1、第2章 被控对象的数学模型,2.1 被控对象的特点及其描述方法 2.2 对象数学模型的建立 2.3 描述对象的特性参数,第2章 被控对象的数学模型,第2章 被控对象的数学模型,什么是被控对象？,被控制的系统,蒸汽加热器温度控制系统,蒸汽加热器？加热器的出料温度？,被控对象,被控变量,2.1 对象的特点及其描述方法,1数学模型自动控制系统由被控对象、测量变送装置、控 制器和执行器组成，系统的控制质量与组成系统的 每一个环节的特性都有着密切关系。被控对象特性 对控制质量影响最大。自动控制系统的设计过程：了解对象特性及其内部规律 根据工艺对控制 质量的要求 设计合理的控制系统 选择合适的 被控变量和
2、操纵变量 选用合适的测量元件及控 制器 自动控制系统。,2.1 对象的特点及其描述方法,对象的特性:对象的输出输入关系。研究对象的特性：用数学方法描述对象的输出 输入关系，即数学建模,y(t)=fx(t),2.1 对象的特点及其描述方法,稳态数学模型：设备的结构、尺寸、工艺流程、工艺条件等。动态数学模型:研究输入量如何影响输出量。,2.1 对象的特点及其描述方法,2. 数学模型的表达形式非参量模型图形曲线和数据表格。参量模型数学方程设对象的输入量为x(t)，输出量为y(t)，则对象的特性可用下列微分方程描述：（2-2）,2.1 对象的特点及其描述方法,对于一阶对象，（2-3）改写成标准形式（2
3、-4） 对象的时间常数: T=a1/a0对象的放大系数: K=1/a0T、K与对象特性有关，由对象的内部结构机理等决定。,2.2 对象数学模型的建立,1建模的目的对象数学建模的目的在于自动控制系统设计、分析、运 行、研究、故障诊断等的需要。建模的方法：机理建模，实验建模，混合建模。,2.2 对象数学模型的建立,2机理建模根据对象或生产过程的内部机理，写出有关的平衡方程、 物性方程及设备的特性方程等。特点：物理意义明确，适应生产，便于参数调整。,2.2 对象数学模型的建立,（1）一阶对象贮槽对象如图2-2所示。被控对象是贮槽，被控变量是物位h（输出 量），设阀门2开度不变，阀门1开度可能变化。贮
4、槽阀门截 面积为A。 工艺要求：物位h保持一定数值。当Q1 = Q2时，h=常量，系统处于静态。当阀门1开度变化时，h变化。（令Q1 、Q2 为偏离初始平衡状态的变化值）,图2-2 贮槽对象,2.2 对象数学模型的建立,贮槽的物料平衡关系：对象物料蓄存量的变化率=单位时间流入对象物料 单位 时间流出对象的物料。 在dt时间内，Q1Q2 dh (Q1 Q2)dt=Adhdh Q2 ，设Q2 = h/Rs（Rs为出水阀门2的阻力系数），消去Q2 (Q1 h/Rs)dt=Adh 整理改写为式中，T=ARs对象的时间常数；K=Rs对象的放大系数。,2.2 对象数学模型的建立,RC电路RC电路如图2-3
5、所示，设输入信号为ei，输出信为eo，根 据基尔霍夫定律可得 ei=iR+eo （2-10）电路中的电流强度i为（2-11）联立求解式（2-9）和式（2-10），得（2-12） 或（2-13） 式中，T=RCRC电路的时间常数。 图2-3 RC电路,2.2 对象数学模型的建立,（2）积分对象当对象的输出参数与输入参数对时间的积分成比例时，称 积分对象。图2-2所示的液体贮槽，如果阀门2改为正位移泵，如图2- 4所示，则Q2将是常数（不随h而变化），其变化量为0。设 Q1为流入量的变化量，那么就有Adh=Q1dt（2-14） 对式（2-13）积分，可得（2-15） 这就是图2-4所示贮槽的积分特
6、性。,图2-4 积分贮槽,2.2 对象数学模型的建立,（3）二阶对象当对象的动态特性可以用二阶微分方程来描述时，该对象称为二阶对 象。串联贮槽对象对于图2-5所示的串联贮槽对象，设其输入量是Q1，输出量是h。当输入量、输出量变化很小时，贮槽的液位与输出流量具有线性关 系：Q12=h1/R1 （2-16）Q2=h2/R2 （2-17） 式中R1、R2分别表示第一只贮槽的 出水阀与第二只贮槽的出水阀的阻 力系数。,图2-5 串联贮槽对象,2.2 对象数学模型的建立,假设两只贮槽的截面积都是A，则有： (Q1Q12)dt=Adh1 (2-18) (Q12Q2)dt=Adh2 (2-19)改写式（2-
7、18）和式（2-19）（2-20）（2-21）由式（2-21）解得（2-22）将式（2-17）代入式（2-22），然后再代入（2-20）得（2-23）,2.2 对象数学模型的建立,将式（2-16）、式（2-17）代入式（2-21），并求导， 得（2-24）将式（2-23）代入式（2-24），并整理后得（2-25）改写成（2-26） 式中，T1=AR1第一只贮槽的时间常数；T2=AR2第二只 贮槽的时间常数；K=R2整个对象的放大系数。这是描述串联贮槽对象特性的一个二阶常系数微分方程， 说明串联贮槽对象是一个二阶对象。,2.2 对象数学模型的建立,RC串联电路图2-6是由两个形式相同的RC电路串
8、联而成的滤波电路， 根据基尔霍夫定律，电路方程为（2-27）（2-28）（2-29）化简、整理以上三个方程，最后得 图2-6 RC串联电路 （2-30）这也是一个二阶常系数微分方程，说明也是一个二阶对 象。,2.2 对象数学模型的建立,3实验建模由于工程实际对象及过程复杂，数学建模及其求解困难 实验建模（实验测取法）。人为（已知）输入作用到对象 仪表测取、记录表征对象特性的物理量（输出量）随时间变化的规律 实验数据（曲线） 分析处理 数学模型。 用对象的输入输出特性实测数据来决定其模型的结构和参数，称为系统辨识。,图2-7 对象特性,2.2 对象数学模型的建立,（1）阶跃反应曲线法（输入幅值受
9、限，测取精度较差）对象：简单水槽，如图2-8所示；输入量：输入流量Q1 ，阀门开度控制其变化；输出量：液位h。tt0时， Q1 =Q2，h=Const.；tt0时，阀门1突然开大，输入流量Q1改变幅度为A(流量表测得，一 般A取为Q1额定值的5%10%)，同时液位表测得h=h(t)。如图2-9所示。,图2-8 简单水槽对象 图2-9 水槽的阶跃反应曲线,2.2 对象数学模型的建立,（2）矩形脉冲法矩形脉冲干扰输入信号：x(t)=A，(t0tt1)；实验测取对象输出信号：y(t)实验曲线。矩形脉冲法如图2-10所示。输入幅值可以提高,图2-10 矩形脉冲特性曲线,2.2 对象数学模型的建立,（3
10、）矩形脉冲波（方波）和正弦信号（频率特性）法利用方波和正弦波干扰信号测取对象的动态特性，如图2- 11和图2-12所示。图2-11 矩形脉冲波信号 图2-12 正弦波信号,2.2 对象数学模型的建立,实验建模测试过程注意事项：待系统稳定后加测试信号；响应曲线的起始点是输入量作阶跃变化时； 测试过程应排除其它干扰因素的影响，须重复多次测 试；测试过程应持续到新稳态值为止；选取符合正常工作状态的测试工作点。,2.2 对象数学模型的建立,4混合建模机理建模+实验建模 混合建模机理分析提供数模的结构形式；实验测试确定其未知或不确定参数（参数 估计）。综合机理建模和实验建模两者的优点。,2.3 描述对象
11、特性的参数,对象的特性除了用数学模型描述外，在实际工程 中常用放大系数K、时间常数T和滞后时间三个物理 量（对象的特性参数）来描述。主要讨论对象在具有一定幅值的阶跃干扰作用下 的响应特性。对象特性 微分方程 特性参数y=f(x) K，T，,2.3 描述对象特性的参数,1放大系数K放大系数K在数值上等于对象（重新）处于稳定状态时的 输出变化量与（引起输出变化的）输入变化量之比，即简单贮槽对象:,图2-13,图2-2,K=h/Q1,2.3 描述对象特性的参数,放大系数K反映的是对象处于稳态时输出与输入之间的关系，所以它描述的是对象的静态性能，是对象的一个静态参数。 实际上应视为对象的静态灵敏度。
12、放大系数K越大，被控量对输入量的的变化就越灵敏。选择自动控制方案时需要考虑此特性，选择操纵变量。,2.3 描述对象特性的参数,例如，合成氨变换炉,一氧化碳转换炉示意图 不同输入作用时的被控变量变化曲线,2.3 描述对象特性的参数,2时间常数T时间常数T反映被控对象在干扰作用下，被控变量变化的 快慢程度，它是描述对象动态特性的参数。对图2-14所示的不同简单贮液槽和不同加热反应器被控对象：,2.3 描述对象特性的参数,图2-14 不同时间常数对象的响应曲线,当进口流量改变相同时，截面积大的贮液槽液位变化慢，截面积小的贮液槽液位变化快；,2.3 描述对象特性的参数,图2-14 不同时间常数对象的响
13、应曲线,当蒸汽流量变化相同时，直接蒸汽加热反应器温度变化快，夹套蒸汽加热反应器温度变化快。,2.3 描述对象特性的参数,放大系数K和时间常数T的物理意义对图2-2所示的简单贮槽对象：设阶跃输入作用： ，被控变量（输出）h的响应为：响应曲线：如图2-15所示。,图2-15 简单贮槽对象的阶跃响应曲线,2.3 描述对象特性的参数,放大系数K的物理意义K是对象受到阶跃输入作用后，被控变量新的稳态与所加输入量之比放大系数；是对象受输入作用后重新达到平衡状态时的性能， 不随时间变化静态特性。,2.3 描述对象特性的参数,时间常数T的物理意义或 ；则,2.3 描述对象特性的参数,时间常数T是指当对象受到阶
14、跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63.2%所需时间；或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始变化速度变化，达到新的稳态值的时间。如图2-17所示。时间常数T是反映被控变量变化快慢程度的常数，因此它是对象的一个重要的动态参数。,图2-17 时间常数T示意图,2.3 描述对象特性的参数,被控变量在阶跃输入作用下达到新的稳态值的时间，理论 上为无穷长。实际上只要经过3T时间，便可认为其动态响应 过程基本结束。因为h(3T)=KA(1e3)=0.95KA=0.95h() （2-37）,图2-16是不同时间常数T的反应曲线,图2-16是不同时间常数T的反应曲线。,2.3 描述对象特性的参数
15、,3滞后时间 滞后时间是纯滞后时间0和容量滞后时间h的总和 = 0 + h对象在受到输入作用后，被控变量却不能立即而迅速地变 化的现象称为滞后现象；或输出变量的变化落后于输入变量 的变化的现象称为滞后现象。滞后现象用滞后时间表示。,2.3 描述对象特性的参数,（1）传递滞后（0）由于介质的输送或热的传递需要一定时间引起的滞后称为传递滞后或纯滞后，纯滞后时间用0表示。图2-18是传递滞后的一个工程实例（溶解槽溶液浓度对加料斗加料量的变化的响应），响应的滞后时间为 =L/v (2-38),图2-18 传递滞后及其反应曲线,2.3 描述对象特性的参数,图2-19是蒸汽加热器输出溶液温度对蒸汽量变化的
16、响应的 传递滞后实例。,图2-19 蒸汽加热器 图2-20 有、无滞后的一阶阶跃响应曲线,2.3 描述对象特性的参数,系统在阶跃输入x(t)作用下，有、无滞后的响应y(t)和y(t) 曲线除时间滞后外，曲线的形状（变化规律）完全相同，如 图2-20所示。（2-39） 或（2-40）无纯滞后的对象特性为（2-41）有纯滞后的对象特性为（2-42）,2.3 描述对象特性的参数,(2) 容量滞后(h)由于物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的滞后称得上为容量滞后或过渡滞后，容量滞后时间用h表示。容量滞后现象的特点是，对象在受到阶跃输入作用后，被控变量开始变化很慢，后来才逐渐加快，最后又变慢直至逐
17、渐接近稳定值，故容量滞后又称为过渡滞后。,2.3 描述对象特性的参数,(2) 容量滞后(h) 对于图2-5所示串联贮槽二阶对象，为方便和通用性考 虑，将输出量h2用y表示，输入量Q1用x表示，则其微分方程 为(2-43)当输入x为阶跃函数时，方程（2-43）的解为 y(t)=ytr(t)+yss(t) （2-44） 式中，ytr (t)对应齐次方程的通解；yss (t)对应非齐次方 程的一个特解。,2.3 描述对象特性的参数,由于方程（2-43）对应齐次方程为（2-45） 其特征方程为 T1T2S2+(T1+T2)S+1=0 (2-46) 其特征根为 S1=1/T1，S2=1/T2 (2-47
18、) 故齐次方程的通解为(2-48) 式中，C1、C2为由初始条件决定的系数。,2.3 描述对象特性的参数,方程（2-43）的一个特解可以认为是稳定解，由于输入阶 跃函数x=A，稳定时 yss(t)=yss ()=KA (2-49)将式（2-48）与式（2-49）代入式（2-44），得(2-50)初始条件：y(0)=0，y(0)=0，根据式（2-50），可分别求 得（2-51）（2-52）,2.3 描述对象特性的参数,将式（2-51）和式（2-52）代入式（2-50），可得（2-53） 由此可以画出具有容量滞后的串联贮槽二阶对象对阶跃输入 的响应曲线，如图2-21所示。图2-21 具有容量滞后对
19、象的阶跃响应曲线,2.3 描述对象特性的参数,可以在一定近似处理条件下，用一阶对象的三个参数（K、T、）来描述容量滞后。其方法：,过拐点O作切线，与时间轴交点确定容量滞后h；与稳定值KA线交点确定时间常数T。,2.3 描述对象特性的参数,如果系统同时存在纯滞后和容量滞后，则两者结合起来统 称滞后时间=0+h。如图2-23所示。滞后时间=0+h，也是反映对象动态特性的重要参数。滞后的存在不利于控制，故在设计和安装控制系统时，应 尽量使滞后时间最小。一般 认为：当/T0.3时，系统容易 控制；/T0.6时，须采用特殊 控制方案。,图2-23 滞后时间示意图,第2章 被控对象的数学模型,作业：2-1，2-2，2-11，2-12，2-13;2-8，2-10，2-14（提示：t/h kg/min）,
