1、第 1 章：复数与复变函数1 复数1复数域形如 的数，称为复数，其中 为实数。实数 和实数 分别称iyxzyx,xy为复数 的实部与虚部。记为， zxRezyIm虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数 和 称为互为共轭复数， 的共轭iyxziyxzz复数记为 。z设 ，复数的四则运算定义为加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律加法交换律 121zz加法结合律 323)()(z乘法交换律 121zz乘法结合律 323)()(z乘法对加法的分配律 31211 zz全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复
2、数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用 表示，所有复数构成的集合用 表示。RC例 设 ，求 i3,i5221zz21z分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。解 为求 ，在分子分母同乘 ，再利用 ，得21z2z1i2i071i)i3(52212 2复平面一个复数 本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上iyxz全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把 x 和 y 当作平面上的点的坐标，复数 z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或 z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴.在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数
3、 z 也构成一一对应关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如：这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系.3 复数的模与辐角向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：易知：(1) (2) (3) (4) 点 与点 的距离为 实轴正向到非零复数 所对应的向量 间的夹角 满足称为复数 的辐角，记为： 。任一非零复数有穷多个辐角，以 表其中的一个特定值，并称合条件 的一个为 的主值，或称之为 的主辐角。有下述关系：复数的幅角不能唯一地确定. 如果 是其中一个幅角，则也是其幅角，把属于 的幅角称为主值幅角，记为 argz. 复数“零”的幅角无定义，其模为零.例 求
4、 及 解注意： 一般有两种含义，一种是指非零复数无穷多辐角中的一个，另一种是指落在 之间的主辐角。具体在题目中是指哪一种含义，需要根据上下文来确定，一般是指主辐角。用极坐标 r, 代替直角坐标 x 和 y 来表示复数 z.有则复数可表示为： 三角式利用欧拉公式： ，复数可表示为：指数式叫做复数的模， 称为复数的幅角，记为rgz. 例 将下列复数化成三角表示式和指数表示式。 0isncos1 ；解： 2icossin2icos2in2siincos1)(0,e2sin2isn2cos2sin i 。利用复数的指数形式作乘除法比较简单，如：所以有还可以得出三角不等式例 求复数 的模)i21(34A
5、解 令 ，有,i1zz21由共轭复数的运算结果得 1212121 zzzA4复数的乘幂与方根对于非零复数 ，非零复数的整数次幂为ierz当 r时, 则得棣摩弗公式 由此易知非零复数的整数次根式 为k=0,1,2,，n-1.对于给定的 可以取 n 个不同的值，它们沿中心在原点，半径为 的圆周而等距地分布着.例 求 8)i1(解 ，故有4ie216e)()()i1( 2i48i8i8 例 设 ，求 iz4z解 因 ，故 于是， 的四个四次方根为4ie24arg,2zz16i80w9i1e2167i825i3ew例 求 z380 的所有根.解 1) (k0 1 2) )32sin32(cos)231 ki 即 2 i31i例 计算 解故 故 5共轭复数复数 称为 的共轭复数，记为 。 称为 的iyxiyxzz2yxiyxz模，记为 。一个复数 的共轭复数为z共轭复数满足例 求复数 zw1（复数 1z）的实部、虚部和模。解： 2221Im11 zizz所以 21Rezw21IImzw， zzz 1Re21例 若 1|,|ba，试证： 1ba。解： 0|1 2222 baaba然而 ba1| 22 22|1baba1|20|1|2ba即 1ba。6复数在几何上的应用举例(1) 曲线的复数方程(略)(2) 应用复数证明几何问题(略)。
