1、2018 全 国 3 卷 第 21 题 解 法 三例 .（ 2018 全 国 3 卷 第 21 题 ） 已 知 函 数 xxaxxxf 21ln2 2 （ 1） 若 0a ， 证 明 ： 当 01 x 时 ， 0xf ； 当 0x 时 ， 0xf ；（ 2） 若 0x 是 xf 的 极 大 值 点 ， 求 a按 照 波 利 亚 的 解 题 策 略 ， 我 们 联 想 到 一 个 类 似 的 题 目 ， 其 思 维 方 法 是 可 以 借 鉴 的 。 此 题追 溯 ： （ 2013 辽 宁 高 考 第 21 题 ） 已 知 函 数 321 , 1 2 cos . 0,12x xf x x e g
2、 x ax x x x 当 时 ，(I)求 证 : 11 ;1x f x x (II)若 f x g x 恒 成 立 ,求 实 数 a取 值 范 围 .【 解 析 】 ： (I)易 证 xex 1 ， 所 以 22 1 xe x ， 则 22 1 1xe x ， xex x 1 11 2 ，当 1x 时 ， 左 边 显 然 成 立 ， 当 1x 时 ， 1 x f x xexx 2111 构 造 函 数 xh 111 2 xexx （ 这 种 构 造 函 数 的 思 路 在 2016 年 全 国 2 卷 再 次 出 现 ） ，则 xh 012 222 xexx ， 则 xh 单 增 ， 所 以
3、 1,0,00 xfxh ， 左 边 得 证(II)先 证 ： 当 1,0x 时 ， 22 411cos211 xxx （ 这 是 由 泰 勒 级 数 展 开 式 想 到 的 放 缩方 法 ， 2012辽 宁 卷 12 题 已 经 作 了 铺 垫 ， 其 目 的 在 于 可 以 把 多 项 式 函 数 放 在 同 一 个 平 台 来 处理 ） （ 略 ） xxxaxexxgxf x cos2121 32 23 4112121 xxxaxx （ 利 用 第 （ 1） 问 ， 都 放 缩 为 多 项 式 函 数 来 处 理 ） xa 3 （ 放 小 ， 因 为 可 以 无 限 制 逼 近 ， 所
4、以 由 小 的 大 于 0， 得 答 案 的 范 围 ）所 以 当 3a 时 ， xgxf 在 1,0x 恒 成 立 ，下 面 证 明 当 3a 时 ， xgxf 在 1,0x 不 恒 成 立 ， （ 放 大 ， 说 明 大 的 小 于 0， 矛 盾 ）法 一 ： xxxaxexxgxf x cos2121 32 23 2112211 1 xxxaxx xaxxx 321 32 （ 想 方 设 法 凑 出 3a 来 说 明矛 盾 ） 332233222 axxxaxx （ 在 1,0 之 间 ， 注 意 到 32 , xxx 相 互 的 放 缩 ）取 3 3,21min0 ax ， （ 取 数
5、 的 方 法 ： 直 接 根 据 要 求 0332 ax ， 且 在 1,0 取 一 个数 ， 比 如 21 ， 令 3 32,21min0 ax 即 可 ）则 存 在 0,0 xx 满 足 xgxf ， 矛 盾 ， 舍 去 。法 二 ： xxxaxexxgxf x cos2121 32 221 12212112211 1 2323 axxxxxaxxxxxaxx令 221 1 2 axxx ，当 2a 时 ， 02122 32 axxxx ， 所 以 xgxf ， 舍当 23 a 时 ， 00 ， 021 a ，因 为 x 在 1,0 上 单 减 ， 所 以 存 在 唯 一 的 1,00 x
6、 ， 使 得 00 x ，则 对 任 意 的 0,0 xx ， 0x ， 矛 盾 ， 舍 去 。综 上 3a在 6 月 7 日 上 午 在 很 多 群 里 都 发 了 预 测 题 ， 名 字 叫 PDF 预 测 ， 导 数 只 选 择 了 三 个 题 ， 其 中一 个 是 作 者 在 2017 年 5 月 份 根 据 2013 辽 宁 卷 原 创 的 一 个 题 目 ，变 式 ： （ 原 创 ） 已 知 axxxxxgxxf 221sin,1ln（ 1） 证 明 ： xxfxx 1（ 2） 若 1,0,01 xxgxfx 恒 成 立 ， 求 a的 取 值 范 围放 缩 法 +两 边 夹 的 思
7、 路 求 参 数 范 围 。 改 编 于 2013辽 宁根 据 这 样 的 情 况 ， 作 者 展 示 6.7 当 天 晚 上 探 究 这 个 解 题 的 过 程 ：探 究 ： 这 两 个 题 极 其 类 似 ， 2013 辽 宁 要 求 利 用 放 缩 法 求 参 数 的 范 围 。由 （ 1） 知 当 0,1x 时 ， 221ln x xx ； 当 0x 时 ， 221ln x xx当 0a 时 ， 对 任 意 的 ,0x ， 都 有 021 ax 021 1652122221 22 xx xaaxx axxx xaxxf 此 时 与 “ 0x 是 极 值 点 ” 矛 盾 。当 0a 时
8、， 由 （ 1） 知 0x 不 是 极 值 点 ，当 0a 时 ， 若 01 x ， 则 021 ax ， 21 1652122221 22 xx xaaxx axxx xaxxf ，向 后 推 进 ， 思 维 受 堵 。 我 们 需 要 再 一 次 准 确 理 解 “ 0x 是 极 值 点 ” 的 充 要 条 件 ，即 当 充 分 接 近 于 ,0 当 0 x 时 ， 有 0 xf ，由 此 得 到 了 其 成 立 的 必 要 条 件 ， 即 021 165 2 xx xaax ，准 确 理 解 极 值 点 成 立 的 条 件 只 需 要 一 个 0, ， 这 个 区 间 长 度 可 以 足
9、 够 小 ， 换 句 话 说 05ax， 即 需 要 016 a ， 即 61a 。同 样 由 也 可 以 得 到 61a ， 综 上 ： 61a解 答 过 程 如 下 ： 由 （ 1） 知 当 0,1x 时 ， 221ln x xx ； 当 0x 时 ， 221ln x xx 若 ax 21,0 ， 则 0212121 aaax从 而 有 21 1652122221 22 xx xaaxx axxx xaxxf当 61a 时 ， 对 于 aaax 5 16,21min0 ， 有 0165 aax ， 即 0 xf此 时 与 “ 0x 是 xf 的 极 大 值 点 ” 矛 盾 ， 所 以 61
10、a若 0,21ax ， 则 0212121 aaax从 而 有 21 1652122221 22 xx xaaxx axxx xaxxf当 61a 时 ， 对 于 05 16,21max xaaa ， 有 0165 aax ， 即 0 xf此 时 与 “ 0x 是 xf 的 极 大 值 点 ” 矛 盾 ， 所 以 61a综 合 得 61a . 高 观 点 下 函 数 导 数 压 轴 题 的 系 统 性 解 读 、 解 析 几 何 的 系 统 性 突 破 、 全 国 卷 高 考 数 学分 析 及 应 对 和 立 体 几 何 的 微 观 深 入 和 宏 观 把 握 一 定 值 得 你 去 读 一 读 。
