ab ，所以 C ，故选 B.72 43 2 13 22743 32 6【答案】 B3. 在 ABC 中，若 a2 bcos C，则 ABC 的形状为_.【解析】 法一： a2 bcos C2 b .a2 b2 c22ab a2 b2 c2a a2 a2 b2 c2，即 b2 c2， b c，8 ABC 为等腰三角形.法二： a2 bcos C，sin A2sin Bcos C，而 sinAsin( B C)sin Bcos Ccos Bsin C，cos Bsin Csin Bcos C，即 sin Bcos Ccos Bsin C0，sin( B C)0.又180 B C180， B
14、 C0，即 B C. ABC 为等腰三角形.【答案】 等腰三角形4.在 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 B C,2b a，则 cos 3A_.【解析】 由 B C,2b a，3可得 b c a，32所以 cos Ab2 c2 a22bc .34a2 34a2 a2232a32a 13【答案】 135.在 ABC 中，已知 a5， b3，角 C 的余弦值是方程 5x27 x60 的根，求第三边 c 的长. 【导学号：18082005】【解】 5 x27 x60 可化为(5 x3)( x2)0. x1 ， x22(舍去).35cos C .35根据余弦定理，c2 a2 b22 abcos C5 23 2253 16.35 c4，即第三边长为 4.
