1、无穷的交响乐,康托尔的集合论,注：当时的自然数集合指的是正整数集合，现在 规定0也属于自然数集。,全体自然数与他们的平方数，哪个多哪个少？,一、古代的无穷观念,无穷集合(infinite set),特点：集合中元素有无数个,芝诺悖论,古希腊时代 ：芝诺（Zeno of Elea，约公元前490前430）,A,100米,追龟问题：,让我们再看一看追龟问题。设阿基里斯的速度是乌龟的十倍，龟在前面100米。当阿基里斯跑了100 米时，龟已前进了10 米；当阿基里斯再追 10米时，龟又前进了1米；阿再追1米；龟又进了 米于是，阿基里斯追上乌龟所跑路程S：（单位米）,等比数列 ：,如果一个数列从第二项起
2、每项与前一项的比是个常数，我们把这个数列叫做等比数列，常数叫这个等比数列的公比。,现在假定有一等比数列，第一项为,公比为,：,当 时，,上式中符号“lim”，“是英语limit（极限）一词的缩写”。表示“当n 趋于无穷时某式的极限”。,应用上述公式可以算得追龟问题中阿基里斯的追及路程：,分牛传说析疑,传说古代印度有一位老人，临终前留下遗嘱，要把19 头牛分给三个儿子老大分总数的 老二分总数的 老三分总数的 按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分。,怎么办？,数学家们进行了如下计算：,19头牛按老大,，老二,，老三,的份额去分，个人分别可得,头,头。这时显然没有分完 ，还剩下,头,和,
3、所剩的牛自然仍要按遗嘱分给各人。,头,于是老大又得,老二又得,老三又得,头。计算一下便知道，牛仍未被分完，还剩 头于是还得再按遗嘱规定去分，如此等等。这个过程可以一直延续到无究，只是每次所剩越来越少罢了！,很明显，在上述过程中老大共分得牛数,同理，老二、老三所分牛数,思考,问题的症结：,不在于智叟是否牵牛来，或牵几头牛来又牵几头回去，而在于按遗嘱三兄弟所获牛数的比：,上述结论为人们提出了分牛问题的最佳解答：,这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还
4、是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,圆周比直线多一点！,不朽的康托,康托尔（G.Cantor,1845.31918.1 集合论的创始者。丹麦犹太商之子 出生 于彼得堡，后移居德国，1867年在柏林获博士学位，18971905年任哈勒大学教授。他的学士论文虽然是关于数论方面的，但他致力于三角级数唯一性的研究，创立了集合论。1874年，开始引入基数的概念，由此证明了超越数大大多于代数数。他是维数理论的开拓者，因而他为拓扑空间理论开辟了道路。,二 、无穷集合论的创立,1 建立集合论的最早尝试,波尔查诺（B.Bolzano,17811848）,0到5
5、之间的实数通过公式,，,可以与0到12之间的实数构成一一对应,2康托尔的集合论思想,方法之一：数数,6个,6个,多少的比较,方法之二：比较,映射,多少的比较,多,少,基数 (cardinal number),新概念：,如果A，B之间存在一一对应关系，集合A与B称为基数相等。记为,显然基数概念推广了个数概念。,注意：基数也称作“势”（power）,两个集合可以有不同的势，如果在M与N两个集合中，N能与M的一个子集构成一一对应，而M不可能与N的任何子集构成一一对应，就说M的势大于的势。“势”这个概念当然可以应用于有限集合，如果两个有限集的元素个数相同，就可以说它们是等价的或者是等势的。,可数集（e
6、numerable set）,新概念：,凡是能和自然数集构成一一对应的任何一个集合都称为可数或可列集合，并且是最小的无穷集合。,新概念：,不可数集,一个无限集，如果其中元素可以表示为一个数列，则为可数集，否则为不可数集。,因此：在这个意义上，可以说无理数集要比有理数集“大”，“大”得无法用数列形式表示。,定理：自然数集N的基数为（阿列夫零）,定理：不是可数集。我们称(0,1的基数为连续基数，记为c(阿列夫),希尔伯特：,（1862 1943）德国数学家.哥尼斯堡大 学哲学博士。哥尼斯堡大学、格丁根大学教 授,柏林科学院院士。早期研究代数不变式论。代数数论、几何学基础，后来又研究变分法、积分方程
7、、函数空间和数学物理方法等。1899年出版几何基础一书，把欧几里得几何学整理为从公理出发的纯粹演绎系统，并把注意力转移到公理系统的逻辑结构，成为20世纪初公理化思想的代表作。晚年致力于数学基础问题，把公理系统的无矛盾性看成为数学可靠性的标准，是形式主义学派的代表人物。1900年在国际数学家大会上提出23个数学问题，后来统称为“希尔伯特问题”，对20世纪的数学研究有很大影响。,证明：有理数集合是可数集的,这个集合的基数不超过自然数的基数，而自然数是其子集，所以这两个集合的基数相等。同样的理由知道有理数与自然数一样多。,按照康托尔的这个理论可以推知很多结果：,自然数与偶数一样多！,1,2,2,4,
8、3,6,n,2n,1,f(1),2,f(2),3,f(3),n,f(n),自然数与其平方数一样多,按照康托尔的这个理论可以推知很多结果：,自然数与偶数一样多,负整数与整数一样多,（其中x属于负整数）, 的点一样多,无穷集合的整体可以与自身的部分一一对应,无穷集合实质：,三、集合论的进一步发展与完善,这个悖论如何解释呢？,通俗来说，我们把所有的集合分为两类,非常集：这种集合的自身也是该集合的一个元素,例如：“一切集合所组成的集合”当然是自身的元素，因为它也是一个元素。,正常集 :其本身不是它的一个元素。,例如“有理数集”，它本身不是有理数，所以有理数集合不是有理数的一个元素。,那么，按照这条店规，他该不该给自己刮脸？,说谎者的悖论 ：,我说的这句话是谎话。,那么这句话是真话还是假话？,综上可知，消除悖论的策略有两个：要么弃矛保盾，要么弃盾保矛。通常，人们会采取第二个策略，即对概括原则进行限制，不允许“所有集合的集合”这种可以抵挡一切的矛盾存在。在排除悖论的诸多努力中，比较成功的是通过对概括原则加以限制而产生的公里集合论。,无穷是一个永恒的谜 希尔伯特,
