1、1圆锥曲线中的综合问题一、选择题（本大题共 12小题，共 60分）1. 已知 F为抛物线 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x轴的两侧， 其中 O为坐标原2= =2(点 ，则 与 面积之和的最小值是 ) ( )A. 2 B. 3 C. D. 1728 10（正确答案）B解：设直线 AB的方程为： ，点 ， ，=+ (1,1) (2,2)直线 AB与 x轴的交点为 ，(,0)由 ，根据韦达定理有 ，=+2=2=0 12=， ， =2 12+12=2结合 及 ，得 ，21=1 22=2 (12)2+122=0点 A， B位于 x轴的两侧， ，故 12=2 =2不妨令点 A在 x轴上方，则 ，
2、又 ，10(14,0)，+ 122(12)+12141=981+21298121=3当且仅当 ，即 时，取“ ”号，981=21 1=43 =与 面积之和的最小值是 3，故选 B可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题 =2求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消 x或 y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”2. 已知椭圆 E
3、： 的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l： 交椭圆 E22+22=1(0) 34=0于 A，B 两点，若 ，点 M到直线 l的距离不小于 ，则椭圆 E的离心率的取值范围是 |+|=445 ( )A. B. C. D. (0,32 (0,34 32,1) 34,1)（正确答案）A2解：如图所示，设 为椭圆的左焦点，连接 ， ，则四边形 是平行 四边形， 4=|+|=|+|=2=2取 ， 点 M到直线 l的距离不小于 ， ，解得 (0,)45 |4|32+4245 1=1221122=32椭圆 E的离心率的取值范围是 (0,32故选：A如图所示，设 为椭圆的左焦点，连接 ， ，则四边形
4、是平行四边形，可得 取 ，由点 M到直线 l的距离不小于 ，可得 ，解得4=|+|=|+|=2.(0,)45 |4|32+4245再利用离心率计算公式 即可得出1.=122本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题3. 已知点 是椭圆 C： 的左顶点，过点 P作圆 O： 的切线，切点(22,0)22+22=1(0) 2+2=4为 A，B，若直线 AB恰好过椭圆 C的左焦点 F，则 的值是 2+2 ( )A. 12 B. 13 C. 14 D. 15（正确答案）C解：由题意， =22过点 P作圆 O： 的切线，切点为 A，B，若直
5、线 AB恰好过椭圆 C的左焦点 F， 2+2=4， ，=45 ( 2,0)， ，=2 2=82=6，2+2=8+6=14故选 C由题意， 过点 P作圆 O： 的切线，切点为 A，B，若直线 AB恰好过椭圆 C的左焦点 F，=22. 2+2=4可得 ，即可求出 的值( 2,0) 2+2本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题4. 已知抛物线 的焦点为 F，准线为 l，经过 F且斜率为 的直线与抛物线在 x轴上方的部分交于 A2=4 3点， ，垂足为 K，则 的面积为 ( )A. 4 B. C. D. 83 43（正确答案）C解：由抛物线的定义可得
6、，则=的斜率等于 ， 的倾斜角等于 ， ， 3 60 ，故 为等边三角形=60 又焦点 ， AF的方程为 ，(1,0) 0=3(1)3设 ， ，(, 3 3) 1由 得 ，=(1)2+(3 3)2=+1，故等边三角形 的边长 ，=3 =+1=4的面积是 ，124460=43故选：C先判断 为等边三角形，求出 A的坐标，可求出等边 的边长 的值， 的面积可 =+1 求本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断 为等边三角形是解题的关键5. 已知抛物线 的焦点为 F，其准线与双曲线 相交于 M，N 两点，若 为直2=2(0)232=1 角三角形，其中 F为直角顶点，则 =( )A.
7、B. C. D. 623 3 33（正确答案）A【分析】本题考查抛物线的定义及抛物线的几何性质，双曲线方程的应用，考查计算能力【解答】解：由题设知抛物线 的准线为 ，代入双曲线方程 解得 ，2=2=2 232=1 =3+324由双曲线的对称性知 为等腰直角三角形， ，=4， ，即 ，= 3+324=12=3+324 =23故选 A6. 若抛物线 上恒有关于直线 对称的两点 A，B，则 p的取值范围是 2=2 +1=0 ( )A. B. (23,0) (0,32)C. D. (0,23) (,0)(23,+)（正确答案）C解：设 ， ，(1,1) (2,2)因为点 A和 B在抛物线上，所以有 2
8、1=2122=22得， 2122=2(12)整理得 ，1212= 21+24因为 A，B 关于直线 对称，所以 ，即 +1=0 =121+2=1所以 1+2=2设 AB的中点为 ，则 (0,0)0=1+22 =22=又 M在直线 上，所以 +1=0 0=10=1则 (1,)因为 M在抛物线内部，所以 20200,0) 1分别为 B、 若 ，则双曲线的离心率是 .=12 ( )A. B. C. D. 2 3 5 105（正确答案）C解：直线 l： 与渐近线 ： 交于 ，=+ 1 =0( 2+, +)l与渐近线 ： 交于 ， ，2 +=0(2,) (,0)， ， ，=(+, +) =(2222,2
9、222) =12， ，+=222 =2，22=42， ，2=22=5 =5故选 C分别表示出直线 l和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，进而根据 求得 a和 b的关系，进而 =12根据 ，求得 a和 c的关系，则离心率可得22=2本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题 要求学生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转.化到基本知识的运用9. 如图 ， 是双曲线 与椭圆 的公共焦点，点 A是 ， 在第一1 21： 228=1 2 1 2象限内的公共点，若 ，则 的离心率是 |12|=|1| 2 ( )A. B. C. D. 23 45 35 25（正确答案）C解：由题意 ， 是双曲线 与
10、椭圆 的公共焦点可知， ，1 21： 228=1 2 |12|=|1|=6， ， ，|1|2|=2 |2|=4 |1|+|2|=10， 的离心率是 2=102610=35故选：C利用椭圆以及双曲线的定义，转化求解椭圆的离心率即可本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 已知双曲线 C： 与抛物线 的准线相交于 A、B 两点，双曲线的一条渐2222=1(0,0) 2=43近线方程为 ，点 F是抛物线的焦点，且 是正三角形，则双曲线 C的方程为 =2 ( )A. B. C. D. 222=1 222=1 2422=1 2224=1（正确答案）B解：抛物线 的焦点为 ，其准线方程为
11、 ，2=43 (3,0) = 3为正三角形，|=46将 代入双曲线 可得 ，( 3,2)2222=1 3242=1双曲线的一条渐近线方程是 ， ， =2=2， ，=1 =2双曲线 的方程为 2222=1故选：B抛物线 的焦点为 ，其准线方程为 ，利用 为正三角形，可得 A的坐标，代入2=43 (3,0) = 3 双曲线的方程，可得 a，b 的方程，利用双曲线的一条渐近线方程是 ，可得 a，b 的方程，从而可得=2a，b 的值，即可求出双曲线的方程本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，正确运用抛物线、双曲线的性质是关键11. 抛物线 ： 的焦点 F是双曲线 ： 的右焦点，点 P
12、为曲线 ， 的公1 2=4 22222=1(0,0) 1 2共点，点 M在抛物线 的准线上， 为以点 P为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线 的离心率为1 2( )A. B. C. D. 3+22 2103 2+1 210+3（正确答案）C解：抛物线 ： 的焦点 F是双曲线 ： 的右焦点，1 2=4 22222=1(0)， ，则 ，(1,0)|=2=| (1,2)P在双曲线上，满足： ，1242=12+2=2=1解得 ， ，2=322 2=222所求双曲线的离心率为： = 1322=2+1故选：C求出抛物线以及双曲线的焦点坐标，利用已知条件推出 P的坐标，代入双曲线方程，然后求解 a、c，即可
13、求解双曲线的离心率即可本题考查抛物线以及双曲线的简单性质的综合应用，考查转化思想以及计算能力12. 已知 P是双曲线 上任意一点，过点 P分别作曲线的两条渐近线的垂232=1线，垂足分别为 A、B，则 的值是 ( )A. B. C. D. 不能确定38 316 387（正确答案）A解：设 ，则 ，即 ，(,)232=1 232=3由双曲线 的渐近线方程为 ，232=1 =33则由 解得交点 ； =33= 3() (3+34 , 3+4 )由 解得交点 =33=3() (3 34 , 34 ).， ，=(34 , 334 ) =( 34 ,3 34 )则 =34 34 +334 3 34 =22
14、6216 =616=38故选：A设 ，则 ，即 ，求出渐近线方程，求得交点 A，B，再求向量 PA，PB 的坐标，(,)232=1 232=3由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4小题，共 20分）13. 设抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则 _ 2=8222=1(0) =（正确答案） 3解：抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，可得 ，2=8 (2,0)222=1(0) =2，解得 1+2=2 =3故答案为： 3求出抛物线的焦点坐标
15、，利用已知条件求出 b即可本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力14. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合，则实数 p的值为_2=22425=1（正确答案）6解： 双曲线的方程 ，2425=1， ，可得 ，2=4 2=5 =2+2=3因此双曲线 的右焦点为 ，2425=1 (3,0)抛物线 的焦点与双曲线的右焦点重合， 2=2(0)8，解之得 2=3 =6故答案为：6根据双曲线的方程，可得 ，从而得到双曲线的右焦点为 ，再根据抛物线的简单几何性质，可得=3 (3,0)，解之即可得到实数 p的值2=3本题给出抛物线以原点为顶点，双曲线的右焦点为焦点，求抛物线方程，着
16、重考查了双曲线、抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题15. 已知抛物线 C： 的焦点为 F，过点 F 倾斜角为 的直线 l与抛物线 C在第一、四象限2=2 (0) 60分别交于 A、B 两点，则 的值等于_|（正确答案）3解：设 ， ，则 ， ，(1,1) (2,2) 21=21 22=22，即有 ，|=1+2+=22=83 1+2=53由直线 l倾斜角为 ，60则直线 l的方程为： ，0=3(2)即 ，联立抛物线方程，=3 32消去 y并整理，得，12220+32=0则 ，可得 ， ，12=24 1=32 2=16则 ，|=32+1212+16=3故答案为：3设出 A、B 坐标，
17、利用焦半径公式求出 ，结合 ，求出 A、B 的坐标，然后求其比值|12=24本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题16. 过双曲线 右焦点且斜率为 2 的直线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲2222=1(0,0)线离心率的取值范围为_（正确答案） (1,5)解：由题意过双曲线 ， 右焦点且斜率为 2 的直线，2222=1 (0 0 )9与该双曲线的右支交于两点，可得双曲线的渐近线斜率 ，1，=2+22 0)当 时，求 的面积() |=| 10当 时，证明： () 2|=| 30，|=121+(1)23+4(1)2=121+232+4又 ， ，2|=| 23+42= 32+4整理得： ，4362+38=0设 ，()=4362+38则 ，()=12212+3=3(21)20为 的增函数，()=4362+38 (0,+)又 ，(3)=43363+338=15326=675 676032
