1、高中物理奥赛经典 递推法第 1 页null共 18 页null 六、递推法 方法简介 递推法是解决物体null物体发生多次作用后的情况null 即null问题中null及相互联系的物体较多并且有规律时nullnull根据题null特点null用数学思想将null研null的问题null类null然后求出通式null null体方法是nullnull析某一次作用的情况null得出结论null 再根据多次作用的null复性和它们的共同点null把结论推广null然后结合数学知识求解null 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式null 塞题精析 例 1null质点以null速度 a
2、 从静null出发做直线运动null在某时刻 t nullnull速度null为 2a null在时刻 2t nullnull速度null为 3a null null在 nt 时刻nullnull速度null为 (n + 1) a null求null null 1null nt 时刻质点的速度null null 2null nt 时间内通过的总路程null 解 析 null根据递推法的思想null从特殊到一般找到规律null然后求解null null 1null物质在某时刻 t null的速度为 vt = at 2t null的速度为 v2t = vt + 2at 即 v2t = at + 2
3、at 3t null的速度为 v3t = v2t + 3at = at + 2at + 3at null nt null的速度为 vnt = v(nnull )t + nat = at + 2at + 3at + + nat = at (1 + 2 + 3 + + n) = at 12(n + 1)n =12n (n + 1)at null 2null同理null可推得 nt 内通过的总路程 s = 112n (n + 1)(2n + 1)at2 例 2null小球从高 h0 = 180m 处自nullnull落null着地后跳起又null落nullnullnull地面相碰一次null速度nu
4、ll小 1n null n = 2nullnull求小球从null落到停nullnull过的总时间为通过的总路程nullnull g null 10m/s2null 解 析 null 小球从 h0高处落地时null速率 v0 = 02gh = 60m/s 第一次跳起时和又落地时的速率 v1 = 0v2 第二次跳起时和又落地时的速率 v2 = 02v2 第 m 次跳起时和又落地时的速率 vm = 0mv2 null次跳起的高度依次为 h1 =21v2g =02hn null h2 =22v2g =04hn nullnull 高中物理奥赛经典 递推法第 2 页null共 18 页null 通过的总
5、路程 s = h0 + 2h1 + 2h2 + + 2hm + = h0 + 022hn (1 + 21n + 41n + + 2m 21n + ) = h0 + 022hn 1 = h022n 1n 1+ =53h0 = 300m null过的总时间为 t = t0 + t1 + t2 + + tm + = 0vg + 12vg + + m2vg + = 0vg 1 + 2 1n + + 2(1n )m + = 0vg n 1n 1+ = 03vg =18s 例 3null A null B null C null只猎犬站立的位置构成一个边长为 a 的nullnull角形nullnull只猎
6、犬追捕猎物的速度均为 v null A 犬想追捕 B 犬null B 犬想追捕 C 犬null C 犬想追捕 A 犬null为追捕到猎物null猎犬null断调整方向null速度方向始终nullnullnull住对方null它们同时起动nullnull多长时间可捕捉到猎物null 解 析 nullnull题意可知nullnull题意可知nullnull只猎犬都做等速率曲线运动null而且任一时刻null只猎犬的位置都null别在一个nullnull角形的null个顶点nullnull但nullnullnull角形的边长null断null小null如图 6里 1 null示nullnull以要想
7、求出捕捉的时间nullnull需用微元法将等速率曲线运动null成等速率直线运动null再用递推法求解null 设null时间 t 可捕捉猎物null再把 t null为 n 个微小时间间隔 t null在null一个 t 内null只猎犬的运动可视为直线运动nullnull隔 t nullnullnull角形的边长null别为 a1 null a2 null a3 null null an null显然null an 0 时null只猎犬相遇null a1 = anull AA1null BB1cos60 = anull 32vt a2 = a1null 32vt = anull 232vt
8、 a3 = a2null 32vt = anull 332vt an = anull n 32vt 因为 anull n 32vt = 0 null即 nt = t null以null t =2a3v nullnull题null可用对null法null在非惯性参考系中求解nullnull 例 4null 一列null站后的null载列车null车头null各节车厢的质null相等null均为 m null若一次直接起动null车头的牵引力能带动 30 节车厢null那么null利用倒退起动null该车头能起动多少节同样质高中物理奥赛经典 递推法第 3 页null共 18 页null null的
9、车厢null 解 析 null 若一次直接起动null车头的牵引力需克服摩擦力做nullnull使各节车厢动能都增nullnull若利用倒退起动nullnull车头的牵引力需克服摩擦力做的总nullnullnullnull但各节车厢起动的动能nullnull同null 原来null钩之间是张紧的null倒退后null钩间存在 s 的宽null距离null设火车的牵引力为 F nullnull有null 车头起动时null有null (Fnull mg) s =12m 21v 拉第一节车厢时null (m + m) 1v= mv1 故有null 21v =14 21v =12( Fm null
10、g) s (Fnull 2mg) s =122m 22v null 122m 21v 拉第二节车厢时null (m + 2m) 2v= 2mv2 故同样可得null 2v=49 22v =23( Fm null 53g) s 推理可得null 2nv = nn 1+ ( Fm null 2n 13+ g) s null 2nv null 0 可得null Fnull 2n 13+ mg 另null题意知 F = 31mg null得null nnull 46 因null该车头倒退起动时null能起动 45 节相同质null的车厢null 例 5 有 n 块质null均为 m null厚度为 d
11、 的相同砖块null平放在水平地面nullnullnull将它们一块一块地叠放起来null如图 6里 2 null示null人至少做多少nullnull 解 析 将平放在水平地面null的砖一块一块地叠放起来nullnull次克服null力做的nullnull同null因null需一次一次地计算递推出通式计算null 将第 2 块砖平放在第一块砖null人至少需克服null力做null为 W2 = mgd 将第 3 null 4 null null n 块砖依次叠放起来null人克服null力至少null需做的nullnull别为null W3 = mg2d W4 = mg3d W5 = mg
12、4d Wn = mg (nnull 1)d null以将 n 块砖叠放起来null至少做的总null为 W = W1 + W2 + W3 + + Wn = mgd + mg2d + mg3d + + mg (nnull 1)d 高中物理奥赛经典 递推法第 4 页null共 18 页null n(n 1)2 mgd 例 6null如图 6里 3 null示null有null个完全相同的长条薄片AiBinull i = 2 null 4 nullnull依次架在水平碗口nullnull一端搁在碗口null另一端架在另一薄片的null中位置nullnull计薄片的质nullnullnull 将质nu
13、ll为 m 的质点置于 A1A6 的中点处null试求nullA1B1薄片对 A6B6的压力null 解 析 nullnull题共有null个物体null通过null察会发nullnull A1B1 nullA2B2 nullnull A5B5的null力情况完全相同null因null将 A1B1 nullA2B2 null A5B5 作为一类null对null中一个null行null力null析null找出规律null求出通式即可求解null 以第 i 个薄片 AB 为研null对象nullnull力情况如图 6里 3nullnull示null第 i 个薄片null到前一个薄片向null的支
14、null力 Ni null碗边向null的支null力和后一个薄片向null的压力 Ni+1null 选碗边 B 点为轴null根据力矩平衡有null NiL = Ni+1 L2 null得null Ni =12Ni+1 null以null N1 =12N2 =12 12N3 = = (12)5N6 null 再以 A6B6为研null对象nullnull力情况如图 6里 3 乙null示null A6B6null到薄片 A5B5向null的支null力 N6null碗向null的支null力和后一个薄片A1B1向null的压力 N1 null质点向null的压力 mg null 选 B6点为
15、轴null根据力矩平衡有null N1 L2 + mg 3L4 = N6L null nullnullnullnull联立null解得null N1 =mg42 null以null A1B1薄片对 A6B6的压力为 mg42 null 例 7null用 20 块质null均匀null布的相同null滑null木块null在null滑水平面null一块叠一块地搭成单孔桥null已知null一null木块长度为 L null横截面是边长为 hnull h =L4 null的null方形null要求null桥null有最大的跨度null即桥孔null宽nullnull计算跨度null桥孔高度的比值n
16、ull 解 析 null为了使搭成的单孔桥平衡null桥孔两侧null有相同的null木块null从null往null计算null使null木块均能保证平衡null要满足合力矩为零null平衡时nullnull块null木块都有最大伸出nullnullnull单孔桥就有最大跨度null又null于null块null木块都有厚度nullnull以最大跨度null桥孔高度存在一比值null 将从null到null的null木块依次计为 1 null 2 null null n null显然第 1 块相对第 2 块的最大伸出null为null x1 =L2 第 2 块相对第 3 块的最大伸出null
17、为 x2null如图 6里 4 null示nullnullnullnull 高中物理奥赛经典 递推法第 5 页null共 18 页null Gx2 = (L2 null x2)G 得null x2 =L4 = L2 2 同理可得第 3 块的最大伸出nullnull x3 = L2 3 最后null纳得出null xn = L2 n null以总跨度null k = 2 9 nn 1x= = 11.32h 跨度null桥孔高的比值为null kH =11.32h9h =1.258 例 8null 如图 6里 5 null示null一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁null原点 O 两侧的人的序号都
18、记为 nnull n = 1 null 2 null 3 nullnullnull null人只有一个沙袋null xnull 0 一侧的null个沙袋质null为 m = 14kg nullxnull 0 一侧的null个沙袋质null mnull = 10kg null一质null为 M = 48kg 的小车以某初速度 v0从原点出发向null x 轴方向滑行null null计轨道阻力null null车nullnull过一人身旁时nullnull人就把沙袋以水平速度 v 朝null车速相null的方向沿车面扔到车nullnull v 的大小等于扔null袋之前的瞬间车速大小的 2n倍n
19、ullnull n 是null人的序号数null null 1null空车出发后null车null堆null了几个沙袋时车就null向滑行null null 2null车null最终有大小沙袋共多少个null 解 析 null null人把沙袋以一定的速度朝null车速相null的方向沿车面扔到车null时nullnull动null守恒定律知null车速要null小null可nullnullnull人null断地把沙袋以一定的速度扔到车nullnull总有一时刻使车速null向或null小到零null如车能null向运动nullnull另一边的人null能将沙袋扔到车nullnull直到车速为
20、零nullnullnull能再扔null否nullnull能扔null 小车以初速 v0沿null x 轴方向运动nullnull过第 1 个null n = 1null人的身旁时nullnull人将沙袋以 u = 2nv0 = 2v0的水平速度扔到车nullnullnull动null守恒得null Mv0null m2v0 = (M + m)v1 nullnull小车运动到第 2 人身旁时nullnull人将沙袋以速度 unull = 2nv1 = 4v1的水平速度扔到车nullnull同理有null (M + m)v1null m2nv1 = (M + 2m)v2 nullnull以nul
21、lnull第 n 个沙袋抛null车后的车速为 vn null根据动null守恒有null M + (nnull 1)m vnnull 1null 2nm vnnull 1 = (M + nm)vn null即null vn =M (n 1)mM nm + vnnull 1 null 同理有null vn+1 =M (n 2)mM (n 1)m + + vn 若抛nullnull n + 1null包沙袋后车null向运动nullnullnull有 vnnull 0 null vn+1null 0 即null Mnull (n + 1)mnull 0 null Mnull (n + 2)mnu
22、ll 0 高中物理奥赛经典 递推法第 6 页null共 18 页null nullnull两式解得null nnull 3814 null nnull 2014 null因 n 为整数null故null 3 null null车null向滑行时null根据null面同样推理可知nullnull向null运动到第 n 个人身旁null抛null第 n 包沙袋后null动null守恒定律有null M + 3m + (nnull 1)mnull n 1v null 2nmnull vnnull 1 = (M + 3m + nmnull ) nv 解得null nv=M 3m (n 1)mM 3m
23、nm + + + + n 1v 同理有null n 1v + =M 3m (n 2)mM 3m (n 1)m+ + + + + nv 设抛nullnull n + 1null个沙袋后车速null向null要求 nv null 0 null n 1v + null 0 即null M 3m (n 1)m 0M 3m (n 2)m 0+ + + + f 解得 n 7n 8=f 即抛null第 8 个沙袋后车就停nullnullnull以车null最终有 11 个沙袋null 例 9null 如图 6里 6 null示null一固定的斜面null倾角 = 45null斜面长 L = 2.00 米nu
24、ll 在斜面null端有一null斜面垂直的挡nullnull 一质null为 m 的质点null从斜面的最高点沿斜面null滑null初速度为零nullnull滑到最null端null挡null发生null性碰撞null已知质点null斜面间的动摩擦因数 = 0.20 null试求null质点从开始到发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程null 解 析 null 因为质点null次null滑均要克服摩擦力做nullnull且null次做null又null相同nullnull以要想求质点从开始到发生 n 次碰撞的过程中运动的总路程null需一次一次的求null推出通式即可求解null 设n
25、ull次开始null滑时null小球距档null为 s nullnullnullnull能关系null mgcos (s1 + s2) = mg (s1null s2)sin mgcos (s2 + s3) = mg (s2null s3)sin 即有null 21ss =32ss = =sin cossin cos + =23 nullnull可nullnull次碰撞后通过的路程是一等比数列nullnullnull比为 23 在发生第 11 次碰撞过程中的路程null s = s1 + 2s2 + 2s3 + + 2s11 = 2 (s1 + s2 + s3 + + s11)null s1
26、= 21112s 1 ( )3213 null s1 = 10null 12 (23)11 = 9.86m 例 10null 如图 6里 7 null示null一水平放置的圆null形null性窄槽固定在桌面nullnull槽内嵌着null个大小相同的null性小球null它们的质nullnull别是 m1 null m2和 m3 null m2 = m3 = 2m1 null 小球null槽的两壁null好接触而它们之间的摩擦可忽略null计null 开始时nullnull球处在槽中nullnullnullnullnull的位置null彼null间距离相等null m2和 m3静nullnu
27、ll m1以初速 v0 = R2 沿槽运动null R 为圆null的内半径和小球高中物理奥赛经典 递推法第 7 页null共 18 页null 半径之和null设各球之间的碰撞皆为null性碰撞null求null系统的运动周期 T null 解 析 null null m1null m2发生null性碰撞时nullnull于 m2 = 2m1 nullnull以 m1碰后null回null m2向前null m3发生碰撞null 而又null于 m2 = m3 nullnull以 m2 null m3 碰后null m3 能静null在 m1 的位置null m1又以 v 速度被nullnu
28、llnull可null碰撞又null复一次null null m1回到初始位置nullnull系统为一个周期null 以 m1 null m2为研null对象nullnull m1null m2发生null性碰撞后null根据动null守恒定律null能null守恒定律可写出null m1v0 = m1v1 + m2v2 null 12m120v =12m121v +12m222v null nullnullnullnull式得null v1 = 1 21 2m mm m+ v0 =null13v0 null v2 =11 22mm m+ v0 =23v0 以 m2 null m3为研null
29、对象nullnull m2null m3发生null性碰撞后null得 v3 =23v0 null 2v= 0 以 m3 null m1为研null对象nullnull m3null m1发生null性碰撞后null得 3v= 0 null 1v= v0 nullnull可nullnullnull m1运动到 m2处时null开始null处的状态相似null null以碰撞使 m1 null m2 null m3交换位置nullnull m1再次回到原来位置时nullnull用的时间恰好就是系统的一个周期 T nullnullnull可得周期null T = 3(t1 + t2 + t3) =
30、 3 (02 R3v +02 Rv +02 R3v ) =010 Rv =10 RR/2 = 20s 例 11null 有许多质null为 m 的木块相互靠着沿一直线排列于null滑的水平面nullnull null相邻的两个木块均用长为 L 的柔绳连接着null null用大小为 F 的恒力沿排列方向拉第一个木块null以后各木块依次被牵而运动null求第 n 个木块被牵动时的速度null 解 析 null null一个木块被拉动起来后null就和前面的木块成为一体null共同做匀null速运动一段距离 L后null把绳拉紧null再牵动null一个木块null 在绳子绷紧时null有部nu
31、ll机械能转化为内能null 因nullnull如果列出 (nnull 1)FL =12nm 2nv nullnull样的关系式是错误的null 设第 (nnull 1)个木块null被拉动时的速度为 vnnull 1 null它即将拉动null一个木块时速度增至 n 1v 第 n 个木块null被拉动时速度为 vn null 对第 (nnull 1)个木块开始运动到它把null一段绳子即将拉紧null一过程nullnull动能定理有null FL =12(nnull 1)m 2n 1v null 12(nnull 1)m 2n 1v null 对绳子把第 n 个木块拉动null一短暂过程nu
32、llnull动null守恒定律null有null (nnull 1)m n 1v = nmvn null得null n 1v = nn 1 vn null 把null式代入null式得null FL =12(nnull 1)m ( nn 1 vn )2null 12(nnull 1)m 2n 1v 高中物理奥赛经典 递推法第 8 页null共 18 页null 整理后得null (nnull 1)2FLm = n2 2nv null (nnull 1)2 2n 1v null null式就是null映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式nullnullnull式可知 null n = 2 时nu
33、ll有null 2FLm = 22 22v null 21v null n = 3 时null有null 2 2FLm = 32 23v null 22 22v null n = 4 时null有null 3 2FLm = 42 24v null 32 23v 一般地null有null (nnull 1)2FLm = n2 2nv null (nnull 1)2 2n 1v 将以null (nnull 1)个等式相nullnull得null (1 + 2 + 3 + + nnull 1) 2FLm = n2 2nv null 21v null以有null n(n 1)2 2FLm = n2 2
34、nv null 21v 在null题中 v1 = 0 nullnull以null vn = FL(n 1)nm 例 12null 如图 6里 8 null示null质null m = 2kg 的平null小车null后端放有质null M = 3kg 的铁块null它和车之间动摩擦因数 = 0.50 null开始时null车和铁块共同以 v0 = 3m/s 的速度向右在null滑水平面null前nullnull并使车null墙发生null碰null设碰撞时间极短null碰撞无机械能损失null且车身足够长null使得铁块总null能和墙相碰null求小车走过的总路程null 解 析 null
35、小车null墙撞后nullnull以原速率null回null 铁块null于惯性继续沿原来方向运动nullnull于铁块和车的相互摩擦力作用null过一段时间后null它们就会相对静nullnull一起以相同的速度再向右运动null然后车null墙发生第二次碰撞null碰后null又null复第一次碰后的情况null 以后车null墙就null样一次次碰撞null去null 车nullnull墙碰一次null铁块就相对于车向前滑动一段距离null系统就有一部null机械能转化为内能null车null次null墙碰后null就nullnull右往返一次null车的总路程就是null次往返的路程之
36、和null 设null次null墙碰后的速度null别为 v1 null v2 null v3 null null vn null车null次null墙碰后向null运动的最null距离null别为 s1 null s2 null s3 null null sn null null 以铁块运动方向为null方向null在车null墙第 (nnull 1)次碰后到发生第 n 次碰撞之前null对车和铁块组成的系统nullnull动null守恒定律有null (Mnull m)vnnull 1 = (M + m)vn nullnull以null vn =M mM m+ vnnull 1 = n 1
37、v5 nullnull一关系可得null v2 = 1v5 null v3 = 12v5 null 一般地null有null vn = 1n 1v5 高中物理奥赛经典 递推法第 9 页null共 18 页null null运动学null式可求出车null墙发生第 n 次碰撞后向null运动的最null距离为null sn =2nv2a =21v2a 2n 215 类似地nullnullnull一关系可递推到null s1 =21v2a null s2 =21v2a 215 null s3 =21v2a 415 null null sn =21v2a 2n 215 null以车运动的总路程nul
38、l s 总 = 2 (s1 + s2 + s3 + + sn + ) = 221v2a (1 + 215 + 415 + + 2n 215 + ) =21va 21115=21va 2524 因为 v1 = v0 = 3m/s null a = Mgm =152 m/s2 null以null s 总 = 1.25m 例 13null 10 个相同的null长木块一个紧挨一个地放在水平地面nullnull如图 6里 9 null示nullnull个木块的质null m = 0.40kg null长度 l = 0.45m null它们null地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为2 = 0.10 nu
39、ll原来木块处于静null状态null null方第一个木块的null端null方放一个质null为 M =1.0kg的小铅块null它null木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为 1 = 0.20 nullnull突然给铅块一向右的初速度 v0 = 4.3m/s null使null在大木块null滑行null 试确定铅块最后的位置在何处null落在地nullnull是停在哪块木块nullnullnull null力null速度 g null 10/s2 null设铅块的长度null木块相比可以忽略null 解 析 nullnull铅块向右运动时null铅块null 10 个相同的null长木块
40、中的第一块null发生摩擦力null若null摩擦力大于 10 个null长木块null地面间的最大静摩擦力nullnull 10 个null长木块开始运动null若null摩擦力小于 10 个null长木块null地面间的最大摩擦力nullnull 10 个null长木块null静nullnull动null随着铅块的运动null总有一个时刻null长木块要运动null直到铅块nullnull长木块相对静nullnull后又一起匀null速运动到停nullnull 铅块 M 在木块null滑行nullnull到的滑动摩擦力 f1 =1Mg = 2.0N 设 M 可以带动木块的数null为 n
41、nullnull n 满足null f1null 2 (M + m)gnull (nnull 1) 2mgnull 0 即null 2.0null 1.4null 0.4 (nnull 1)null 0 null式中的 n 只能null整数nullnull以 n 只能null 2 null也就是null M 滑行到倒数第二个木块时null剩null的两个木块将开始运动null设铅块null离开第 8 个木块时速度为 v nullnullnull 12Mv2 =12M20v null 1Mg8l 得null v2 = 2.49 (m/s)2null 0 nullnull可null木块null可以
42、滑到第 9 个木块nullnull M 在第 9 个木块null运动如图 6里 9 nullnull示nullnull对 M 而言有nullnull 1Mg = MaM 高中物理奥赛经典 递推法第 10 页null共 18 页null 得null aM =null 2.0m/s2 第 9 及第 10 个木块的动力学方程为null 1Mgnull 2 (M + m)gnull 2mg = 2mam 得null am = 0.25m/s2 设 M null离开第 9 个木块null时速度为 vnullnull而第 10 个木块运动的速度为 Vnullnull并设木块运动的距离为 s nullnul
43、l M 运动的距离为 (s + l) null有null 2v = v2 + 2aM (s + l) 2V = 2ams vnull = v + aMt Vnull = amt null去 s 及 t 求出null v 0.611m/s v 0.26m/sV 0.212m/s V 0.23m/s = = = = 或 显然后一组解null合理nullnull舍去null 因 vnullnull Vnullnull故 M 将运动到第 10 个木块nullnull 再设 M 运动到第 10 个木块的边缘时速度为 vnullnullnull时木块的速度为 Vnullnullnullnull 2v =
44、2v + 2aM (snull + l) 解得null 2v =null 1.63null 4snullnull 0 null故 M null能滑离第 10 个木块null只能停在它的表面nullnull最后和木块一起静null在地面nullnull 例 14null 如图 6里 10 null示null质null为 m 的长方形箱子null放在null滑的水平地面nullnull 箱内有一质null也为 m的小滑块null滑块null箱null间无摩擦null开始时箱子静nullnull动null滑块以恒定的速度 v0从箱子的 A 壁处向 B 处运动null后null B 壁碰撞null 假
45、设滑块null箱壁null碰撞一次null两者相对速度的大小null为该次碰撞前相对速度的 e 倍null且 e = 4 12 null null 1null要使滑块null箱子null一系统null耗的总动能null超过null初始动能的 40% null滑块null箱壁最多可碰撞几次null null 2null从滑块开始运动到null完成null述次数的碰撞期间null箱子的平均速度是多少null 解 析 null null于滑块null箱子在水平方向nullnull外力null故碰撞时系统水平方向动null守恒null 根据题null给出的null次碰撞前后相对速度之比null可求出null一次碰撞过程中动能的损耗null滑块开始运动到完成题null要求的碰撞期间箱子的平均速度nullnull等于null期间运动的总位移null总时间的比值null null 1null滑块null箱壁碰撞null碰后滑块对地速度为 v null箱子对地速度为 u null null于题中null次碰撞的 e 是一样的null故有null e = 1 10 0u vv u =2 21 1u vv u = =n nn 1 n 1u vv u 或null e = 1 10 0v uv u =2 21 1v uv u = =n nn 1 n 1v uv u
