1、 一、方法综述：关注学生数学文化的意识的养成，努力推进数学文化的教育，已经成为当今数学教师与改革的一个重要特征，在新课改的数学命题中，数学文化已经得到足够的重视，但并没由得到应有的落实，造成数学文化教学的缺失的根本原因在于教师自身数学文化素养的缺乏，令人欣喜的是在近几年的高考试题中已经开始有意识的进行尝试和引导，在众多的经典试题中，湖北卷的数学文化题更超凡脱俗和出类拔萃，因此，我们特别策划了此专题，将数学文化与数学知识相结合，选取典型样题深度解读，希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导.二、解答策略：类型一、取材数学游戏游戏可以让数学更加好玩，在游戏中运用数学知识，或蕴含着数学原理的
2、智力游戏可笼统地称为数学游戏，把数学游戏改编为高考试题，既不失数学型，又能增加了考题的趣味性，充分体现了素质教育与大众数学的理念。例 1、五位同学围成一圈依次循环报数，规定：第一位同学首次报出的数为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；若报出的数是 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次。已知甲同学第一个报数，当五位同学依次循环报到第 100 个数时，甲同学拍手的总次数为 。探究提高：以数学游戏为素材的命制高考题目，创造了既宽松又竞争的环境，拉近了考生与数学的心理距离，但要注意游戏素材的选择应与考生的实际生活密切相关，便于考生更好地理解游戏。例
3、如：2012年高考湖北卷第 13 题“回文数” ，考查排列、组合和归纳推理等知识。本题以此为背景，以简单的游戏为分析计算对象，考查学生的阅读理解能力和合情推理能力。举一反三：回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22，,11,3443,94249等。显然2位回文数有9个：11,22,33，99.3位回文数有90个：101,111,121，191,202，999。则（）4位回文数有_个；（）2n1（nN+）位回文数有_个。位回文数与 位回文数个数相等，均为 个. 21nN2nN910n类型二、取材数学名著如数学家的传记、数学演讲报告、数学讲义等，这些都是命制考题好的素材，从中选取一段有
4、关的数学素材，突出索要考查的数学知识，在引导中学数学教学知能并重的同时，有意识地培养学生的数学素养。例 2、 【2018 百校联盟联考】我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 ，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 段的重量为Mi，且 ，若 ，则 （ ）1,20ia 1210aa 85iiA. 4 B. 5 C. 6 D. 7探究提
5、高：本题主要考查阅读能力、等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式以及转化与划归n思想，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟1,nadS练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.举一反三：【2017 届江西省赣州市高三上学期期末考试】中国古代数学著作算法统综中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走 378 里路，第一天健
6、步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里【答案】C类型三、取材数学名题数学名题具有非凡的魅力，它常常蕴涵深刻的数学内容、经典的数学方法或与一些数学大师相关联，数学名题能持续地是命制试题的重点取材之一。例 3、在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中，用如图 1 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后，法国数学家布莱士帕斯卡的著作(1655 年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三
7、角形”(Chinese triangle)如图 1，17 世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图 2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：C C C ，其中 n 是行数，rN.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是rn r 1n r 1n_.图 1图 2解析 类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 ，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子 C C C ，有 .rn r 1n r 1n答案 探究提高：九章算术大约成书于公元 1 世纪，是中国古代最著名的传世数学著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完成的体系，本题取材九章算术与著名的 17 世纪德国数学家
8、莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”相结合考查了组合数的运算，很好的把中国古代数学名著和欧洲数学有解的结合在一起，进行和合理命题。举一反三：【2017 届河南省安阳市高三第一次模拟考试数学】三国时代吴国数学家赵爽所注周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用 勾 股 股 勾 朱实 黄实 弦实，化简，得勾 股 弦 设勾股形中勾股比为，若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉（大小忽略不计） ，则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）A. 866 B.
9、500 C. 300 D. 134【答案】D类型四、取材数学推理数学猜想是推动数学发展的强大动力之一，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素，也是人类理性中最富有创造性的部分，数学猜想一旦被证明，就将转化为定理，从而丰富数学理论，即使被否定或不能被证实，也常常能给数学带来不可预期的成果，数学猜想是命制考题的好素材，它包含丰富的数学知识和思想方法。例 4、古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图 1 中的 1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2 中的 1，4，9，16这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是A
10、.289 B.1024 C.1225 D.1378【答案】C探究提高：合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。举一反三：我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤；在细的一端截下 1 尺，重 2 斤；问依次每
11、一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为 ，现将该金杖截成长度相等的 10 段，记第 段的重量为 ，且Mi1,20ia，若 ，则 （ ）1210aa 85iiA. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】C【解析】由题意知,由细到粗每段的重量成等差数列，记为 ，设公差为 ，则nad，解得 ，所以该金杖的总重量121902 474aad， 15,68ad， ，解得 ，故选 C.150915628M1548,487568iaMi6i类型五、取材数学图形例 5、一幅图胜过一千字， “数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休” ，图形不仅包含大量信息，而且形象直观
12、，生动绚丽，还能展示数学之美，图形是数学总要的组成部分，高考试题中自然少不了这样的试题，同时能较好的体现数学文化，甚至富有诗意的数学图形。【2018 北京丰台二模】血药浓度（Plasma Concentration）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用 1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的个数是首次服用该药物 1 单位约 10 分钟后，药物发挥治疗作用每次服用该药物 1 单位，两次服药间隔小于 2 小时，一定会产生药物中毒每间隔
13、 5.5 小时服用该药物 1 单位，可使药物持续发挥治疗作用首次服用该药物 1 单位 3 小时后，再次服用该药物 1 单位，不会发生药物中毒A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个关键.由图象可得函数先增后减,在 t=1 时取到极大值,在血液浓度所对应的值超过最低中毒浓度时,会发生药物中毒,因此两次服药的间隔不能太小,需要看是否有两次药效之和超过最低值. 举一反三：【2018 广东湛江二模】某产品进入商场销售，商场第一年免收管理费，因此第一年该产品定价为每件 70 元，年销售量为 11.8 万件，从第二年开始，商场对该产品征收销售额的 的管理费（即销售%x100 元要征收 元）
14、，于是该产品定价每件比第一年增加了 元，预计年销售量减少 万件，要使第x 701x二年商场在该产品经营中收取的管理费不少于 14 万元，则 的最大值是（ ）A. 2 B. 6 C. 8.5 D. 10【答案】D类型六、取材数学文化与现代科学：数学文化与现代科学泛指最近一段时间国内外发生的数学方面的大事，被广大媒体和公众共同关注，具有方向性和短暂性和聚焦性等特点，命题专家从一段时事材料中甄选一个角度，简明扼要的交代时事背景，抽象出数学模型，突出索要考查的数学问题，类似于文科综合卷中的时事材料，既能达到一般试题的考查效果，又能融入肥厚的数学文化，平添点滴生活气息。例 6、2016 年 1 月 14
15、 日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用 2a1和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子：a 1c 1a 2c 2；a 1c 1a 2c 2； a1c2.c1a1c2a2其中正确式子的序号是( )A. B. C. D.解析 观察图形可知 a1a2，c 1c2，a 1c 1a2c 2，即
16、式不正确；a1c 1a 2c 2|PF|，即式正确；由 a1c 1a 2c 20，c 1c20，知 a1c2， .即式正确，式不正确，答案 Da1 c1c1 a2 c2c2 a1c1a2c2 c1a1c2a2探究提高 1.命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运.2.注意到椭圆轨道和共一个顶点 P 和一个焦点 F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名
17、副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题.举一反三：12 【2017 届贵州省黔东南州高三下学期高考模拟考试数学】秦九韶是我国南宋时期著名的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 的值为 ，每次输入 的值均为 ，输出 的值为 ，则输入 的值为A. B. C. 4 D. 3【答案】C三、强化训练：1.【2017 课标 1，理】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称
18、.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A B148C D24【答案】B【解析】由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率，故选 B。142p2.【2017 课标 II，理 3】我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏【答案】B3 【2017 届河北省石家庄市第二中学高三下学期模拟联考】在九章算术中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：
19、今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？大意是有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.问几天后两鼠相遇？（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，可先估计，两天不够，三天有多，设需要 天，则可得 ，解得 ，故选 A.4 【2017 届安徽省江南十校高三 3 月联考数学】 九章算术是我国古代的数字名著，书中均属章有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各德几何.”其意思为“已知五人分 5 钱， 两人所得与 三人所得相同，且 每人所得依次成等差数列
20、.问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中， 所得为( )A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】A5 【2017 届广西玉林市、贵港市高三毕业班质量检测】 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵” ，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（ ）A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D【解析】由三视图知,该几何体是底面为斜边边长为 的等腰直角三角形,高为 的直三棱柱,所以该几何体的表面积为 ,故选 D.6 【2017 届重庆市高三上学期第一次诊断模拟（期末） 】我国古代数学算经十书之一的九章算术有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（ ）A. 104 人 B. 108 人 C. 112 人 D. 120 人【答案】B
