1、数学教师的专业化基于数学与教学的认识,李忠如西南大学数学与统计学院,7/16/2018,基本问题,教师的基本要求：教师专业标准 （问题：教师的基本功是什么？）数学教师的基本要求：上通数学 下达课堂 （问题：数学教师的基本功是什么？）为了让学生学有所获，教师必须将中小学数学内容融会贯通，进行思想统摄。 （问题：中小学数学的核心问题是什么？如何理解？相应的，如何开展符合需要的教学？）,有关教师专业发展的背景,教育部拟定教师标准征求意见“三个标准” (20111212)（20120210印发）中小学教师专业标准教育部：教师队伍建设将与政绩考核挂钩 （20121214）教师资格2012年教师资格统考（
2、201211）中小学和幼儿园教师资格考试标准与大纲数学学科知识与教学能力(初级中学)考试大纲（样题）基础教育质量绿色评价,7/16/2018,教育部正式发布(20130603)关于推进中小学教育质量综合评价改革的意见,7/16/2018,文汇报20120828,7/16/2018,人民日报20130502,7/16/2018,人民日报20130509,7/16/2018,中小学教育质量综合评价指标框架,7/16/2018,学业质量健康“体检”“绿色指标”,学生学业水平指数学生学习动力指数学生学业负担指数师生关系指数教师教学方式指数校长课程领导力指数学生社会经济背景与学业成绩的关系指数学生品德行
3、为指数身心健康指数以及上述各项指标的跨年度进步指数等。学业质量的“绿色指标”，并不是全面衡量教育质量的完整指标体系，而是直接指向促进学生健康成长，克服教育时弊提出的。,7/16/2018,7/16/2018,数学教师的基本功,全国中学青年数学教师优秀课评价标准(2005)关于颁布实施全国中学青年数学教师优秀课评价标准（修订版）的通知（2012）,7/16/2018,7/16/2018,数学教师的基本功,善于举例（讲故事）善于提问善于比较与优化 （见郑毓信中学数学月刊2010年3期第14页）,7/16/2018,善于举例,“甚至对数学只有很肤浅的知识就能容易地察觉到数学的这些特征：第一是它的抽象
4、性，我们运用抽象的数字，却并不打算每次都把它们同具体的对象联系起来。我们在学校中学的是抽象的乘法表总是数字的乘法表，而不是男孩的数目乘上苹果的数目，或者苹果的数目乘上苹果的价钱等等。”（俄亚历山大洛夫著，数学它的内容、方法和意义，科学出版社，1958）从而，适当的举例就应被看成数学教学工作最为重要的一个方面。只有这样，我们才能为学生较好地去实现相应的数学抽象提供必要的基础。,7/16/2018,善于举例,对学生来说，数学就是利用自己的生活经验对数学现象的一种“解读”。？数学学习并非仅仅是一种“同化”(用建构主义的话来说，就是“意义赋予”)，而且也是一个“顺应” 的过程。即如何能够超出生活经验并
5、学会数学地思维，特别是数学抽象。（皮亚杰）,7/16/2018,问题：“52型拖拉机，一天耕地150公亩问12天耕地多少公亩?” 一位学生是这样解题的：52x150x12= (略)。,我们换一个题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼?老师，我早上不吃大饼的。那你吃什么?我经常吃粽子好。那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子?老师，我一天根本吃不了两个粽子。那你能吃几个粽子?吃半个就可以了。好， 那你每天吃半个(小数乘法没学)粽子，5天吃几个粽子?两个半。怎么算出来的?两天一个，5天两个半。,告诉我，你为什么这么列式?老师，我错了。好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式?除。怎么除?大的除以小的为
6、什么是除呢?老师，我又错了。你说，对的该是怎样呢?应该把它们加起来显然，这位学生是在瞎猜。,7/16/2018,善于举例,函数是数学中最为重要的基本概念之一。研究者在大学微积分学课程开端了解学生关于函数概念的掌握，结果发现：大部分人都能正确地表述出函数概念的“三个要素”。即自变量、因变量和对应关系。但是，要求学生联系实际生活举出函数的若干实例，学生却有相当困难，尽管在中学的全部学习过程中，他们已经接触到了各种各样的函数，教材中也已给出了这些函数的若干实例，物理和化学等课程的教学过程中也常常遇到各种各样的函数。一个学生举出了这样的例子：“一个人的年龄与他所消耗的食品以及与他所消耗的衣物之间的关系
7、。”这能否被看成函数的实例?”研究者组织学生进行了简短讨论，并且没有立即提供相应的解答，而让学生自己去思考。课后学生反映：“对于函数概念我们原来是懂的，现在反而不懂了!”,7/16/2018,善于举例,一些教师会认为：你这是就较为高深的数学概念而言的，如果是初等数学就不存在这样的问题。例如，通过1个苹果、两只桔子等实例我们就可顺利地帮助学生掌握1、2、3等概念及其运算；只需借助木制的三角尺与黑板上所画出的各种三角形等，我们就可帮助学生顺利地建立起三角形的概念需要强调指出：尽管数学教学中时时都在用到各种各样的例子。但例子又有“好”与“坏”，或者说“恰当”与“不恰当”的区分。“会举例、善于举例”的
8、一个具体内涵，就是应当有利于学生较好地去掌握相应的抽象概念，实现由具体实例向抽象数学概念的重要过渡。,7/16/2018,“水池问题的教学由“表层结构”向“深层结构”,学生在解决有关往水池里注水的问题时，会认为水池一边开进水管，一边开出水管，不论经过多长时间，都不会注满水池。在教学时，教师可以不急于讲解，而是引导学生寻找生活中类似的实例。(1)追及问题。客车每小时行4O千米，小汽车每小时行50千米。现在客车在小汽车前25千米的地方，同时沿笔直的公路行驶，多长时间小汽车能追上客车?(2)储蓄问题。爸爸每月工资420元，妈妈每月工资300元，每月平均支出450元，余下的钱存在银行， 几个月后能购买
9、一台价格1350元的电视机?通过小汽车追上客车、家庭每月收支情况的实例，学生就容易弄明白。只要进水量大于出水量。经过一段时间水池就一定能注满水 ”。,7/16/2018,如何举例才能帮助学生更好掌握数学概念的本质？,第一，为了防止学生将相关实例的某些特性误认为数学概念的本质属性，我们在教学中不应唯一地局限于平时所经常用到的一些实例（“标准变式”），而也应当有意识地去引入一些“非标准变式”；第二，反例（“非概念变式”）的引入对于概念的正确理解、特别是防止或纠正学生各种可能的错误观念也具有特别的重要性。,7/16/2018,7/16/2018,边讲边问没有摆脱全面灌输：,一年后重新设计：,105次
10、填空式问答（由低到高设计），记忆问题占74.3%，简单推理占21.0%，小步、多练、快进，未留思考空间给学生。 教师：“ 讲是给学生知识，问是看他们收到没有”。,弄清图形之间关系，学生思维水平提升，变繁琐为简单。 学生：“原来那么多性质不需要死记硬背”。,善于提问,例：正方形的定义和性质,7/16/2018,什么是“好的问题”?,美国学者巴拉布与达菲：“教师的工作是通过向学生问他们应当自己问自己的问题来对学习和问题解决进行指导。这是参与性的，不是指示性的，其基础不是要寻找正确答案，而是针对专业的问题解决者当时会向自己提出的那些问题。”由此可见，能够提出恰当的问题事实上也正是数学思维的一种表现，
11、从而也就必然地有一个通过学习逐步养成的过程。,7/16/2018,当前提问的现状,教学思想的发展： 由“教师问、学生答”经由“学生问、教师答” 最终演变成“学生问、教师帮、学生答”。学生所提出的任何问题都是有用的。课堂教学的开端：“这堂课你们想学些什么”教材：你还能提出什么问题？,7/16/2018,当前提问的现状,信息提供： 故事书每套12元，连环画每套l5元，科学书每套18元提出问题：买5套故事书和2套连环画一共要付多少钱?问题解答：12x5+15x2=60+30=90 f元)30=90 f元)师：谁还能再提一个问题?生1：买3套故事书和5套连环画一共要付多少钱?生2：买4套故事书和3套连
12、环画一共要付多少钱?生1：买2套故事书和6套连环画一共要付多少钱?,7/16/2018,当前提问的现状,“如果教师能抓住时机，启发引导，提示学生：科技书我们也要看啊或能否求出两种书相差多少钱呢?学生的思路自然就宽了。” 当然，也可对各种书的单价作出一定的改变，包括超出故事书、连环画和科技书的范围，而谈到其他的书籍：我们甚至还可超出问题的“事实性内容” 而过渡到相应的数学结构。学生所提的问题常常是“从众”的结果(或是刻意的“标新立异”)，从而就很难被看成真正的创造性工作。如同解决问题能力的培养，学生提出问题的能力也不可能自发地形成，而主要是一个文化继承的过程，教师更应在这一过程中发挥重要的指导作
13、用。,7/16/2018,波利亚(1887.12.13-1985.9.7),7/16/2018,波利亚(1887-1985)的生平,波利亚，美籍匈牙利数学家。生于布达佩斯，卒于美国。青年时期曾在布达佩斯、维也纳、巴黎等地攻读数学、物理和哲学，获博士学位。1914年在瑞士苏黎世工业大学任教，1938年任数理学院院长。1940年移居美国，历任布朗大学、斯坦福大学教授。1963年获美国数学会功勋奖。他是法国科学院、美国全国科学园和匈牙利科学院的院士。 他一生发表了200多篇论文和许多专著，在数学的广阔领域内有精深的造诣，对实变函数、复数函数、概率论、组合数学、数论、几何和微分方程等若干分支领域都做出
14、了开创性的贡献，留下了以他名字命名的术语和定理。曾著有怎样解题、数学的发现、数学与猜想等，它们被译成多种文字，广为流传。其中，1944年在美国出版的怎样解题（How to solve it）中的怎样解题表总结了人类解决数学问题的一般规律和程序，对数学解题研究有着深远影响， 迄今此书已销售一百万册，被译成至少17种语言广为传播，可说是一部现代数学名著。,波利亚的“怎样解题表”,波利亚的“怎样解题表”,波利亚的“怎样解题表”,7/16/2018,数学课堂提问的策略,一般化：对已获得的结果推广以求得更为一般的结果“变”：寻找“本质”（模型）反向思维：交换问题中的已知成分与未知成分以引出新的问题（构造
15、偏逆、否命题）,7/16/2018,幻方问题,(指如何在“九宫格” 中分别安放1、2、3、9这样9个数字，并使得每一行、每一列、每条对角线上数字的和都相等)原先所用到的数字是1到9， 能否用2到10这9个数字去完成同样的工作?又能否采用87到95这9个数字?能否用3、6、9、12、15、18、 27这9个数字去完成同样的工作?或是用1到9这9个数字的其他倍数?能否用5、8、11、14、l7、2029这9个数字去完成同样的工作?或是任何一个算术级数?,7/16/2018,自行车问题,一个自行车新轮胎，若安装在前轮则行驶5000后报废，若安装在后轮则行驶3000后报废如果行驶一定路程后交换前、后轮
16、胎，使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶多少？ （“数学周报杯”2009年全国初中数学竞赛第6题）,7/16/2018,“等价”自行车问题,一件工程，平均分为前、后两段，甲工程队干前半段5000小时完成，乙工程队干后半段3000小时完成，如果两工程队同时动工，甲工程队干前段、乙工程队干后段一定时间后，甲、乙两工程队交换（交换时间不计），使前、后两段同时完工，问整个工程一共几小时完成？,7/16/2018,“等价”自行车问题,一件工程，甲工程队干一半需5000小时，乙工程队干一半需3000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？ 一件工程，甲工程队干需10000小时，
17、乙工程队干需6000小时，如果甲、乙两工程队一齐干，整个工程几小时完成？,7/16/2018,计算3个5角的硬币与4个1元的硬币的总面值：(3x5)+(4xl0)= 55(角)=5元5角。,如何用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角?（存在多种可能的组合，也为提出问题开拓了新的可能性）我们能否完全用5角的硬币去合成5元5角?我们能否完全用1元的硬币去合成5元5角?如果用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角。怎样搭配可以使得所使用的硬币数目最少?如果用5角的硬币与1元的硬币合成5元5角。怎样搭配可以使得所使用的硬币数目最多?对于任意一个介于所说的最少数目与最多数目之间的正整数而言我们是否都可使用这么
18、多的5角与1元的硬币合成5元5角?,7/16/2018,学会学习与提出问题,学问与学答多问“为什么”。促成由“知其然”向“知其所以然”求同与存异。求同：如何通过抽象分析找出两个对象的类似之处；存异：在由已知事实去引出新的猜测时，特别注意两者的差异，依据对象的具体情况作出适当的“翻译”或“调整”。回头看。回顾与反思元认知。解题者对于自己所从事的活动，包括做什么(what)、为什么要这样做(why)、做了以后又取得了什么样的效果(how)，始终具有清醒的自我意识，并能及时作出必要的评价与调整。,7/16/2018,解决问题也许是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的理论。从新的角度去看
19、旧的问题，却需要创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”就下图所示情景提出三个数学问题，要求较容易，较难，难度适中各一个。（中美比较研究） 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,7/16/2018,善于比较与优化,数学思维不可能自发地得以形成，而主要是一个文化继承的过程，数学学习也必然地有一个“优化”的过程，数学教师的又一重要职责是帮助学生很好地实现思维的优化。一种观点：教学工作应当以学生为本，以学生的发展为本，从而，教师在自己的教学工作中也就应当“关注学生的表现，欣赏学生的想法，重视学生的
20、问题，接纳学生的意见，宽容学生的错误，满足学生的需要”。不能忽视学生的发展转而完全放弃了教学所应具有的指导作用！,7/16/2018,数学的一些基本问题,数与代数（数量？数量关系的本质？自然数（表示，性质）？)（负数？分数？小数？）（乘法是加法的简便运算？）（估算学习的意义？方程的本质？）图形与几何（中小学涉及到了哪些几何？）统计与概率（数学与统计学的区别？三种统计图的共性与差异？随机性与不确定性？）,7/16/2018,关于数与代数的认识,数量：有实际背景的，关于量的多少的表达，是对现实生活中事物的抽象数量关系的本质：多与少比较数量多少的方法：对应数：对数量的抽象数的关系是对数量关系的抽象。
21、其抽象方法有两种：对应方法，定义方法（依赖于大小关系）,7/16/2018,数的认识,在欧洲某地庄园的望楼上有一个乌鸦巢，里面住着一只乌鸦，主人打算杀死这只乌鸦，可是几次都没有成功，因为他一走进这个望楼乌鸦就飞走，栖在远远的树上，直到他离开望楼才飞回来。后来他想了一个聪明的办法：两个人一起走进望楼，一个人出来，一个人留在里面。可是乌鸦不上当，直到第二人离开望楼才飞回来。主人不死心，连续试验了几天：三个人，四个人都没有成功。最后用了五个人，四个人走出来，一个人留在里面，现在乌鸦分辨不清了，飞了回来。,7/16/2018,自然数的认识,表示：关键是十个符号和数位解释：一万是由十个一千出生的不妥！万
22、这个数位是十个千，而不是说一万这个数是十个千。数与数位是不同的，自然数是一个一个多起来形成的，已经知道千位最大数是9999，现在又多了1，那么如何称呼这个新数？中国用“一万”，西方称为“十千”。自然数的读法法则：符号+数位。6010200如何读？,7/16/2018,如何认识分数？,分数本身是数而不是运算，虽然可看成是除法的一种运算。古希腊学者最初认为：现实世界中所有数量关系都能够写成分数形式，即都能够用整数表示。后来发现了2，于是把能够写成分数形式的称为有理数，不能的称为无理数。分数的本质在于真分数，即分子小于分母。其现实背景：一是表达整体与等分的关系，一是表达两个数量之间整数的比例关系（以
23、一个事物的量为基准对另一个事物的量进行整数倍的度量）。,7/16/2018,如何认识小数？,为什么要建立小数？为了现实世界数量表达，如6元7角5分为了数学本身：没有小数表示无理数，难以进行无理数的加法运算无论是整数还是小数，都可以用10的整数次幂的组合（加法）表示。（一个十进制的数就是一个以10的整数次幂为基底的线性组合）后来为了解释实数连续性，重新用小数来答疑有理数和无理数。,7/16/2018,乘法是加法的简便运算吗？,自然数集合上的乘法是加法的简便运算整数集合上的乘法不是加法的简便运算如何解释“3(-2)”？又如何解释负负得正？整数集合上的乘法运算是自然数集合上乘法运算的推广，推广的工具
24、是交换律和分配率。,7/16/2018,乘法运算，1是非常重要的数（相当于0对于加法运算）乘法的运算法则：11=1, 1（-1）=（-1）1=-1 （-1）（-1）=1证明：0=0（-1） =【（-1）+1】（-1） =【（-1）（-1）】+【1（-1）】 =【（-1）（-1）】+（-1） （-1的相反数是1）,7/16/2018,为什么要学习估算？,脑科学家研究：人们进行精算和估算时大脑的反射部位精算主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区有明显重叠；估算主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切。就教育价值而言，根据脑科学家的研究成果，很可能会有这样的区分：精算有利于培养学生的抽象能力，
25、估算有利于培养学生的直观能力。显然，抽象能力与直观能力是人们日常生活和生产实践中必不可少的两种能力，这两种能力都是数学素养的根本，所以，数学教学内容不仅要有精算也要有估算。,7/16/2018,为什么要学习估算？,日常生活实践中，人们遇到的大量计算都是估算，应当让学生知道估算。精算在本质上是对于数的运算，估算在本质上是对于数量的运算，学习估算对于培养学生的数感有好处。同时，估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入；估算也不是估计：估算也是需要算的。基本结论：小学阶段的数学教育，估算问题要有合适的实际背景，否则就失去了估算的教育意义。,7/16/2018,为什么要学习估算？,估算往往要涉及在哪
26、个数位上进行计算的问题，因此，需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲。选择量纲的过程可以让学生感悟估算是对现实问题的度量，进而感悟如何进行估算才是合理的。确定了量纲以后，在具体计算时，就可以在量纲的整数位上进行估算，至多以量纲为基准取小数点后一位进行计算。对于已经给定了数量，许多估算问题是为了得到上界或者下界，为此，需要对给定的数量进行适当的放大或者缩小，然后凑整计。所谓量纲就是通常所说的数量单位，比如，我们考虑距离的度量：如果要度量北京到纽约的距离，那么用万公里比较合适；如果要度量长春到北京的距离，那么用百公里比较合适；如果要度量教室的大小，那么用米比较合适；如果要度量书桌的大小，那么用厘
27、米比较合适。,7/16/2018,关于数与代数的认识,数学课程标准（实验稿）设置了 “数与代数 ”的学习领域。怎么理解代数？代数学的英文名称是algebra，是9世纪阿拉伯数学家花拉子米一部著作的名称。原意是“还原与对消的科学”。什么叫做对消？大家知道的有正负对消，就是解方程时所谓的移项。所谓还原，就是把本来淹没在方程中的未知数 x暴露出来，还原了 x的本来面目。所以方程是和代数紧密联系在一起的。一般在学习方程之前，我们都要先学习 “用字母表示数”。方程理论就是 “用字母代表数 ”吗？它们之间到底是一种怎样的关系。,7/16/2018,关于数与代数的认识,单单用字母代表数，还不是代数。例如，加
28、法交换律写为： a+b=b+a，虽然也用字母代表数，却和代数的思想方法没有关系。用字母代表数，即设某量为 x的做法，只是运用代数方法的第一步。代数的思想方法，其核心是基于含有 x的 “式”的运算来求得未知数，最后解决数学问题。从数的运算到“式”的运算，实行对消和还原，是算术与代数的根本区别。小学数学的“代数”内容就是能够部分地解出一元一次方程； ax+b=c。至于 ax+b=cxd这样的方程小学里解起来还是有些困难。难点：含 x的项的合并，即关于“式”的运算。小学里解方程，用字母代表数之后，主要使用逆向思维进行对消和还原。例如 2x-1=5，用逆向思维也可以还原出 x=3。中学里则要引入负数、
29、进行“式”的运算，用同解概念进行对消和还原，按照程式化的规则，一步步机械地做下去就能得到解。那就是代数思维。这就是说，算术中的逆向思维也有还原和对消的思想，需要学习，但是思维过程是一题一解，没有固定的程式，不能程式化。所以，小学学习逆向思维不要搞得太难。太多了，反而会干扰未来方程的学习。,7/16/2018,中小学几何内容有些什么？,新课程在空间与图形领域增加了一些新的内容，为什么要增加？几何学的内容很丰富。首先是直观几何，就是对平面图形、立体图形的认识；其次是一些求面积、体积的问题，属于度量几何。在实施新课程以前，小学数学主要包括这两部分内容。但是，实际上，大学数学的许多问题，它的原始思想是
30、非常简单、非常朴实又非常重要的。于是就增加了以下三个方面的内容。第一是演绎几何，比如说垂直、平行、线段、射线这些名词都属于演绎几何的范畴。第二是运动几何，如平移、旋转和对称，是小学生需要和可以接受的内容。第三是坐标几何。总体来看，现在小学数学里的几何学，包括直观几何、度量几何、演绎几何、运动几何、坐标几何这五大块。从过去的两块扩大到五块，扩大了我们几何学的视野，丰富了我们对几何学的感受，是十分有意义的改革。,7/16/2018,2018/7/16,数学与统计学的区别,立论基础不同:数学概念与符号；统计学数据推理方法不同:数学推理公理和假设；统计学推断数据和数据产生的背景判断原则不同:数学是一门
31、科学本质上是确定性的，对结果的判断标准是对与错；统计学是一门科学也是一门艺术对结果的判断标准是好与坏,7/16/2018,2018/7/16,例：函数、概率与统计的对比,在一所小学，对于香港的男演员，学生们不是喜欢成龙就是喜欢周星驰。首先建立关系式y=f(x)，其中x表示学生，y表示学生喜欢的演员。为了方便起见，用1表示周星驰，用2表示成龙。那么就构成了一个函数关系：,7/16/2018,2018/7/16,7/16/2018,7/16/2018,如何理解随机性与概率？,随机性与规律些概率与机会有些概率是无法精确推断的有些概率是可以估计的随机事件？目前不知道结论是否正确的命题是随机事件吗？和重
32、复试验无关的不确定结果是随机事件吗？,7/16/2018,随机性与规律性,有许多定律，例如牛顿三定律、物质不灭定律、爱因斯坦相对论等。,7/16/2018,概率与机会,7/16/2018,把一枚均匀硬币掷100次，100次都是正面可能吗？掷第101次，出现正面的可能性大还是反面？,7/16/2018,随机事件,概率论是研究随机现象。随机现象是指：在条件相同的情况下，做重复试验，试验结果却不确定，以至于在试验前无法预料是哪一个结果出现，我们把这时的试验结果称为“随机事件”。,7/16/2018,如下命题或者结论是随机事件吗？,哥德巴赫猜想是否成立火星上是否有生命美国的总统选举本 拉登是否还活着小
33、王是否生病了错误一：把目前不知道结论是否正确的命题当成随机事件错误二：吧和重复试验无关的不确定结果当成随机事件,7/16/2018,加减消元法,（某初中数学教材中例题） 例2 “我们的小世界杯”足球赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。“勇士”队赛了9场，共得17分。已知这个队只输2场，那么胜了几场？又平了几场呢？,7/16/2018,学生问：为什么式的赛场数与式的得分数能够相减？,解: 设勇士队胜了x场，平了y场。根据得分的总场次所提供的等量关系有方程 根据得分的总数所提供的等量关系有方程 由得 ， 代入得 。 答：勇士队胜了5场，平了2场。,7/16/2018,这里涉及生活原型
34、与数学模式的关系一方面式、来源于比赛场次与得分总数（有单位问题）另一方面，列成方程后又完全舍弃了原型的物理性质，成为抽象的模式，可以去刻画任何“两者和为7”的生活现象而不专属于任一生活现象方程的加减，是根据方程的理论与方法进行的（消元化归），这是数学内部的事情（与单位无关）最后，得出后，才又回到生活中去，给出解释（有单位了）也就是说，足球赛的现实原型经过代数运作之后（设未知数，进行四则运算等），已经凝聚为对象（方程），经过“建模”之后的运作已经是数学对象的形式运算了，当中的消元求解过程是化归思想的应用，与现实原型的具体含义无关,7/16/2018,关于不等式性质的运用,已知 2x+y4, 1x
35、-y2, 求4x-2y的范围。,7/16/2018,一学生的解答过程为：解： +得 32x6, 所以 64x12. 又由得 -4-x-y-2, +得 -3-2y0 故由、得 34x-2y12,已知 2x+y4, 1x-y2, 求4x-2y的范围。,7/16/2018,7/16/2018,正确解法,7/16/2018,7/16/2018,7/16/2018,7/16/2018,7/16/2018,教学是科学还是艺术？,麦当劳靠什么成为世界知名品牌?中国是世界公认的美食王国，为什么没有世界知名的饮食品牌?,麦当劳为什么这么牛？中国餐饮缺点啥?,7/16/2018,麦当劳操作流程标准化，电脑控制，可
36、批量生产，产品稳定性好，最大程度减少操作者的影响（工业化思维）。中国美食操作流程非标准化，人工控制，不易批量生产，产品稳定性存在隐患，与操作者有密切关系（农业化思维）*,教学是科学还是艺术？,7/16/2018,传统教学观偏于艺术，追求不确定性（个性）提倡“教学有法，教无定法，贵在得法”强调个人魅力，很难推广 现代教学观趋向科学，讲求确定性注重规律与操作流程的寻求,教学是科学还是艺术？,7/16/2018,教师发展（模仿学习、独立探索、创造超越、发展成型）：科学且艺术（先科学性，后艺术性）科学即按教学规律、教学流程办事（学有定律，教有定则）艺术即发挥教师的个性特长（个人魅力）*,教学是科学还是
37、艺术？,7/16/2018,有效教学的内涵师生耗费合理的时间获得尽可能大的成效（目标达成）。关注学生的进步与发展（以学论教）,对得起良心的教学就是好的教学吗？,有效教学？,教师的成就感来自哪里？,7/16/2018,你知道什么是沮丧吗？那就是当你花了一生的时间爬梯子并最终到达顶端的时候，却发现梯子架的并不是你想上的那堵墙。约瑟夫坎贝尔,7/16/2018,能不能学？,想不想学？,学得怎么样？,花多少时间学？,7/16/2018,数学教师必须思考的问题,评价一堂数学课成功与否的标准是什么？新教材课时量减下来了，学生练习量达不到，知识难以巩固，数学该怎么教？如何处理好基础和创新的关系？学案导学怎样
38、照顾到不同层面的学生？数学竞赛是专门辅导好，还是在课堂教学中加以延伸处理好？同一份教案，不同教师教学效果不一样？同一份教案，同样的老师，不同的班级，效果也会不一样？同一份教案，同样的老师，去年教和今年教，效果也会不一样？,数学很枯燥，怎样才能激发学生的兴趣呢？阶段性复习如何组织不会让学生感到烦躁？不通过题海战术，少做题怎么提高学习效率？如何处理巩固基础知识与发展能力的问题？是否应该让学生预习？应该让学生怎样预习？尖子生和差生之间的关系（分层教学的问题）怎样使学生喜欢数学，用好数学？什么样的情景创设是有效？小组合作学习的实效性？班级里两极分化产生的根源？,7/16/2018,欢迎交流讨论！,合格数学教师之必要条件上通数学 下达课堂,7/16/2018,
