1、第三节 传递函数的概念及基本环节的传递函数,传递函数是描述系统运动规律的一种数学表达式。它是一个复变量函数。按传递函数，可以把工程中所遇到的元件、部件或系统用典型环节表示出来。引用了传递函数的概念之后，可以更直观、更形象地表示一个系统的结构和系统各变量间的数学关系，并使运算可以大为简化 。,一.传递函数的概念,线性定常系统的传递函数定义为：当全部初始条件为零时（输入量施加于系统之前，系统处于稳定的工作状态，即t 0 时，输出量及其各阶导数也均为0），输出量y(t)的拉氏变换Y(s)与输入量x(t)的拉氏变换X(s)之比叫做系统的传递函数G(s)。,设线性定常系统输入为x(t) ，输出为y(t)
2、 ，描述系统的微分方程的一般形式为 :,（2-51）,式中，nm; an、bm均为系统结构参数所决定的定常数 。（n，m=0、1、2、3）,如果变量及其各阶导数初值为零，取等式两边拉氏变换后得,（2-52）,根据传递函数的定义，系统的传递函数G(s)为,(2-53),特征方程,X(s)=0 系统的特征方程，特征根。 特征方程决定着系统的动态特性。 X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。,当s=0时 系统的放大系数或增益,！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导数项都为零。K 系统处于静态时，输出与输入的比值。,零点和极点,的根,，称为传递函数的零点；,的根,，称为传递函数的极点；,！系统传递
3、函数的极点就是系统的特征根。！零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数！,零、极点分布图,传递函数的零、极点分布图：,将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。,零点用“O”表示极点用“”表示,传递函数分母多项式中s的最高幂数代表了系统的阶数，如s的最高幂数为n则该系统为n阶系统。,结论,传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即以系统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。若输入给定，则系统输出特性完全由传递函数G(s) 决定。,传递函数是复数s域中的系统数学模型。其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。,注意,适用于线性定常系统 只适合于单输入单输出
4、系统的描述 无法描述系统内部中间变量的变化情况 传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律 传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数,例 试写出具有下述微分方程式的传递函数。,（）,（）,解：按（2-53）式，则传递函数为,（）,（）,二、典型环节的传递函数,设系统有b个实零点;d 个实极点;c 对复零点; e对复极点;v个零极点。,b+2c = m v+d+2e = n,把对应于实数零点zi和实数极点pj的因式变换成：,式中,把对应于共轭复数零点、极点的因式变换成：,式中,而,式中,！串联,比例环节,一阶微分环节,二阶微分环节,积分环节,惯
5、性环节,二阶振荡环节,理想微分环节,延迟环节,系统传递函数一般形式可以写成：,环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件 一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成 同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用,1.比例环节（又称放大环节）,比例环节的微分方程式为,则传递函数为,（2-54）,式中k比例系数,这类环节在工程中是很多的，比如齿轮系统中的输出转速与输入转速的关系；杠杆中的输出位移和输入位移的关系；电位计中的输出电压与输入转角的关系；电子放大器中输出信号与输入信号的关系等,常见的比例环节,2.惯性环节（又称非周期环节）,惯性系统的传递函数是,式中
6、，y为输出量；x为输入量。对上式进行拉氏变换得：,惯性环节的微分方程是,式中，K为放大系数；T 为时间常数。,设x(t)为一单位阶跃函数，并且当t=0时y(t)=0 ，则解这一微分方程得:,（2-64）,由图可见这一环节的输出不能立即复现输入，而成惯性效应。故称他为惯性环节。,惯性环节的单位阶跃响应曲线,由式（2-64）知：,常数T越小，环节的初始响应速度就越快。把表征响应速度快慢的这一常数T称为时间常数。惯性环节时间常数的物理含义：若响应速度保持其初始值不变，则输出达到稳态值y()所需的时间就是时间常数T。,例 如图2-12所示的RC电路，当输入电压ui(t)输出电压uo(t)，i为电流，R
7、为电阻，C为电容，通过列写该电路的微分方程，进而通过拉氏变换求得输出对输入的传递函数。,图2-12 RC电路,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到 ：,通过拉氏变换，求得电路的传递函数为,式中 T=RC为该电路的时间常数,例 设有一个液压缸如图2-13 所示，它带动具有弹性系数为k的弹性负载和阻尼系数为Bc的阻尼负载。试求以压力p为输入量，与以活塞位移x为输出量的传递函数。,图2-13油缸负载系统,解：液压缸的作用力F,式中p进油压力,A液压缸工作面积,该力用于克服阻尼负载和弹性负载，即,式中x 液压缸输出位移,Bc阻尼系数,K 弹簧刚度,合并以上两式，得液压缸的运动方程式：,传递函数为,
8、式中,3.微分环节,一阶微分环节,理想微分环节,二阶微分环节,式中，T为常数； 为阻尼比。,对应于上面微分方程式的传递函数分别为,理想微分环节,一阶微分环节,二阶微分环节,其中，若 具有实根时，二阶微分环节，实际上是两个一阶微分环节的串联。,例 图示的电气环节，输入电压ui(t),输出电压为uo(t)，试写出其传递函数。,解：按基尔霍夫定律建立回路电压方程式得到,经拉氏变换后，整理，可得传递函数为,式中,如果RC很小，传递函数可以近似写成G(s)=Ts。可以把该RC电路看成理想微分环节。,4.积分环节,积分环节的微分方程为,传递函数为,具有上式传递函数的环节，称为积分环节。,式中 T积分时间常
9、数。,例 如图所示的油缸，其输入为流量q，输出为油缸活塞的位移x，试写出其传递函数。,液压积分环节,解：活塞的速度为,所以位移,式中A活塞的面积,对上式取拉氏变换，并整理，则得其传递函数为 ：,注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与输出量后的传递函数而定。,例 如图所示的无源网络，输入量为回路电流i,而输出量为uc，试写出其传递函数。,电气积分环节,解：电容器充电电流i与电容器两端的电压uc关系为,进行拉氏变换得传递函数为,5.振荡环节,其微分方程式为,传递函数为,在图2-1a所示的机械系统可以
10、看作这种环节。,对于平移机械系统，微分方程式为：,其传递函数为,6. 延迟环节输出与输入关系具有延迟关系的环节，称为延迟环节。该环节的输出滞后输入时间后不失真地复现输入，如图2-10所示，其微分方程为,传递函数为,常见的机、电、液典型环节见附录A；机械网络及其传递函数见附录B,实际上，任何线性系统都可由8种（或其中若干种）典型环节构成，这8种典型环节的传递函数如下：,1、放大环节（或比例环节）,2、理想微分环节,3、一阶微分环节,4、二阶微分环节,5、积分环节,6、惯性环节,7、振荡环节,8、延迟环节,第四节 系统框图及其简化,框图是系统中各个元件功能和信号流向的图解表示。用框图表示系统的优点
11、:1. 只要依据信号的流向，将各环节的框图连接起来，就能容易地构成整个系统；2. 通过框图可以评价每一个环节对系统性能的影响，便于对系统进行分析和研究。框图和传递函数表达式一样包含了与系统动态性能有关的信息，但和系统的物理结构无关。因此，不同的物理系统，可以用同一框图表示；另外，由于分析角度的不同，对于同一系统，可以画出许多不同的框图。,结构框图将系统中各元件的名称或功用写在框图单元中，并标明它们之间的连接顺序和信号流向，主要用来说明系统构成和工作原理。,函数框图把元件或环节的传递函数写在框图单元内，并用表明信号传递方向的箭头将这些框图单元连接起来，主要用来说明环节特性、信号流向及变量关系，便
12、于分析系统。,一.框图单元、比较点和引出点,1. 框图单元如图2-14所示，图中指向框图单元的箭头表示输入，从框图出来的箭头表示输出，箭头上标明了相应的信号，G(s)表示其传递函数。,2. 比较点(相加点)如图2-15 所示，比较点代表两个或两个以上的输入信号进行相加或相减的元件，或称比较器。箭头上的“+”或“-”表示信号相加还是相减，相加减的量应具有相同的量纲。,图2-15比较点,3.引出点(分支点)如图 2-16所示，分支点表示信号引出和测量的位置，同一位置引出的几个信号，在大小和性质上完全一样。,图2-16引出点,二、系统构成方式及运算法则,1.串联连接 各环节一个个顺序连接称为串联，如
13、图2-17所示。,前一框图的输出为后一框图的输入。G1(s)、G2(s)为各个环节的传递函数，综合后总的传递函数为：,由串联环节所构成的系统，当前后方框之间无负载效应时，它的总传递函数等于个环节传递函数的乘积。当系统由n个环节串联而成时，总传递函数为：,（2-55）,式中Gi(s)第i个串联环节的传递函数(i=1，2，n ),2.并联连接 凡有几个环节的输入相同，输出相加或相减的连接形式称为并联。图2-18为两个环节的并联，共同的输入为X(s)，总输出为:,总的传递函数为,并联环节所构成的总传递函数，等于各个并联环节传递函数之和（或差）。推广到n个环节并联，其总的传递函数等于各并联环节传递函数
14、的代数和，即,（2-56）,式中Gi(s)第i个并联环节的传递函数(i=1，2，n ),3. 反馈连接 将系统或某一环节的输出量，全部或部分地通过反馈回路回馈到输入端，又重新输入到系统中去。反馈信号与输入信号相加的称为“正反馈”，与输入信号相减的称为“负反馈”。,由图可见：,（2-57）,（2-58）,将( 2-58 ) 式代入( 2-57 ) 式，经整理后，可得传递函数为：,（2-59）,（2-59）式中，传递函数分母的“+”号对应于负反馈情况，而“-”号对应于正反馈情况。,前向通路：信号沿箭头方向从输入直到输出，并且每一路径不要重复的通道。前向通路传递函数：在前向通路中，所有经过的环节的乘
15、积。可由下式计算：,（2-60）,反馈回路传递函数：H(s)称为反馈回路传递函数，它是信号沿着输出端进入，而回到输入端时所有经过的环节乘积，即,（2-61）,常用的几个术语,开环传递函数：G(s)H(s)称为系统的开环传递函数，可表示为,（2-62）,注意 ：开环传递函数和开环系统传递函数是不一样的。将（2-60）、（2-62）代入（2-59）式中，则系统的闭环传递函数为 ：,（2-63）,当H(s)=1时，我们将系统称为单位反馈系统或全反馈系统。,可以对输入量与干扰量单独地进行处理，然后再叠加，就可以得到总的输出Y(s)。,同时存在输入量X(s)与干扰量N(s)时的系统,在输入量X(s)的作
16、用下可把干扰量N(s)看作为零，系统的输出为YR(s)，则,(2-64),在干扰量N(s)作用下可把输入量X(s)看作为零，系统的输出为YN(s) ，则,（2-65）,在（2-64）式中，称GR(s)为输出量对输入量的传递函数，即,在（2-65）式中，称GN(s)为输出量对干扰量的传递函数，即,系统总的输出量,三、绘制系统框图的方法,1、列出描述系统各个环节的运动方程式，明确信号的因果关系（输入/输出）；2、假定初始条件等于零，对方程式进行拉氏变换，求出环节的传递函数，并将它们分别以方块的形式表示出来；3、按照信号在系统中的传递、变换过程，依次将各部件的方框图连接起来，得到系统的方框图。,例
17、绘制图示的二阶RC回路的框图。,解：首先列出系统原始方程,求出与上述方程式相对应的拉氏变换式,例：绘制图示机械系统的框图。设作用力fi(t)、位移x(t)分别为系统的输入量、输出量。,解：,拉氏变换得,四、框图的变换法则,系统可以由多个典型环节以不同方式联接，通常采用框图的变换法则将其变换成最基本的联接方式，最后可以轻而易举地得到系统的传递函数。,表2-3 框图变换法则,等效是这一框图与原框图不管内部联接如何变化，但从进入到框图的输入信号以及输出信号来看，这些量都是不变的。,结论：,1、分支点可以互换；,2、相加点可以互换；,3、分支点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中乘或除以所跨接的传
18、递函数；,4、相加点可以前移或后移，但移动之后，需在此回路中除或乘以所跨接的传递函数；,注意：前移是迎着信号输入方向移动；后移是顺着信号输出方向移动。,五、系统传递函数的求法,一个系统，只要可以画出框图联接方式，然后应用变换法则与基本连接公式，就很容易求得系统的传递函数。,例2-15试简化如图2-20a所示系统的框图，并求系统传递函数。,解：1、A点后移，得到图2-20b所示的方框图。,2、消去回路，得到图2-20c所示的方框图。,3、消去回路，得到图2-20d所示的方框图。,4、消去回路，得到图2-20e所示的方框图。,所以,例 求出如图2-21所示框图的传递函数。,图2-21 a),解：1
19、、图2-21(a)的分支点A后移到分支点B处，因而得到图2-23(b)所示的方框图。它包括三个回路，分别以、标明。,图2-21 b),2、第回路的传递函数为：,以F3(s)代替第回路，从而得到图 2-21 (c),图2-21 c),3、 第回路的传递函数为：,以F2(s)代替第回路，从而得到图2-21(d),图2-21 d),4、最后，得到系统的传递函数为,可以将其表示在图 2-21（e）的框图中。,图 2-21（e）,第七节 信号流程图及梅逊公式,当系统很复杂时，框图的简化过程就显得很复杂。 信号流程图是另一种分析复杂系统的有用工具，它可以不需要经过任何简化，直接采用梅逊公式求出系统的传递函
20、数。,一、信号流程图及术语,二、信号代数运算法则,三、系统信号流程图的画法,图2-22（a）的框图可表示成图2-22 (b)的信号流程图。,图2-22框图与信号流程图,信号流程图中的输入节点表明框图的输入信号X(s)，输出节点表示了输出信号Y(s),支路的传输表示了传递函数。,反馈回路的框图与信号流程图的对应关系,信号流程图中的E(s)点为只有一个输出支路的混合节点，它对应于框图中的相加点A。 信号流程图中的混合节点Y(s)对应于框图中的分支点B。 反馈回路中的传递函数H(s)可用信号流程图中的Y(s)节点到E(s)节点的传输表示，如为负反馈，传输前加“”号。,例试将图2-23的框图化为信号流
21、程图。,图2-23 框图,图2-24 信号流程图,解：图2-23框图可化为图2-24的信号流程图。,例试将图2-25的框图化为信号流程图。,图2-25 框图,解：图2-25框图可化为图2-26的信号流程图。,图2-26 信号流程图,四、梅逊公式,在信号流程图上，利用梅逊公式可以直接计算出来系统的传递函数。,梅逊公式可表示为：,（2-66）,式中： PK -第K条前向通路的通路传递函数； - 信号流程图的特征式，可由下式计算,（2-67）,上式中,:为所有不同回路的传递函数之和；,:为每两个互不接触回路传递函数乘积之和；,:为每三个互不接触回路传递函数乘积之和；,K :第K条前向通路特征式的余因
22、式，其值是除去与第K条前向通路相接触回路传递函数以后的值。,例 试求出图2-24信号流程图表示的系统传递函数。,解：此例中仅有一条前向通路P1 ，三条反馈回路分别为L1 ，L2及L3 ，且L1及L2互不接触（即为独立回路）,所以 ：,因为L1 ，L2及L3都同前向通路P1相接触,最后可求得系统的传递函数为：,例 试求出图2-27信号流程图所示系统的传递函数。,图2-27 信号流程图,解：此例有三条前向通路，分别为P1，P2与P3，还有四条反馈回路L1，L2，L3与L4且L1与L2不接触。,所以：,（全部回路都与P1接触）,（全部回路都与P2接触）,最后可以求出系统的传递函数：,(L1与P3不接
23、触),例 利用梅逊公式求如图所示系统的传递函数。,图2-28,解：本系统只有一条向前通道，其传递函数为：,系统有五个反馈回路，其传递函数都是,故：,5个反馈回路之中，有6对彼此不接触的回路。这6对回路是：回路1与2；回路2与3；回路1与3；回路3与4回路1于5和回路4与5。这6对彼此不接触的回路，每对回路的传递函数之积都是：,故：,这五个反馈回路中，只有一组三个互不接触的回路。他们是回路1、2、和3。故：,又5个反馈回路都和向前通道接触，故：,利用公式可以求得系统的传递函数如下：,5个反馈回路中，不存在四个以上互不接触的回路。故特征式为：,本章要解决的问题：1怎样抽象一个具体自动控制系统;2基
24、本数学工具（拉氏变换）;3数学模型的形式（经典的有三种：微分方程、传递函数、方框图）及其联系。,本章内容：1. 掌握建立线性系统微分方程方法2. 掌握非线性系统的线性化基本原理3. 掌握拉氏变换的概念4. 掌握拉氏变换的基本性质5. 掌握拉氏变换的方法6. 掌握拉氏反变换的方法7. 掌握用拉氏变换及反变换解常系数线性微分方程8. 掌握传递函数的基本概念9. 掌握基本环节传递函数的计算方法10. 掌握方框图的概念、建立及其等效变换方法,本章重点,数学模型的概念及其重要性；系统数学模型的建立方法；拉普拉斯变换和反变换；传递函数、动态结构图及其等效变换；同一系统数学模型的多样性及相互变换。,本章难点,1. 控制系统微分方程的建立；2. 传递函数的概念；3. 结构图等效变换的正确运用4.用梅逊公式求系统的传递函数。,
