1、1函数图象平移与伸缩的通解对于函数图象的平移与伸缩问题,传统的处理手法过于繁杂,记忆量大,难于掌握.本文试图用代换的手法将其作一般性的探讨.一、函数图象的平移事实上,设函数 的图象,向右平移 个单位,得到的图象的解析式是 ,令点()yfxa()yfx是 的图象上任一点,点 向右平移 个单位得点 ,则点 在0(,)xy()f 0(,)xy0(,)x0的图象上,且 ,有 ,于是,把函数 的图象,向右平移f0xy0yf个单位,得到的图象的解析式是 (即以 代换 ).a()fxax我们定义:当 时,表示向右平移;当 时,表示向左平移.0a例 1 函数 是偶函数,则函数 的对称轴是(21)yfx(2)y
2、fA B. C. D. x1x12x解:函数 是偶函数,其对称轴为 ,以 代换 ,有 ,()yfx0a()1yfxa令 ,解得 ,故函数 的图象向左平移 个单位,得到函数2()1xa12a(21)yfx的图象,其对称轴 也相应地向左平移了 个单位,故选 D.yf 0x例 2 要得到函数 的图象,只需要将函数 的图象cos()4ysin2yxA. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位8 8C. 向左平移 个单位 D.向右平移 个单位4 4解: ,而在 中,以 代换 ,有cos(2)sin(2)sin(2)4yxxxsin2yxax.令 ,解得 .故选 A.sin)aa8方法二: .在 中,以
3、 代换 ,sics()cos()22yxxcos()2yxx有 ,令 ,解得 .故选 A.co2()48a同样地,把函数 的图象,向右平移 个单位,再向上平移 个单位,得到的图象的解析()gyfx b式是 (即以 , 分别代换 , ).()(gybfaybxy2同样,我们定义:当 时,表示向上平移;当 时,表示向下平移.0b0b例 3 函数 的图象,经过怎样的平移变换得到函数 的图象?sin()6yx sin()3yx解:在 中,以 , 分别代换 , ,有 .ayx6ba即 ,经对比,有 ,解得 .故把函数 的sin()6yxab63xb23asin()yx图象,向左平移 个单位,再向上平移
4、3 个单位,便得函数 的图象.2 sin()yx二、函数图象的伸缩与平移事实上,设把函数 的图象的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象的()yfx(0)k解析式是 ,()yf令点 是 的图象上任一点,点 的横坐标伸长到原来的 倍,得点 ,0,xfx0(,)xyk0(,)xy则点 在 的图象上,且 ,有 ,0(,)y()f0ky01xky于是,设把函数 的图象的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到的图象的解()fx()析式是 (即以 代换 ).1()yfk我们定义:当 时,表示伸长;当 时,表示缩短.01k例 4 函数 的图象,经过怎样的平移和伸缩变换得到函数 的图象?si
5、nx sin(2)46yx解:(先平移后伸缩)在 中,以 , 分别代换 , ,有 ,再siyxaybsi()ba以 代换 ,有 ,即 .对比有 ,1xk1in()bk1sin()xk1264xak得 .即把函数 的图象向左平移 个单位,再向上平移 4 个单位,后将横坐,462aiy6标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,可得函数 的图象.1sin(2)yx方法二:(先伸缩后平移)在 中,以 代换 ,有 ,再以 , 分别siyx1k1sinyxkayb代换 , ,得 ,即 于是 ,xy1sin()bakin()ab()2643得 , .即把函数 的图象横坐标缩短到原来的 倍12,46abk1,42
6、kabsinyx12(纵坐标不变) ,再向左平移 个单位,后向上平移 4 个单位,可得函数 的图象.si(2)46x把函数 的图象的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的 倍,得到的图象的解析式()gyfx ,(0)kl是 (即分别以 , 代换 ).1lk1xkyl,x我们定义:当 时,表示伸长;当 时,表示缩短.,l01kl例 5 已知函数 ,将 的图象向左平移 1 个单位,再将图象上所有点的纵2()log(1)fx()yfx坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变) ,得到函数 的图象.g(I)求 的解析式及定义域; (II)求 的最大值.()ygx ()()Fxfgx解:(I)依题意,在 中,以 (
7、即 )代换 ,得 ,即2log(1)yx(1x2lo(1)yx,再以 代换 ,得 .故得 .下略.2lo()yx12log)y2()l()x例 6 函数 的图象,经过怎样的变换得到函数 的图象?3sin(5)yxsin6y解:(先伸缩后平移)在 中,分别以 , 代换 ,有 ,3sin(5)yx1xkl,x153sin()yxlk再以 代换 ,得 ,即 ,令xa1alk53si()ya,得 .故把函数 的图象,横坐标伸长到原来315()6lxk15,32l in()3x的 5 倍(纵坐标不变) ,再将纵坐标缩短到原来的 倍(横坐标不变) ,后向右平移 个单位,即得函数2的图象.sin()6yx(本题也可“先平移后伸缩 ”行变换)