1、1二项分布及其应用一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 ，且23各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为 ( )A. B. C. D. 13 25 23 45（正确答案）B【分析】本题考查条件概率，考查相互独立事件概率公式，属于中档题求出甲获得冠军的概率、比赛进行了 3 局的概率，即可得出结论【解答】解：由题意，甲获得冠军的概率为 ，2323+231323+132323=2027其中比赛进行了 3 局的概率为 ，231323+132323=827所求概率为 ，827
2、2027=25故选 B2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游，每人只去一个景点，设事件 “4 个人去的景点不相同”=，事件 “小赵独自去一个景点 ”，则 = ( |)=( )A. B. C. D. 29 13 49 59（正确答案）A【分析】本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键 这是求小赵独自去一个景点的前提.下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论，属于中档题【解答】解：小赵独自去一个景点，有 4 个景点可选，则其余 3 人只能在小赵剩下的 3 个景点中选择，可能性为种 333=27所以小赵独自去一个景点的可能性为 种427=1
3、08因为 4 个人去的景点不相同的可能性为 种，4321=24所以 (|)=24108=29故选 A3. 2016 年鞍山地区空气质量的记录表明，一天的空气质量为优良的概率为 ，连续两天为优良的概率为0.8，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良的概率是 0.6 ( )A. B. C. D. 0.48 0.6 0.75 0.8（正确答案）C解： 一天的空气质量为优良的概率为 ，连续两天为优良的概率为 ， 0.8 0.62设随后一天空气质量为优良的概率为 p，若今天的空气质量为优良，则明天空气质量为优良，则有 ，0.8=0.6，=0.60.8=34=0.75故选：C设随后一天的空气质量为优
4、良的概率是 p，利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用4. 投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试 已知某同学每次投篮投中的概率为 ，且各次. 0.6投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( )A. B. C. D. 0.6480.4320.36 0.312（正确答案）A解：由题意可知：同学 3 次测试满足 X ，(3,0.6)该同学通过测试的概率为 23(0.6)2(10.6)+33(0.6)3=0.648故选：A判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可本题考查独立重复
5、试验概率的求法，基本知识的考查5. 设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 ，活到 15 岁的概率为 现有一个 10 岁的这种动物，它0.9 0.6.能活到 15 岁的概率是 ( )A. B. C. D. 35 310 23 2750（正确答案）C解：记该动物从出生起活到 10 岁为事件 A，从出生起活到 15 岁的为事件 AB，而所求的事件为 ，|由题意可得 ， ，()=0.9()=0.6由条件概率公式可得 ，(|)=()() =0.60.9=23故选 C活到 15 岁的概率是在活到 10 岁的概率的情况下发生的，故可用条件概率来求解这个题本题考点是条件概率，理清楚事件之间的关系是解决问
6、题的关键，属中档题6. 在 10 个球中有 6 个红球和 4 个白球 各不相同 ，不放回地依次摸出 2 个球，在第一次摸出红球的条件( )下，第 2 次也摸到红球的概率为 ( )A. B. C. D. 35 25 110 59（正确答案）D解：先求出“第一次摸到红球”的概率为： ，1=610=35设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是 2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为 ，=65109=133根据条件概率公式，得： ，2=1=59故选：D事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸
7、到红球”的概率 根据这个原理，可以分别求出“第一次摸到红球”的.概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率，再用公式可以求出要求的概率本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题 看准确事件之间的联.系，正确运用公式，是解决本题的关键7. 将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率是 ( )A. B. C. D. 2158 1229 2164 727（正确答案）A解：根据题意，将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子，有 种不同的放法，44=256若没有空盒，有 种放法，有 1 个空盒的放法有 种，有
8、 3 个空盒的放法有 种，44=24 142433=144 14=4则至少一个盒子为空的放法有 种，故“至少一个盒子为空 ”的概率 ，25624=2321=232256恰好有两个盒子为空的放法有 种，故“恰好有两个盒子为空”的概率 ，256241444=842=84256则则在至少一个盒子为空的条件下，恰好有两个盒子为空的概率 ；=21=2158故选：A根据题意，由分步计数原理计算可得“将 4 个不同的小球装入 4 个不同的盒子”的放法数目，进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有 1 个空盒的放法”、“有 3 个空盒”的放法数目，由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个
9、盒子为空”的概率，最后由条件概率的计算公式计算可得答案本题考查条件概率的计算，涉及排列、组合的应用，关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率8. 在区间 内随机投掷一个点 其坐标为 ，若 ，则 (0,1) ( )=|05)=(5)=(5) (15)=2(25)的值(25)本题主要考查正态分布的性质，正态曲线的对称性，属于基础题三、解答题（本大题共 3 小题，共 40 分）17. 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率 ，假设两人射击是34 23否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响 求甲至少有 1 次未击
10、中目标的概率；( ) 记甲击中目标的次数为 ，求 的概率分布及数学期望 ；( ) 求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率( )（正确答案）解： 记“甲连续射击 3 次，至少 1 次未击中目标”为事件 ，() 1由题意知两人射击是否击中目标，相互之间没有影响，射击 3 次，相当于 3 次独立重复试验，故 (1)=1(.1)=1(34)3=3764故甲至少有 1 次未击中目标的概率为 ；3764由题意知 X 的可能取值是 0，1，2，3()，(=0)=03(14)3=164，(=1)=1334(14)2=964，(=2)=23(34)214=27648，(=3)=33(34)3=2764X 的概率分
11、布如下表：X 0 1 2 3P164 964 2764 2764=0 164+1 964+22764+32764=94设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A，()甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次为事件 ，甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 ，1 2则 ， ， 为互斥事件 =1+2 1 2 .()=(1)+(2)=2764127+2764627=764甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为来源:学 &科 &网 764由题意知，两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；甲每次击中目标的概率为 ，射击 3 次，相当(1)34于 3 次独立重复试验，根据独立重复试验概率公式得到结果
12、根据题意看出变量的可能取值，根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式，写出变量对应的概()率，写出分布列，做出期望值甲恰比乙多击中目标 2 次，包括甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次，甲恰击中目标 3 次且乙恰击()中目标 1 次，这两种情况是互斥的，根据公式公式得到结果本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查互斥事件的概率，是一个基础题，这种题目解题的 关键是看清题目事件的特点，找出解题的规律，遇到类似的题目要求能做18. 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球，从 A 中摸出一个红球的概率是 ，从 B 中摸出一个红球13的概率是 现从两个袋子中有放回的摸球23. 从 A
13、 中摸球，每次摸出一个，共摸 5 次 求：() .恰好有 3 次摸到红球的概率；()设摸得红球的次数为随机变量 X，求 X 的期望；() 从 A 中摸出一个球，若是白球则继续在袋子 A 中摸球，若是红球则在袋子 B 中摸球，若从袋子 B 中摸( )出的是白球则继续在袋子 B 中摸球，若是红球则在袋子 A 中摸球，如此反复摸球 3 次，计摸出的红球的次数为 Y，求 Y 的分布列以及随机变量 Y 的期望（正确答案）解： 由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作( )()独立重复试验，根据独立重复试验公式得到，恰好有 3 次摸到红球的概率： 35(13)3(23)2=4
14、0243由题意知从 A 中有放回地摸球，每次摸出一个，是独立重复试验，()根据独立重复试验公式得到： ， (5,13)9=513=53随机变量 Y 的取值为 0，1，2，3；且：()；(=0)=(113)3=827；(=1)=13(13)2+(113)1313+13(113)2=727；(=2)=13(113)2+(113)1313+13(113)2=1027；(=3)=(113)1313=227随机变量 Y 的分布列是：的数学期望是 =119由题意知本题是在相同的条件下进行的试验，且事件发生的概率相同，可以看作独立重复试验，根据()()独立重复试验公式得到结果由题意知从 A 中有放回地摸球，
15、每次摸出一个，是独立重复试验，根据独立重复试验公式得到答案()由题意知计摸出的红球的次数为 Y， 随机变量 Y 的取值为 0，1，2，3；由独立试验概率公式得到概率，()写出分布列和期望解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多19. 某射击小组有甲、乙两名射手，甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，在射击比武活动中每人射击1=23 2发两发子弹则完成一次检测，在一次检测中，若两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组为“先进和谐组”；若 ，求该小组在一次检测中荣获 “先进和谐组” 的概率；(1)2
16、=12计划在 2011 年每月进行 1 次检测，设这 12 次检测中该小组获得“先进 和谐组”的次数 ，如果 ，(2) 5求 的取值范围2（正确答案）解： ， ，(1)1=23 2=12根据“先进和谐组”的定义可得该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中，两人恰好各射中一次，该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率=(122313)(121212)+(2323)(1212)=13该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率(2)=(122313)122(12)+(2323)(22)=892492210而 ，所以 (12,) =12由 知， 5(8924922)125解 得：3421根据甲的命中率为 ， 乙的命中率为 ，两人命中次数相等且都不少于一发，则称该射击小组(1)1=23 2=12为“先进和 谐组”；我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；由已知结合 的结论，我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 含参数 ，由(2) (1) ( 2)，可以构造一个关于 的不等式，解不等式结合概率的含义即可得到 的取值范围5 2 2本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，二项分布与 n 次独立重复试验的模型， 中关键是要(1)列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性， 的关键是要根据 ，可以构造一个(2) 5关于 的不等式2
