1、 线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出 n(n1)条.12规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 n(n+1)+1个部分.12规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 n(n1)条.12规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN = AC12证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM = BM = AB ,BN = CN = B
2、C12MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN = AC12练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 2.如图，点 B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 123.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点 .求证：MN = AB 12规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有 n(n1)个.12规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n1）个.规律 7. 如果平面
3、内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n 3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出NM CBAMC BANM CBAN M CBAn(n 1)(n 2）个.16规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为 n(n1)个.12规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律 13.已知
4、ABDE,如图,规律如下：规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45 o,C = 55 o,求E 的度数.解：AABE = E ADE CCDE = E CBE 得AABECCDE =E ADE ECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，1 ABC+BCD+CDE=360E DCBA+= CDEABCBCD2E DCBA-=CDE ABCBCD3 E DCBA-= CDEABCBCD4 E DCBA+=CDE ABCBCD5 E D CBA+= CDEABC BCD6E DCBANME
5、DBCAHGFEDBCAHGFEDBCAHG FEDBCAABE =CBE ，CDE =ADE2E = ACE = (AC)1A =45 o,C =55 o,E =50 o 三角形部分规律 15在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证：ABACBDDE CE . 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于 M、N在AMN 中， AM ANMD DENE 在BDM 中，MBMDBD 在CEN 中， CNNECE
6、得AMANMBMDCNNE MDDENEBDCEABACBDDECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，ABAFBDDGGFGFFCGECEDGGE DE有ABAFGFFCDGGEBDDGGF GECEDEABACBDDECE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证： (ABBCAC) PA PBPCABBCAC12规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的
7、一半.例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D.求证：A = 2D证明：BD、CD 分别是ABC、ACE 的平分线ACE =21, ABC =22A = ACE ABCA = 2122又D =1 2A =2D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o加上第三个内角的一半.FGNMEDCBA2 1C EDBA例：如图，BD、CD 分别平分 ABC 、ACB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分 ABC、ACBA2122 = 180 o2(12)= 180 o ABDC = 180
8、o(12)(12) = 180 oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180 oA即：360 o2BDC =180 oA2BDC = 180 oABDC = 90 o A1规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分 EBC 、FCB， 求证：BDC = 90 o A12证明：BD、CD 分别平分 EBC、FCBEBC = 21、FCB = 2221 =A ACB 22 =A ABC 得2（12）= AABC ACBA2（12）= 180 oA（12）= 90 o A12BDC = 180 o(12)BDC = 180
9、 o(90 o A )BDC = 90 o A2规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，CB， ADBC 于 D， AE 平分BAC.求证：EAD = (CB)12证明：AE 平分BACBAE =CAE = BACBAC =180 o(BC)EAC = 180 o(BC)12ADBCDCBA2121 FE DCBAE D CBADAC = 90 o CEAD = EACDACEAD = 180 o( B C)12(90 oC )= 90o (B C)90 oC= (CB)12如果把 AD 平移可以得到
10、如下两图，FDBC 其它条件不变，结论为 EFD = (C B).12注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDCBAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC证法（二）：连结 AD，并延长交 B
11、C 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBAD CAD即：BDCBAC规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为 ABC 的中线且1 = 2，3 = 4，求证：BECF EF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NFAB CDEFFED CBAFAB CDEDCBA4321NFED CBA在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，
12、常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4123 4 = 180 o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF 中，CFCM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构
13、造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE 中有 ABBEAEABAC2AD规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在ABC 中，ABAC ，1 = 2，P 为 AD 上任一点
14、，MAB CDE F1 2 3451 2ED CBA求证：ABAC PB PC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN 中有 PBPCBNPBPCABAC补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABP AMPPB = PM又在PCM 中有 CM PMPCABACPBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O求证：AC = AECD2.已知，如图，
15、ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证：DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C 4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF 和AEF 中ADF = AEF1 = 2 AF = AFADFAEFDF = EF规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，
16、常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作 BDAN 于D，CEAN 于 E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90 o, BDANP1 2ND CBA AB CD21PM43 21FEDCBA4321E DCBA12 = 90 o 13 = 90 o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90 o在ABD 和CAE 中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE规律 27.三角形一边的两端点到
17、这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BE AD 的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD，ADAC 于 A，BCBD 于 B求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE = EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，ADBC求证：
18、AB = CD证明：连结 AC（或 BD）ABCD，ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABCCDA321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBAEFD CBAAB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC ，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E求证：BD = 2CE证明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =B
19、EC = 90o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEF BECCE = FE = CF12BAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90 o 1BDA = 90 o1BFC = 90 oBDA = BFC在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D，求证：ABAC = 2CD规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，A
20、C = BD，求证：A = D证明：（连结 BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.21EFDCBAOABDC21D CBA例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM、NC （过程略）规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD，求证：BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 EPDBC，1 = 2 P
21、E = PD在 RtBPE 和 RtBPD 中BP = BPPE = PDRt BPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CD BD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA 和PDC 中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEA PDCPCB = EAPBAP EAP = 180 oBAP BCP = 180o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PDBM 于 M，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在 ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是ACB 的平分线，D 是AC 上一点，若CBD = 20 o，求 CED 的度数。BA DCFMNPBADCED CBANPEDCBA21
