1、2005 年广州市青年教师高中数学解题比赛决赛试卷2005.3.20 上午本试卷共 8 页，第 1-页为选择题和填空题，第-8 页为解答题及答卷。请将选择题和填空题的答案做在第页的答卷上。全卷共三大题 20 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+(B) S4 R2如果事件相互独立，那么 其中 R 表示球的半径P(AB)=P(A)(B) 球的体积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 V R343Pn(k) Pk(1-P)n-k 其中 R 表示球的半径C第一部分 选择题（共 50 分）一、选择题：本大题共
2、 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将唯一正确的答案代号填在第页的答题卷上1.一枚硬币连掷三次至少出现一次正面朝上的概率是（ ）.(A) (B) (C) (D) 2148172.与 终边相同的角为（ ）. (A) (B) (C) (D) 4143433已知集合 ， ，则 S 与 M 的关系是（ ）.196),(2yxS1),(2yxM(A) (B) (C) (D)MSS4.函数 的增区间为（ ）.(A) (B) (C) (D) xxfln2)(),0)2,(),1(),0(5.观察下列四个电路图，结论正确的是（ ）.A B
3、CA B(A) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分不必要条件；(B) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的必要不充分条件；(C) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的充分且必要条件；(D) 图中开关 A 闭合是灯泡 B 亮的不充分又不必要条件.6.设 是平面直角坐标系内 轴， 轴正方向上的单位向量且 ，则ji, xy jiAC,ji4324的面积等于（ ）.(A) 15 (B) 10 (C) 7.5 (D) 5 BC7. 与 是定义在 R 上的可导函数.若 ，则 与 满足（ ）.xfgxgffxg(A) (B) 是常数函数 (C) (D) 是常数函数.xgf0f xgf8.2002 年 8 月
4、在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为 ，大正方形的面积为 1，小正方形的面积为，则 的值为（ ）. 25122cossin(A) (B) (C) (D) 547259.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量” ，设 是公na比为 、前项和为 的无穷等比数列，下列 的四组量：qnSna ； ； 中，一定能成为该数列的; 21s与 3a与 na与1q与“基本量”的是 （ ）.(A) (B) (C) (D) 10.已知直线 及平面 ,其中 ,那么在平面 内到两条直线 距离相等的点的集合可能为 nm、
5、 m/nm、一条直线； 一个平面； 一个点； 空集.其中正确的是（ ）.(A) ； (B) ； (C) ； (D) 第二部分 非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分. 请将答案填在第页的答题卷中.11.如图，在杨辉三角形中，从上往下数共有 行，在这些数中非 1 的数字之和是_.*nN11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 112若点 距 离 的 最 小 值到 直 线上 的 动 点 ， 则 点为 抛 物 线 05102 yxPxyPA C B 为 （3 分） ，此时点 的坐标为 （2 分）. P13.定义在 R 上的函数 ，对任意实数 ，
6、都有 和 ，且xfx3xff 2xff，则 的值为_.1f205f14.如图，在透明塑料做成的长方体封闭容器中注入一些水，固定容器的一边 DE 将其倾斜，随着容器的倾斜程度不同，水所构成的几何体的各个表面图形形状和大小也不同，试尽可能多地找出水所构成几何体的各个表面在变化中图形的形状或大小之间所存在的各种规律： .（要求：各种规律的表述要科学,准确.每答对 1 个给 1 分,本题满分 5 分）15 （本题满分 12 分）已知 的解集为 ，求实数 的值.23axb4、ba,16.（本题满分 13 分）已知函数 的图象关于直线 对称，当 , 且fy3x320)1(f时，试求 的值.523sinco
7、x4215xcosinf17.（本题满分 13 分）如图，直角梯形 OABC 中，AOOC，AB OC， .1,2ABOSC平面 OABC.以 OC， OA,OS 分别为 轴、 轴、SOxy轴建立直角坐标系 O- .zxyz（）求异面直线 SC 与 OB 所成角；（）设 ，满足 平面 SBC.求： qpn,1n 的坐标；OA 与平面 SBC 的夹角 （用反三角函数表示） ； 点 O 到平面 SBC 的距离.18.（本题满分 14 分）设 ， 为直角坐标平面内 轴、 轴正方向上的单位向量，若Ryx,ji、xy，且 .)(ib,j)y(ixa2 2 8ba（）求点 的轨迹 C 的方程；MF E (
8、第 14 题图 1) C ( 第 14 题 图 2 )D z y A B x （）过点（0，3）作直线 l 与曲线 交于 A、B 两点，设 ，是否存在这样的直线 l，使COBAP得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.19.（本题满分 14 分）某基本系统是由四个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.20（本题满分 14 分）直线 与 轴、 轴所围成区域内部（不包括边界）的整nyxN且,3xy点个
9、数为 ，所围成区域（包括边界）的整点个数为 （整点就是横、纵坐标均为整数的点）.na nb（）求 及 的表达式；b（）对区域内部的 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为 ，对所围区域的 个整点，n nAnb用红、蓝两色之一着色，其方法总数为 ，试比较 与 的大小.nBnAB2005 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案 D A C C D D B D B B11. 12. 13. 2005n2),25(420f14. 水面是矩形； 四个侧面中，一组对面是直角梯形，另一组对面是矩形； 水面的大小是变化的，水面与平面 CDEF 所成
10、二面角越小，水面的面积越大； 形状为直角梯形的两个侧面面积是不变的，这两个直角梯形全等； 侧面积不变； 侧面中两组对面的面积之和相等； 形状为矩形的两个侧面的面积之和为定值； AB+CD 为定值； 如果长方体的倾斜程度为 时，则水面与与底面所成的角为 90-； 底面的面积水面的面积cos（90-）水面的面积sin； 当倾斜程度增大，点 A 在 BD 之间时，A 与 B 重合时，BD2h（h 为水面原来的高度） ； 若容器的高度 PD，当 A 与 B 重合时，水将溢出； 点 A 在 BD 内部时，ADC 的面积为定值 . F E (第 14 题图 1) C ( 第 14 题 图 2 )D 三、解
11、答题15 （本题满分 12 分）已知 的解集为 ，求23axb,4实数 的值.ba,法一：如图,在同一直角坐标系中，作出 y （x0）x及 yax 的大致图像， 32设 yax 与 Y 轴及 y 分别交于 A、B、C 点32 x由条件及图像可知 A（0, ） ，B（4，2） ，3281 24a、令 C（b, ） （b）b由 得 BAk 42032ba3681b,a法二： 232xax依题意，上式等价于 b 0231ab 3681ba16.（本题满分 13 分）已知函数 的图象关于直线 对称，当 , 且xfyx320)1(f时，试求 的值.523sincox4cos2in15xf解：由 cosx
12、 sinx ，可得 cos（x+ ）52353且 sin2x 27 415xcosinCA B 又 是关于 x 3 对称的函数，fy f（ 7） f（ -1） 3204cos2in15xf17.（本题满分 13 分）如图，直角梯形 OABC 中，AOOC，ABOC ，. 平面 OABC.1,2ABOSCS以 OC， OA,OS 分别为 轴、 轴、 轴建立直xyz角坐标系 O- .yz（）求异面直线 SC 与 OB 所成角；（）设 ，满足 平面 SBC.求： qpn,1n 的坐标；OA 与平面 SBC 的夹角 （用反三角函数表示） ；点 O 到平面 SBC 的距离.解：（）.如图: （,） ，（
13、,） ，（,） ，（,） ， 0102B,SC 5 2O故异面直线 SC 与 OB 所成的角为 10arcos(). 1,CB,S由 平面 SBC nnS0CBS1pq 2q故 （法一）过 O 作 OEBC 于 E，连 SE，则 SEBC ， 故 BC面 SOE 1,nz y x z y A B x 过 O 作 OHSE 于 H，则 OH面 SBC OE SE=23621SE点 O 到平面 SBC 的距离为 .3（法二） （注：也可以利用法向量 求解，相应给分）n 延长 CB 与 OA 交于 F，则 OF2连 FH，则OFH 为所求角 此时 ， 为所求. 63sin6arcsin18. （本题
14、满分 14 分）设 ， 为直角坐标平面内 轴, 轴正方向上的单位向量，若Ryx,ji, xy，且 .)(ib,j)y(ixa22 8ba（）求点 的轨迹 C 的方程；,M（）过点（0，3）作直线 l 与曲线 交于 A、B 两点，设 ，是否存在这样的OBAP直线 l，使得四边形 OAPB 是矩形？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由.解：（）(解法一)由 知点 M（x,y）到两个定点 F1（0.-2） 、 F2（0,2）的距离之和为 88ba轨迹是以 F1、F 2为焦点的椭圆，它的方程是 16yx(解法二)：由题意得 822yx两次平方得 284整理得： 16yx（）l 过 y 轴
15、上的点（0，3） ，若 l 是 y 轴时，则 A、B 两点是椭圆的顶点由 知 P 与 O 重合这与四边形 OAPB 是矩形矛盾，OP直线 l 是 y 轴不可能当直线 l 的斜率存在时，可设直线 l 的的方程是 ykx+3 由题意得 1623kxy084kx此时 恒 成 立213412且 , 2kxBA234kxBA ，四边形 OAPB 是平行四边形.OP若存在直线 l,使四边形 OAPB 是矩形,则 , 0OBA,即有 0BAyx 09312Bxkk 34184122k ，当 存在直线 l: 使四边形 OAPB 是矩形. 5162k时 ，45345y19.（本题满分 14 分）某基本系统是由四
16、个整流二极管（串，并）联结而成.已知每个二极管的可靠度为 0.8（即正常工作时）.若要求系统的可靠度大于 0.85，请你设计出二极管的各种可能的联结方案（要求：画出相应的设计图形，并有相应的计算说明）.解： 全部并联，可靠度 1- 0.99840.85420. 每两个串联后再并联，可靠度 0.87040.8528.01 每两个并联后再串联，可靠度 0.92160.85201. 三个串联后再与第四个并联，可靠度 1-0.2 0.90240.853801. 两个串联后再与第三、第四个并联，可靠度 1-0.22 0.98560.8580.20 （本题满分 14 分）直线 与 轴、 轴所围成区域内部（
17、不包括边nyxNn且,3xy界）的整点个数为 ，所围成区域（包括边界）的整点个数为 （整点就是横、纵坐标均na nb为整数的点）.（）求 及 的表达式；nb（）对区域内部的 个整点用红、黄、蓝三色之一着色，其方法总数为 ，对所围区域na nA的 个整点，用红、蓝两色之一着色，其方法总数为 ，试比较 与 的大小.n nBnB解：.求区域内部（不包括边界）的整点个数 ,就是求不等式 xyn 的正整数解，na当 x1 时，y1,2,（n-2） ，共 n-2 个值，当 x2 时，y1,2,（n-3） ，共 n-3 个值，依此类推得： 1+2+（n-2） . na21求区域（包括边界）的整点个数 ,就是
18、求不等式 xyn 的非负整数解，nb同上得： （n+1）+n+2+1+ nb. 对区域内部的 个整点中的每一个都有三种着色方法，由乘法原理知：na， 213nA同理 nbnB 当21421342142121893 nnnnnnn BA时有 4得 150152Nnn14 时， AnB 当时21215485212310210 nnnn Bnn有 -54得 1202132nNnn12 时， AB最后，=13、14 时，比较 与 的大小 n由 10536132,有 4863176.lgAl 05015013B所以 n=13 时， nB同理，n=14 时， A故 3n13 时， n14 时， . nAB
