1、大学数学毕业论文(设计)_第 1 页（共 10 页）浅谈均值不等式在生活中的应用价值摘 要 均值不等式是数学中一个重要的不等式，它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在 现实生活中也有着广泛的应用.而且形式众多，主要体 现在度量方面、造价 销售方面、决策判断方面、足球射 门等方面，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.关键词 均值不等式 平均数 最值 生活 应用一、引言均值不等式是数学中一个重要的不等式.它的许多性质对解决数学问题都有很大的帮助，在现实生活中也有着广泛的应用.可以说，均值不等式的发现、验证和应用也是数学文化的精髓所在.这对于我们来说是一项巨大的财
2、富.但是我们要注意，求解最值时请一定要注意相等的条件，若多次利用均值不等式求解最值，则必须注意这些不等式等号成立的条件是否一致，只有在一致的条件下才有可能达到最值.二、均值不等式的有关概念与结论（1）几种平均数的概念这几种平均数在高中的课程中就已经有介绍了，分别为算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数.，它们的定义如下：定义一：若 均为正数，我们就称 为 的算术平均数.na,21 na21 na,21定义二： 若 均为正数，我们就称 为 的几何平均数. ,定义三：若 均为正数，我们就称 为 的调和平均数.n,21 naa112 n,2定义四:若 均为正数，我们就称 为 的平方平均数.n
3、a,2121 na,21(二)均值不等式的重要结论均值不等式是不等式中比较重要的一类不等式，也是应用比较广的一类不等式，下面将给出一般的结论和常用的结论，以及均值不等式在求最值时实用的定理.均值不等式在数学中不同的地方有不同的具体形式，但是万变不离其宗，它们都是有规律可循的.对于上述四种平均数：算术平均数、几何平均数、调和平均数和平方平均数的大小大学数学毕业论文(设计)_第 2 页（共 10 页）比较，我们有一般的结论：,),(11 21212122 Rananaaan nnn 当且仅当 时，不等式取“ ”号，这几个数依次为调和平均数、几何平n21 均数、算数平均数、平方平均数.在实际解题中，
4、 和 两种情况是最常见的，特2n3阐述如下：当 时，我们可以得到一个一般的二元均值不等式n，),(212211212 Raaa通常写作.),(212Rbabba但是通常我们用的最多的是上述的变式，如；)1(),(22Rba.)2ba特别地，当且仅当 时，上述的“ ”才成立 .当 时，我们可以得到一个一般的三元均值不等式：3n，同二元均值不等式一样，也),(33122 Rcbacbacba有变式如下：；)( ),(33 Rcba；2cba.)3( ),()3(c特别地，当且仅当 时，上述的“ ”才成立.ba有上述的一般结论和变式可以推得：当两个正数的和一定时，其其乘积有最大值；当两个正数的乘积一
5、定时，其和有最小值，我们称其为最值定理.三、利用均值不等式解决应用性问题大学数学毕业论文(设计)_第 3 页（共 10 页）生活中经常遇到这样的问题，如为资源不能合理利用而发愁，因为不能做出合理的决策而伤脑筋等等问题，只要我们善于发现，这些问题就可以被均值不等式所征服.生活中有很多这样的问题都可以用均值不等式来解决，主要体现在度量方面、造价销售方面、决策判断方面、足球射门方面，比如怎么合理地使用已知的材料去获得最大的需求，或者给出已知的要求怎么安排才能让使用材料最少，主要有关于度量、造价和销售方面的问题.（一）应用均值不等式解决度量类问题随着地球上人口越来越多，诸多的徒弟问题也接踵而来，如住房
6、问题、资源问题等，怎样省钱，怎样合理的利用资源是当今要解决的问题。为了解决这些问题，运用均值不等式,你可以轻松得到合理的利用资源的方法. 例 1 有个半径为 的球形材料，现在我们想利用这个材料制作一个最大体积的正三R棱锥工艺品（不得拼装） ，求这个工艺品的最大体积值.分析 首先我们要把应用问题转化成数学模型，然后再用数学知识解决.解 如图 1，设球 的内接正三棱锥为 ， 为其高 ， 为底面 的OABCP1Oh1ABC中心，则 必须经过球心 ，延长 交球 于 ，设正 的半径为 .P1Dr易知， ，由圆的性质：rAB3hRr)2(所以 22)(433hShVABCABP )(4R3)2(3h, 2
7、78R图 1 当且仅当 ，即 时， 取最h4ABCPV 大值. 3因此这个工艺品的最大体积值为 .3278R毫无疑问，本题利用了上述的结论 3：如果 ，那么 ，当cba, 3abc且仅当 时，等号成立.不同的是，本题是三元的均值不等式，将cbaO1 BDACP大学数学毕业论文(设计)_第 4 页（共 10 页）两边同时立方，就得到 ，所以本题能轻松的求出正三棱3abc 3)(cba锥的体积最大值.例 2 一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各位m6多少时，菜园的面积最大？最大的面积是多少？解 设垂直于墙的一边为 ，则平行于墙的一边为 ，其中 ,其面x mx)236(1
8、80x积)236(S1x2)(2,1683当且仅当 ，即 时菜园面积最大，x2369即菜园平行于墙的一边为 ，垂直于墙的一边为 时，菜园面积最大值为 . mm9216m（二）应用均值不等式解决造价费用问题例 3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 ，深为 ，如果池底3480每 的造价为 元，池壁每 的造价为 元，问怎样设计水池能使总造价最低，最21m1502110低造价是多少元？解 设水池底面一边的长度为 ，则另一边的长度为 ，又设水池的总造价为xmmx3元，根据题意，得l)160(240lx272960404当 ，即 时， 有最小值 .x160l2976因此，当水池的底面是边长为 的
9、正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是m4元.297本题利用 这个不等式，简洁方便，清晰明了.),(2Rbaa例 4 某工厂购买某种设备时费用为 万元,每年的设备运营费为 千元,设备的维修109费为第一年 千元,第二年 千元依每年 千元递增,问该设备使用多少年报废最合算?42大学数学毕业论文(设计)_第 5 页（共 10 页）(使用多少年平均费用最少).解 设该设备使用 年报废，前 年的平均费用为 万元.xxy由题知，每年的使用费及维修费总和构成首项为 公差为 的等差数列，有等差数列求1.20和公式得，前 年的总使用费及维修费为 元，x2.0则前 年的平均费用为x310.1.)(1.02 x
10、xxy当且仅当 即 时， .x1. 3miny因此，该设备使用 年报废最合算.0在这个解题过程中，除了应用等差数列求和的有关知识，还应用了均值不等式求最值，即 .ab2例 5 围建一个面积为 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧2360m墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为 的进出口，m2如图所示.已知旧墙的维修费用为 元/ ，新墙的造价为 元/ .设利用的旧墙长度45180为 (单位： )，修建此矩形场地围墙总费用为 (单位：元).xmy将 表示为 的函数；)1yx试确定 ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.2(解 如图 2，设垂直于
11、墙的一边为 ，) am则 xy2180)(45，362a由已知 ,360ax得 ，x0所以 图 2. 图 2)0(36252xy因为 ，)2(0x所以；10836236252x故 大学数学毕业论文(设计)_第 6 页（共 10 页）；1043610836252xy且仅当 时，等号成立.x36025当 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 元.m4 104（三）应用均值不等式处理决策判断类问题众所周知，商界竞争激烈，很多时候都要面临着选择，为企业的生存和发展披荆斩棘.合理的决策将有利于企业的立足和发展,如果不合理，企业必将亏损，甚至有可能直接导致企业的破产，所以企业在策划这方面时,应该运用均值
12、不等式检测是否合理.例 6 某商品计划两次提价，有甲、乙、丙三种方案，其中 ，0qp次方案 第一次提价 第二次提价甲 %p%乙 %q%p丙 %2%2q经两次提价后，哪一种方案的提价幅度最大？为什么？分析 均值不等式也可以用在价格方面，比如成本价和销售价之间的关系如何平衡才能使利润最大，这是基本所有商人都追求的.本题就是借助均值不等式来解决此类问题的.解 根据判断丙方案的提价幅度最大，理由如下：设原价为 元，那么请看两次提价后的价格分别为a甲方案 元；%)1(qpa乙方案 元；丙方案 元.2)(显然甲乙方案提价后的价格一样，所以提价幅度一样，所以只要比较甲丙两个方案.用作差法得到结果如下：2%)
13、1()%(1qpaqa)( 2qpp,)2(qa因为大学数学毕业论文(设计)_第 7 页（共 10 页），且 ；2%qp0qp所以 ，2)(即.0)(2qp故 .0%)1()%(12qpaa因此，丙方案的提价幅度最大.本题就是利用了上面结论 2：如果 ，那么 ，当且仅当 ba时，等,bab2号成立.将 两边同时平方，就得到 ，从而轻易地就得到ab2 )(a.2)%(qp例 7 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确，有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次所称重量的和的一半就是物体的真实重量.这种说法对吗？并说明你的结论？解 设左右臂长分别为 、 ，物体放在左右托盘称得
14、的重量分别为 、 ，真实重1l2 ab量为 ，由杠杆平衡原理有：GalG21b由 得 ，ab2所以 ；由 ，得 ，21l由均值不等式知.ab2故此种说法不对，物体的真实重量为两次称量结果的几何平均值.例 8 某养殖场需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 公斤，每公斤饲料的的20价格 元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 元，购买饲料每次支付运费.1 3.元，假设养殖场每次均在用完饲料的当天购买 .30求该养殖场每多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；)(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 吨时其价格可享受八五折优惠(即原5价的 ).问该养殖场是否考虑利用此优惠条件，
15、请说明理由 .%85大学数学毕业论文(设计)_第 8 页（共 10 页）解 设该养殖场每 天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 元.)1(*Nx1y因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少 （元）603.2所以 天饲料的保管与其他费用共是 （元）x xx3)1(62从而有8.20)3(12xy,460当且仅当 ，即 时， 有最小值.x3011y每 天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.1(2)若该养殖场利用此优惠条件，则至少每 天购买一次饲料，设该养殖场利用此优25惠条件，每 天 购买一次饲料，平均每天支付的总费用为 元，则x)25( 2y8.01)30(12xy,25(9因此 .30
16、2xy所以当 时， ，即函数 在 上是增函数.25xy,5所以当 时， 取得最小值为 ，而 .2y96423因此该养殖场应该接受此优惠条件.例 9 甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 行走，m另一半时间以速度 行走；乙有一半路程以速度 行走，另一把路程以速度 行走，如果nmn，问甲乙两人谁先到达指定地点？nm解 设从出发点到指定地点的路程为 .S甲、乙两人走完这段路程所用时间分别为 、 ，依题意有1t2， .ntm21n所以 ，1St.nmt12)(2因为大学数学毕业论文(设计)_第 9 页（共 10 页），210nmn所以 .21t从而知甲比乙首先到达指定地点.本题
17、利用了一般结论：,),(11 21212122 Rananaaan nnn 当且仅当 时，不等式取“=”号，这几个数依次为调和平均数、几何平n21均数、算数平均数、平方平均数.显然，调和平均数小于算数平均数.（4）应用均值不等式解决足球射门问题球场如战场,合理的战术,巧妙的技术往往是致胜的关键.如把握好入射距离、踢球的力道和入射角度是进球得分，战胜对手的关键.具体事例如例 10 设海牛队边锋在左线位置 ，距底线距离为 ，即 ，并设球门宽CxxCD，禁区线到球门柱距 ，再设入射范围角 ， ，bABaBDAB，且 ， ，求入射角的最大值.CDxtanxb)t(解 如图 3 所示)t(tantant
18、12)(xba， 图 3 )()(baa当且仅当 时，即 时， 最大. xxtan又 ，所以入射角最大 .)2,0(.)(arctnmxb故入射角的最大值为 )(2arctnbxCb ABaD大学数学毕业论文(设计)_第 10 页（共 10 页）4、总结语通过以上的例题，我们不难发现均值不等式在生活中的应用只要是和定积大与积定和小两方面的应用，在这其中，又掺杂了二元均值不等式与三元均值不等式在生活中的应用.除了上述的应用，均值不等式也在其他方面都有着广泛的应用，例如在住房问题、交通运输、污水处理、商品销售等方面也有着广泛的应用.我们已经应用均值不等式解决一系列问题，但是均值不等式形式众多，变化
19、多样，只要我们善于思考，必将发现均值不等式在生活中有更多更广的应用价值.参考文献1黄文.例说均值不等式的应用.数学大世界（高中版）,2005,12.40-41 页2郑传枝.用均值不等式判断生活中的几个问题.高中数学教与学,2005,2 .44-45 页3田祥高.教材动态全解（高二数学）.第二版.长春：东北师范大学出版社 ,2006 年4赵存善.例说利用均值不等式解应用问题.数学通讯,2003,20.20 页5张荷芳.均值不等式在实际生活中的应用.数学通讯,2002,2.90-91 页Discusses the Application of Mean inequality in Life wor
20、thCai LeiAbstract Average inequality is an important inequation in mathematics. It is the number of the size relations, is our knowledge required for further study mathematics and other disciplines, and the basis and according to many of the properties of inequality in the solving math problems are great help, not only so, it in real life also in a wide range of applications. Say, average inequality discovery, validation and application is the quintessence of mathematical culture. This is a great wealth for us. Key Words mean inequality，average，the most value ，life ，application value
