1、函数值域求法十一种在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数 的值域。解：显然函数的值域是：例 2. 求函数 的值域。解：故函数的值域是：2. 配
2、方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ，当 时，故函数的值域是：4，83. 判别式法例 4. 求函数 的值域。解：原函数化为关于 x 的一元二次方程（1）当 时，解得：（2）当 y=1 时， ，而故函数的值域为例 5. 求函数 的值域。解：两边平方整理得： （1）解得：但此时的函数的定义域由 ，得由 ，仅保证关于 x 的方程： 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0 ，2 上，即不能确保方程（1）有实根，由 求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 。可以采取如下方法进一步确定
3、原函数的值域。代入方程（1）解得：即当 时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数 值域。解：由原函数式可得：则其反函数为： ，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数 的值域。解：由原函数式可得：解得：故所求函数的值域为例 8. 求函数 的值域。解：由原函数式可得： ，可化为：即即解得：故函数的值域为6. 函数单
4、调性法例 9. 求函数 的值域。解：令则 在2，10上都是增函数所以 在2，10上是增函数当 x=2 时，当 x=10 时，故所求函数的值域为：例 10. 求函数 的值域。解：原函数可化为：令 ，显然 在 上为无上界的增函数所以 ， 在 上也为无上界的增函数所以当 x=1 时， 有最小值 ，原函数有最大值显然 ，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数 的值域。解：令 ，则又 ，由二次函数的性质可知当 时，当 时，故函数的值域为例 1
5、2. 求函数 的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为例 13. 求函数 的值域。解：原函数可变形为：可令 ，则有当 时，当 时，而此时 有意义。故所求函数的值域为例 14. 求函数 ， 的值域。解：令 ，则由且可得：当 时， ，当 时，故所求函数的值域为 。例 15. 求函数 的值域。解：由 ，可得故可令当 时，当 时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16. 求函数 的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）， 间的距离
6、之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时，当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例 17. 求函数 的值域。解：原函数可变形为：上式可看成 x 轴上的点 到两定点 的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， ，故所求函数的值域为例 18. 求函数 的值域。解：将函数变形为：上式可看成定点 A（3 ，2）到点 P（x ，0）的距离与定点 到点 的距离之差。即：由图可知：（1 ）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 ，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有即：（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有
7、综上所述，可知函数的值域为：注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2 ）， ，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为（3 ，2 ）， ，在 x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式 ，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数 的值域。解：原函数变形为：当且仅当即当 时 ，等号成立故原函数的值域为：例 20. 求函数 的值域。解：当且仅当 ，即当 时，等号成立。由 可得：故原函数的值域为：10. 一一映射法原理：因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数 的值域。解：定义域为由 得故 或解得故函数的值域为11. 多种方法综合运用例 22. 求函数 的值域。解：令 ，则（1）当 时， ，当且仅当 t=1，即 时取等号，所以（2）当 t=0 时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数 的值域。解：令 ，则
