1、二项式定理1二项式定理：，01() ()nnrnnabCabCabN 2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。()n二项式系数:展开式中各项的系数 .rn0,12,)项数：共 项，是关于 与 的齐次多项式(1)rab通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。rnrC 1rnrTCab3注意关键点：项数：展开式中总共有 项。(1)顺序：注意正确选择 , ,其顺序不能更改。 与 是不同的。ab()nab()na指数： 的指数从 逐项减到 ，是降幂排列。 的指数从 逐项减到 ，是升幂排列。各项的n00次数和等于 .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依
2、次是 项的12,.rnnCC系数是 与 的系数（包括二项式系数） 。ab4常用的结论：令 1,x012() ()n rnnnCxxN 令 ,ab 1)rnCx 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 ，0nC1knC二项式系数和：令 ,则二项式系数的和为 ，ab0122rnnnnC 变形式 。12rnnC 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则 ，,ab0123(1)()0nnnnC从而得到： 0242 12r rnn 奇数项的系数和与偶数项的系数和：012012100123(), (1)nnnnn nnnnaxCaxCaxaxa
3、x 令 则 令 则 024135, ()2(1), nnnaa 得 奇 数 项 的 系 数 和 得 偶 数 项 的 系 数 和二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大2nC值。如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时n 12n取得最大值。系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分()nabx别为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。121,nAr12rrAr6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例： 1232166 .nnnCC解： 与已知的有一些差距，0123() 6n
4、nnC1232112(6)nn n 01 1(6)(76nnnC练： 12319 .nn C解：设 ，则3nnS12 012333 1(3)nnn nnnCCC ()41nnnS题型二：利用通项公式求 的系数；nx例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？3241()nx3453x解：由条件知 ，即 ， ，解得 ，由25nC24n290n9()10nn舍 去 或，由题意 ，10103341()rrrrTxx 123,64rr解 得则含有 的项是第 项 ,系数为 。376102TC0练：求 展开式中 的系数？29()x9x解： ，令 ,则182 1831999()()()
5、22rrrrrrrrTCxx9r3故 的系数为 。x39题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 的展开式中的常数项？210()x解： ，令 ，得 ，所以5202101 1()()rrrrrTCCx02r88910456练：求二项式 的展开式中的常数项？(2)x解： ，令 ，得 ，所以6 662111()()rrrrrrrTCCxx0r3346()0练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则2nx5_.n解： ，令 ，得 .44215()nnTCx206题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 展开式中的有理项？93()x解： ，令 ,( )得 ，127193621 9()rr
6、rrrrTCCxrZ09r39r或所以当 时， ， ，7463449(1)8Tx当 时， ， 。9r23r10x题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 展开式中偶数项系数和为 ，求 .231()nx256n解：设 展开式中各项系数依次设为23()nx01,na,则有 ， ,则有 1令 010,nax令 0123(1)2,naa将-得： 352()2n135,na有题意得， ， 。186n9练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。352()nx 1024解： ， ，解得042132r rnnnnnCC 1024n1所以中间两个项分别为 ， ，6,75654
7、3121()nTxx 61561Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中1(2)nx57二项式系数最大项的系数是多少？解： 解出 ，当 时，展开式中二项式系4652,1980,nnC14n或 7n数最大的项是 ， 当45T和 34475()2,C的 系 数 431()20,TC的 系 数时，展开式中二项式系数最大的项是 ， 。18714的 系 数练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。n21nT1n练：在 的展开式中，只有第 项的二项
8、式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nx5解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于512n8n6281()7C例：写出在 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ab解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大74,5第 项值，从而有 的系数最小， 系数最大。344TCab357TCab例：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项？91(2)nx解：由 解出 ,假设 项最大，01279,nn121r 1212()(4)x，化简得到 ，又 ，112124rrrrAC9.40.rr，展开式中系数最大的
9、项为 ,有01T12110()689Cx练：在 的展开式中系数最大的项是多少？1(2)x解：假设 项最大，1rT102rrrCx，化简得到 ，又1121002(1)0,rrrrAr 解 得 6.37.k， ，展开式中系数最大的项为07778150.TCx题型七：含有三项变两项；例：求当 的展开式中 的一次项的系数？25(3)xx解法： ， ，当且仅当 时， 的25()32515()(3rrrTx1r1rT展开式中才有 x的一次项，此时 ，所以 得一次项为142rCx14523C它的系数为 。14520解法： 250514501455()()()(2)xxCxCxC故展开式中含 的项为 ，故展开
10、式中 的系数为 240.44552练：求式子 的常数项？31(2)x解： ，设第 项为常数项，则36()()x1r，得 , , .662161()()r rrrTCC 0r3316()20TC题型八：两个二项式相乘；例： 342(12)xx求 展 开 式 中 的 系 数 .解： 33()2,mmx的 展 开 式 的 通 项 是 C444() 10,123,4,nnnxxn的 展 开 式 的 通 项 是 其 中2,02,()mn x令 则 且 且 且 因 此.021120343434()2(1)6xCCC的 展 开 式 中 的 系 数 等 于练： 61034(1)()求 展 开 式 中 的 常
11、数 项 .解：436103 3412610604()()mnmnxCxCx展 开 式 的 通 项 为 ,6,2,2, ,48mnnn 其 中 当 且 仅 当 即 或 或.03468616101024CC时 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为练： 2 *3(1)( ,8,_.nx N 已 知 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 且 则解： 343nrnrnrxx展 开 式 的 通 项 为 通 项 分 别 与 前 面 的 三 项 相 乘 可 得44142C,C, ,2rrrrnnnx n展 开 式 中 不 含 常 数 项,83765.n且 且 ， 即 且 且题型九：奇数项的系数和与偶数项的
12、系数和；例： 206(), ,2,_.xxSxS在 的 二 项 展 开 式 中 含 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 当 时解： 1232060axax设 =-26123206()xx -35520620620( )()()xxx 得 206 1() x S展 开 式 的 奇 次 幂 项 之 和 为 32062062063081,()()()S 当 时题型十：赋值法；例：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若31()nxps,则 等于多少？27ps解：若 ，有 ，2301()n nxaxax01nPa，0nnSC令 得 ，又 ,即 解得1x4P27ps427()26
13、0nnn， .26()nn或 舍 去 练：若 x3的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？64解：令 ，则n1的展开式中各项系数之和为 ，所以 6n，则展开式的常1 264n数项为 336()Cx.540例： 209123209 209121 (),aaaxaxR若 则 的 值 为解： 0920910 0222, ,ax令 可 得091, .在 令 可 得 因 而练： 54321012345(2) , _.xaxaxaa若 则解： 0012345, ,令 得 令 得12345.题型十一：整除性；例：证明： 能被 64整除2*89()nN证： 113(89nn0112118nnnnCC1118()nnn 01128nnnCC由于各项均能被 64整除 2*38964N能 被 整 除
