2017江苏高考数学试卷及解析.pdf

1、绝密 启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） .本卷满分为 160 分 .考试时间为 120 分钟 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 . 2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置 . 3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符 . 4作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效 . 5如需

2、作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 . 一、填空题：本大题共 14小题，每小题 5分，共计 70分请把答案填写在 答题卡相应位置上 1. 已知集合 A 12， ， =B 2,3aa ，若 AB 1 ，则实数 a 的值为 . 【答案】 1 【解析】 a =1 或 2 31a (舍 ) 2. 已知复数 = 1+ 1+2z i i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是 . 【答案】 10 【解析】 13zi | | 10z 3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为 200， 400， 300， 100 件，为检验产品的质量，先用分层抽样的方法从以上所有产

3、品中抽取 60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件 【答案】 18 【解析】 应从丙种型号的产品中抽取 3006 0 = 1 82 0 0 + 4 0 0 + 3 0 0 + 1 0 0 4. 右图是一个算法流程图，若输入 x 的值为 116 ，则输出的 y 的值是 . 【答案】 2 【解析】 1x , 2 4 2y 5. 若 1tan( )46 ， 则 tan = . 【答案】 75 【解析】1 176ta n ta n ( )14 4 516 6. 如图，圆柱 12OO 内有一个求 O ，该球与圆柱上、下地面及母线均相切，记圆柱 12OO 的体积为 1V ，球 O 的体积为 2V

4、，则 12VV 的值是 . 【答案】 32 【解析】设球半径为 r ， 则 231 22V r r r， 32 43Vr， 故 1232VV . 7. 记函数 2( ) 6f x x x 的定义域为 D ，在区间 4,5 上随机取一个数 x ，则 xD 的概率是 . 【答案】 59 【解析】由于 ( ) (3 )( 2 )f x x x ， 故定义域为 2,3 ， 该区间长度为 5 ， 区间 4,5 长度为 9 ， 故概率为 59 . 8. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 2 2 13x y的右准线与它的两条渐近线交于点 P ， Q ，其焦点是 1F ，2F ，则四边形 12FPFQ 的

5、面积是 . 【答案】 23 【解析】两条渐近线分别为 33yx ， 右准线为 32x ， 故 33( , )22P ， 33( , )22Q ， 则12FPFQS四 边 形112 2 2 2 32F P F PS c y . 9. 等比数列 na 的各项均为实数，其前 n 项和为 nS ，已知3 74S，6 634S ，则 8a . 【答案】 32 【解析】由于 36 3 6 3 3( ) (1 )S S S S q S ， 故 2q ， 而 231(1 )S a q q ， 故1 14a， 则 781a aq 32 . 10. 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6

6、 万元 /次，一年的总存储费用为 4x 万元，要是一年的总运费与总储存费之和最小，则 x 的值是 . 【答案】 30 【解析】设总花费为 S ， 则 600( ) 4 6S x xx ， 其中 x表示不小于 x 的最小整数 ， 设 12,xx 为所有满足 600,ik N kx 的数的有小到大的排列 ， 则对 1( , ) , ( ) ( )i i ix x x S x S x 36004i ix x， 令 3600( ) 4 , 0f x x xx ， 求导得 x 在 (0,30) 上调调递减 ， 在 (30, ) 上单调递增 ， 而 30 ix ， 故当 30x 时总费用最小 。 11.

7、已知函数 3 1( ) 2 eex xf x x x , 其中 e 是自然对数的底数 . 若 2( 1) (2 ) 0f a f a ,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】 1 1, 2 【解析】本小题主要考察函数的单调性和奇偶性，以及一元二次不等式的解法。 由题意可知 ( 1)+ (22)0， 即 (22)( 1). 而 () = 3 + 2 + 1 = 3 +2 + 1 = (). 即 (22)(1 ). 下证 ()是单调递增函数 . () = 32 2+ + 1,() = 6 + 1,() = 6+ + 1,() 0 恒成立， 即 ()单调递增 ,又 (0) =0,即函数 ()在 0x

8、 时取正值，在 0x 时取负值 . 即函数 ()在 0x 时单调递增，在 0x 时单调递减 . 又 (0) = 0，即 ()的最小值为 0， ()0恒成立 即 ()单调递增 ,不等式转化为 221 ，解之得 *1， 12+ 12. 如图 ,在同一个平面内，向量 OA ,OB ,OC 的模分别为 1,1, 2 ,OA 与 OC 的夹角为 ,且 tan =7, OB 与 OC 的夹角为 45.若 OC mOA nOB( , )mnR , 则 mn . 【答案】 3 【解析】本小题考察向量的数量积运算以及同角三角函数的关系 已知 tan = sincos， sin2+ cos2 = 1 又有向量夹角

9、的范围为 0180 ，即 sin0 可解得 sin = 7210 ， cos = 210 cos( + 4) = coscos4 sinsin4 = 35 OA OB = |OA |OB |cos( + 4) = 35 OA OC = mOA 2 + nOA OB = m 35n = |OA |OC |cos = 15 OB OC = mOA OB + nOB 2 = 35m+ n = |OB | |OC |cos = 1 、 联立方程组，解得 m+ n = 3 13. 在平面直角坐标系 xOy 中 , ( 12,0), (0,6),AB 点 P 在圆 2250O x y： 上 ,若 20,P

10、A PB 则点 P 的横坐 标的取值范围是 . 【答案】 52,1 【解析】 20对应图形是 2 + 12 +2 6 = 20的圆面， 考察在该圆面内的圆 O 的弧的横坐标取值，可得 52,1. 14. 设 ()fx是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 0,1) 上 , 2 ,() x x Dfxx x D 其中集合1 ,*nD x x nn N，则方程 ( ) lg 0f x x的解的个数是 . 【答案】 8 【解析】 1、当 时方程即为 lg( + ) = , = 0,1,2,9, 且 , + 1)： 一方面 lg( + ) = , = 0,1,2,9, , + 1) 仅在 = 0或

11、 9时没有解，其余情况均有一解，共 8个解； 另一方面可以证明 lg( +)在 时均为无理数， 否则假设 = 1 且 lg( + ) = (1 1 +)= 10,左式为一个分式的整数次方，右式是 10的整数次方，这是矛盾的。 A C B O (第 12 题 ) 所以 以上八解均满足 。 2、当 时方程即为 lg( + ) = 2, = 0,1,2,9, 且 , + 1) 类似上种情况的证明， lg( + )在 时均为无理数，而 2在 时是有理数，所以 时无解。 综上 1、 2 解的个数是 8 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分 请在 答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过

12、程或 演算步骤 15.（本小题满分 14 分） 如图，在三棱锥 A-BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD 平面 BCD，点 E， F（ E 与 A， D 不重合）分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD. 求证：（ 1） EF 平面 ABC; （ 2） AD AC. 【解析】（ 1）因为 E AD， F BD 所以直线 EF平面 ABD 又 EF AD， AB AD， EF平面 ABD， AB平面 ABD 所以 EF AB 又 AB平面 ABD， EF 平面 ABD 所以 EF 平面 ABD （ 2）因为平面 ABD 平面 BCD，平面 ABD平面 BCD=BD， BC BD

13、， BC平面 BCD 所以 BC 平面 ABD 又 AD平面 ABD 所以 BC AD 又 AB AD， BC平面 ABC， AB平面 ABC， BCAB=B 所以 AD 平面 ABC 又 AC平面 ABC 所以 AD AC FABCDE16. （本小题满分 14 分） 已知向量 ( c o s , s i n ) , ( 3 , 3 ) , 0 , .x x x ab （ 1）若 a b,求 x 的值； （ 2）记 ()fxab ,求 ()fx的最大值和最小值以及对应的 x 的值 . 【答案】 (1) = 6 (2) 最大值 3，对应 取值 0；最小值 23， 对应 取值 56 . 【解析】

14、 (1)因为 a b. 所以 3 = 3. 得 = 33 , 0,， 所以 = 56 . (2) () = 3 3. = 23(32 12). = 23sin ( 3). 所以 最大值 3，对应 取值 0； 最小值 23， 对应 取值 56 . 17.（本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中 ， 椭圆 :E 221xyab ( 0)ab 的左 、 右焦点分别为1F, 2F ,离心率为 12 ，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点 1F 作直线 1PF 的垂线 1l ， 过点 2F 作直线2PF 的垂线 2l . (1) 求椭圆 E 的标准方程

15、 (2) 若直线 1l ， 2l 的交点 Q 在椭圆 E 上 ， 求点 P 的坐标 【解析】 （ 1） 根据题意有 22 8ac ， 12ca ， 则 2a ， 1c ， 3b :E 22143xy （ 2） 设 00( , )Px y ， 11( , )Qx y 因为 12 90P F Q P F Q P 、 Q 、 1F 、 2F 四点共圆 该圆的方程 ： 0 1 0 1( ) ( ) ( ) ( ) 0x x x x y y y y 过 ( 1,0) (1,0) 得 010xx 1 01yy ,根据几何性质得 ， 该圆圆心为 (0,0) ，半径为 1, 联立方程无解 2 01yy ， 根

16、据几何性质得 ， 该圆圆心为 0(0, )y 2001r x y 2200143xy 000, 0xy 联立得 ：0 4 77x ，0 3 77y . 所以 437777P（ ， ） . 18. （本小题满分 16 分） F1 O F2 x y (第 17 题 ) 如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器 和正四棱台形玻璃容器 的高均为 32cm，容器 的底面对角线 AC的长为 10 7 cm，容器 的两底面对角线 EG， E1G1的长分别为 14cm 和 62cm. 分别在容器 和容器 中注入水，水深均为 12cm. 现有一根玻璃棒 l，其长度为 40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计） （

17、1）将 l 放在容器 中， l 的一端置于点 A 处，另一端置于侧棱 CC1上，求 l 没入水中部分的长度； （ 2）将 l 放在容器 中， l 的一端置于点 E 处，另一端置于侧棱 GG1上，求 l 没入水中部分的长度 . 【解析】（ 1）设没入水中的长度为 d ， 水深为 h ， 1 7c o s 4ACC A C AM ， 则 16sin hd C A M cm. （ 2）设没入水中的长度为 d ， 水深为 h ，棒交 1GG 于 P ， 11 11 4t a n 3hE G G O G O G ， 则 2 2 21 3c o s 52E G G P lE G G E G G P ， 可

18、得 30GP cm， 而11G P co s G G Edhl ， 故 20d cm. 19.（本小题满分 16 分） M P 对于给定的正整 数 k ,若数列 na 满足 1 1 1 1n k n k n n n k n ka a a a a a 2nka 对任意正整数 ()nn k 总成立，则称数列 na 是 “ ()Pk 数列” . （ 1） 证明：等差数列 na 是 “ (3)P 数列” ; （ 2）若数列 na 既是 “ (2)P 数列” ，又是 “ (3)P 数列” ，证明： na 是等差数列 . 【解析】 （ 1） 当 3n ，有 332n n na a a 222n n na

19、a a 112n n na a a 相加得 3 2 1 1 2 3 6n n n n n n na a a a a a a 等差数列为 (3)P 数列 （ 2） 若数列为 (2)P 数列，则有 2 1 1 2 5n n n n n na a a a a a ( 2)n 1 令 1nn , 1 1 2 + 3 + 1+5n n n n n na a a a a a 2 2-1得 3 2 15 ( )n n n na a a a 3 若数列为 (3)P 数列，则有 3 2 1 1 2 3 7n n n n n n na a a a a a a ( 3)n .4 4-1得 332n n na a a

20、 5 5-3得 3 2 175n n n na a a a 6 又变形 1 令 1nn,得 3 2 1 14 ( )n n n n na a a a a ( 4)n .7 将 7带入 6得 11n n na a a ( 4)n 则 4 ( 4)na a n d ,( 5)n 根据 1 2 4 5 34a a a a a 2 3 5 6 44a a a a a 3 4 6 7 54a a a a a 得 143a a d 242a a d . 34a a d na 为等差数列 . 20.（本小题满分 16 分） 已知函数 32( ) 1 ( 0 , )f x x a x b x a b R有极值

21、 ,且导函数 ()fx 的极值点是 ()fx的零点 .（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （ 1） 求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域； （ 2） 证明： 2 3ba ; （ 3） 若 ()fx, ()fx 这两个函数的所有极值之和不小于 72，求 a 的取值范围 . 【解析】（ 1）求导得 2( ) 3 2 + , ( ) 6 2f x x a x b f x x a ， 则 ()fx的极值点为 3a ， 故 ( ) 03af ，得 2239baa， 而 ()fx有极值 ， 故 ( ) 0fx 有解 ， 即 224 3 64 1 2 03a b a a ， 得 3a . （

22、 2）设 2 4 3 3224 5 9 1( ) 3 ( 4 2 7) ( 2 7)8 1 3 81g a b a a a a aaa ， 而 3a ， 故 ( ) 0ga ， 即 2 3ba . （ 3） ()fx的极值为 2( )33aafb ，设 12,xx为 ()fx的两个极值点 ， 令 ( ) 0fx 得 ：1 2 1 2 2,33bax x x x ， 则 3 3 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) 2f x f x x x a x x b x x 321 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 3 ( ) ( ( ) 2 ) ( ) 2x x x x x x a x x x x b x x 328 4 2 202 7 9 3a a b ， 记所有极值之和为 S ， 则 22373 9 2aaSb a ， 而 23 9aa 单调递 减 且 6a 时 72S ， 故 36a.